2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优11　空间几何体的截面与交线问题

培优11空间几何体的截面与交线问题类型1空间几何体的截面问题例

(多选)(2026湖南长沙月考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q

为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.下列命题正确的

是

()A.当0<CQ<

时,S为四边形

ABD

B.当CQ=

时,S为等腰梯形C.当

<CQ<1时,S为六边形D.当CQ=1时,S的面积为

解析过点A,P,Q的平面截该正方体,根据动点Q的位置,确定截面与正方体各棱的交

点.选项A,如图1,当0<CQ<

时,易知平面ADD1A1∥平面BCC1B1,所以由面面平行的性质定理,得可在DD1上取到点T满足AT∥PQ,连接TQ,可得截面S为四边形APQT,所以A中命题

正确.

选项B,如图2,当CQ=

时,Q为CC1的中点,连接BC1,则PQ∥BC1,因为四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1∥BC1,则PQ∥AD1,又AP=QD1=

,所以截面S为等腰梯形,所以B中命题正确.

选项C,如图3,当

<CQ<1时,在A1D1上取点M,连接AM,使得PQ∥AM,延长AM,DD1交于T,连接TQ,交C1D1于R,连接MR,此时的截面APQRM是五边形,而非六边形,故C中命题错误.选项D,如图4,当CQ=1时,点Q与点C1重合,取A1D1的中点M,连接AM,则易证PC1∥AM,则

截面S为四边形APC1M,又PC1=AM=AP=C1M=

,则四边形APC1M为菱形,其面积为

AC1·PM=

×

×

=

,即S的面积为

,所以D中命题正确.故选ABD.归纳总结

一、正方体中的基本斜截面

二、找空间几何体截面的几种方法1.直接法:有两点在多面体的同一个面上,连接这两点即为多面体与截面的交线,找截面

实际就是找交线.2.延长线法:若直线相交,但在多面体中未体现,可以通过作延长线的方法找到交点,然后

借助交点找到交线.3.平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以

通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线.4.空间向量法:建立空间直角坐标系,利用线面平行与垂直,通过计算,确定截面与多面体

各棱的交点,连接各交点即得截面多边形.

类型2空间几何体的交线问题例1

(高考真题精选)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球

心,

为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______.

 π

解析由于球的截面是圆面,截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆,这样就要找到

过点D1且垂直于平面BCC1B1的直线,如图,取B1C1的中点E,BB1的中点F,CC1的中点G,连

接D1E,D1F,D1G,

因为∠BAD=60°,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,所以D1F=D1G=

,△D1B1C1为等边三角形,所以D1E=

,D1E⊥B1C1,又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1D1,因为D1E⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥D1E,因为BB1∩B1C1=B1,BB1,B1C1⊂平面BCC1B1,所以D1E⊥侧面B1C1CB,则点E即为平面BCC1

B1截球所得截面圆的圆心,设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点,则D1E⊥EP,因为球的半径为

,D1E=

,所以EP=

=

=

,(利用勾股定理求得截面圆半径)所以侧面BCC1B1与球面的交线是扇形EFG的

,(将所求问题平面化,放在侧面BCC1B1中,求解扇形EFG的弧长)因为∠B1EF=∠C1EG=

,所以∠FEG=

,所以

的长=

×

=

π.例2已知在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O1

O2的平面截圆柱得到四边形ABCD,其面积为8.若P为圆柱底面圆弧

的中点,则平面PAB与球O的交线长为____________.

π

解析任何一个平面截球所得的截面都是圆,交线就是该圆的圆周,交线长就是圆的周

长,所以求交线长转化为求圆的周长,即转化为求截面圆的半径.求球的截面圆的半径的关键是求出球心到截面的距离,然后利用勾股定理求截面圆的

半径,本题的关键是求出O到平面PAB的距离.设球O的半径为r,则AB=BC=2r,故S四边形ABCD=AB·BC=4r2=8,所以r=

.连接PO2,O1P,作OH⊥O2P于H,易知O1O2⊥AB.因为P为

的中点,所以AP=BP,又O2为AB的中点,所以O2P⊥AB.又O1O2∩O2P=O2,O1O2,O2P⊂平面O1O2P,所以AB⊥平面O1O2P,又OH⊂平面O1O2P,所以AB⊥OH.因为OH⊥O2P,且AB∩PO2=O2,所以OH⊥平面ABP.因为O1O2=2r=2

,O1P=

,O1O2⊥O1P,所以O2P=

=

=

,所以sin∠O1O2P=

=

=

,所以OH=OO2sin∠O1O2P=

×

=

.所以

=

=

,故所求交线长为2π×

=

π.

归纳总结找空间几何体交线的常用方法1.利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交