2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优14　圆锥曲线中的最值或范围问题

培优14圆锥曲线中的最值或范围问题类型1用几何关系求最值或范围例

(2026浙江温州第一次适应性考试)已知点F为抛物线C:x2=2py的焦点,点A(t,2)(t>0)

在C上,且|AF|=3.(1)求C的方程.(2)过C上的动点P作C的切线,与直线y=-2交于点Q,过Q作PF的垂线,垂足为H.(i)当|FP|·|FH|=5时,求点P的坐标;(ii)求|AH|的最大值.解析

(1)由题意得抛物线的焦点为F

,准线方程为y=-

,因为点A(t,2)在C上,且|AF|=3,所以2+

=3,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)(i)要想求点P的坐标,关键是如何利用条件|FP|·|FH|=5,因为点P在抛物线上,所以可设

其坐标为(2m,m2),由抛物线的定义表示出|FP|,所以关键变成如何表示|FH|.而要想得到

点H,需求出点Q,可求过点P的切线方程.由y=

x2,可得y'=

x,设点P(2m,m2),(点P在抛物线上运动,可将其坐标设为单变量的形式)可得y'|x=2m=m,所以切线方程为y-m2=m(x-2m),整理得y=mx-m2,令y=-2,得x=m-

,即Q

,又F(0,1),所以kPF=

,所以直线PF的方程为y=

x+1,因为QH⊥PF,所以kQH=-

,则QH的方程为y=-

-2,联立得方程组

解得xH=

,则|FH|=

=1,因为|FP|·|FH|=5,所以|FP|=5,由抛物线的定义,可得|FP|=m2+1,所以m2+1=5,解得m=±2,所以P(-4,4)或P(4,4).(ii)点A在抛物线上,且为定点,所以要想求得|AH|的最大值,关键是确定点H在什么位置

时|AH|取到最大值.由(i)知|FH|=1,所以点H在以点F为圆心,1为半径的圆上,则问题转化

为圆外一点与圆上动点间距离的最大值.由(i)知|FH|=1,所以点H在以点F为圆心,1为半径的圆上,所以|AH|max=|AF|+|FH|=3+1=4,当且仅当A,H,F三点共线时,等号成立,所以|AH|的最大值为4.

归纳总结

若题设条件和结论能明显体现几何特征和意义,则可以利用圆锥曲线的定义、几

何性质以及平面几何中的定理、性质进行求解.类型2用代数关系求最值或范围例

(2026广东部分学校开学联考)过点R(4,0)的直线l与双曲线Γ:

-

=1(b>0)的右支交于A,B两点,当AB⊥x轴时,|AB|=6.(1)求Γ的渐近线方程;(2)记Γ的左顶点为C,求kAC+kBC的取值范围;(3)若分别以点A,B为圆心的两圆有公共点R,它们与x轴的另一交点分别记作点P,Q,记O

为坐标原点,当

·

≤20时,求|AB|的取值范围.解析

(1)当AB⊥x轴时,|AB|=6,故点(4,3)在Γ上,则

-

=1,解得b2=3,则b=

,又a=2,所以Γ的渐近线方程为y=±

x.(2)点C的坐标确定,那么kAC+kBC的取值范围取决于A,B两点坐标,而A,B两点是过点R(4,0)

的直线l与双曲线Γ:

-

=1的右支的两个交点,可考虑设出直线l的方程,并与双曲线Γ的方程联立,利用双曲线与直线l右支有两个交点得出参数限制条件,然后求kAC+kBC的取

值范围.由(1)得双曲线的方程为

-

=1,C(-2,0).设直线l:x=ty+4,(直线过x轴上定点时,设横截式较为简单)联立

消去x可得(3t2-4)y2+24ty+36=0.当3t2-4=0时,l与Γ只有一个交点,故t≠±

.(提示:此时l与渐近线平行)因为l与Γ的右支有两个交点,所以结合图形可得t∈

.

提示:直线的斜率的绝对值

大于渐近线斜率的绝对值

设A(xA,yA),B(xB,yB),根据根与系数的关系得

则

故kAC+kBC=

+

=

=

=

∈

.(3)由(2)并利用弦长公式知|AB|=

|yA-yB|,所以参数t的范围决定了|AB|的取值范围.根据垂径定理知A,B在x轴上的射影分别是PR和QR的中点,从而将P,Q的坐标用A,B的坐

标表示,

由题意知

⇒

则P(2xA-4,0),Q(2xB-4,0),所以

·

=(2xA-4)(2xB-4)=4xAxB-8(xA+xB)+16≤20,由(2)知4·

-8·

-4≤0,整理得

≤0,因为t∈

,所以3t2-4<0,则-15t2+4≥0,解得t∈

.|AB|=

|yA-yB|=

,下面需要根据t的范围求出|AB|的范围,观察发现表达式的形式比较复杂,可通过换元适

当化简,令m=t2,m∈

,则|AB|=

,式中无“和”与“积”的形式,无法利用基本不等式,也不能直接看出单调性,可尝试用

导数法求解,令f(m)=

,则f'(m)=

>0对于m∈

恒成立,所以f(m)在m∈

上单调递增,所以