2027版53B版新高考版数学总复习重难突破专题二　函数及其性质

专题二函数及其性质体系透视目录题型透析题型4函数单调性的应用题型5函数奇偶性的应用题型6函数周期性和对称性的应用题型7比较指、对数的大小题型8函数的图象和零点体系透视

题型4函数单调性的应用角度1比较大小题型透析例1已知函数f(x)=ln|1-x|+

.若a=f

,b=f

,c=f(log23),则a,b,c的大小关系是

()A.c>b>a

B.b>c>aC.a>b>c

D.b>a>cA

解析已知函数解析式比较函数值的大小,往往利用函数的单调性,观察发现y=|1-x|与y

=x2-2x的图象都关于直线x=1对称,那么判断f(x)的图象是否关于直线x=1对称.f(2-x)=ln|1-(2-x)|+

=ln|1-x|+

,∴f(x)=f(2-x)⇒f(x)的图象关于直线x=1对称.根据对称性研究函数在(1,+∞)上的单调性,当x>1时,y=ln|1-x|=ln(x-1)单调递增,y=

也单调递增(提示:同增异减),所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,(增+增为增)利用对称性得到f

=f

,并把自变量转化到区间(1,+∞)上,∵f

=f

,log23=log2

>log2

=

>

,∴f

<f

<f(log23),即c>b>a.故选A.关键点拨利用单调性比较大小的核心思路1.若要比较的函数值的自变量在同一单调区间内,则利用函数单调性比较大小;2.若要比较的函数值的自变量不在同一单调区间内,利用函数奇偶性、周期性和对称

性将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数单调性比较大小.例2

(2025河北石家庄质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,

都有

>0成立,f(2025)=2025,则不等式f(x)-x>0的解集为

()A.(-∞,-2025)∪(2025,+∞)

B.(-2025,0)∪(2025,+∞)C.(-2025,2025)

D.

B

角度2解不等式解析由

>0联想到

>0,所以将不等式左边的分子、分母同除以x1x2.由

>0可得

>0,令g(x)=

,x≠0,易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以g(-x)=

=

=

=g(x),所以g(x)为定义域上的偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,(注意:先确定g(x)的奇偶

性,再确定在各区间上的单调性)寻找不等式f(x)-x>0与g(x)=

的联系.f(x)-x>0⇒f(x)>x⇒

(易错警示:当x<0时,注意不等号要改变方向)又因为f(2025)=2025,所以g(2025)=g(-2025)=1,借助g(x)的示意图直观判断,

由图知不等式的解集为(-2025,0)∪(2025,+∞).故选B.例3

(2025河北衡水中学素质评价二)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足∀x1,x2∈(0,+∞)

且x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,且f(xy)=f(x)+f(y),f(4)=

,则不等式f(2x)-f(x-3)>1的解集为

()A.(0,4)

B.(0,+∞)

C.(3,4)

D.(2,3)

C

解析∵f(x)满足∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.得出函数单调性,下面根据单调性去掉“f”即可,但是不等号右边有数字1,所以就需要

找到函数值1对应的自变量x,观察题中条件f(xy)=f(x)+f(y)和f(4)=

,利用赋值法计算.在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=2,则f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=

,即f(2)=

,显然

+

=1,所以f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=1,所以f(2x)-f(x-3)>1化为f(2x)-f(x-3)>f(8),即f(2x)>f(8)+f(x-3),即f(2x)>f[8×(x-3)]=f(8x-24),(不要忘记条件f(xy)=f(x)+f(y))去掉“f”时不要忘记定义域的限制,所以

解得3<x<4,所以不等式f(2x)-f(x-3)>1的解集为(3,4).故选C.技巧点拨利用单调性解不等式的步骤例4

(2025辽宁大连期末)已知函数f(x)=

若对任意的x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<2x1-2x2,则实数a的取值范围是

()A.

B.

C.

D.(1,2]

D

角度3求参数取值范围解析本题不能直接判断函数的单调性,需将f(x1)-f(x2)<2x1-2x2变形为f(x1)-2x1<f(x2)-2x2,

构造函数F(x)=f(x)-2x,研究函数F(x)的单调性.f(x1)-f(x2)<2x1-2x2⇒f(x1)-2x1<f(x2)-2x2,令F(x)=f(x)-2x,则F(x1)<F(x2),因为x1<x2,所以F(x)=f(x)-2x在R上单调递增.F(x)=f(x)-2x=

分段函数在定义域内单调递增需满足:在每一段上均单调递增,且在衔接点处左侧函数值小于或等于右侧函数值.所以y=(a-1)ex-1在(-∞,1)上单调递增,y=x+

在[1,+∞)上单调递增,且(a-1)e0≤1+2a-3,由(a-1)e0≤1+2a-3得a≥1,由y=(a-1)ex-1在(-∞,1)上单调递增得a-1>0,则a>1,故a>1.看到y=x+

,联想到对勾函数或飘带函数,其单调性由2a-3的正负决定.当2a-3<0,即1<a<

时,y=x+

在[1,+∞)上单调递增,当2a-3=0,即a=

时,y=x在[1,+∞)上单调递增,当2a-3>0,即a>

时,由对勾函数性质得,y=x+

在(

,+∞)上单调递增,故需满足

≤1,解得a≤2,所以

<a≤2.综上,实数a的取值范围是(1,2].故选D.思路点拨利用单调性求参数取值范围的思路

知识拓展

对勾函数y=ax+

(a>0,b>0)的大致图象.

飘带函数y=ax-

(a>0,b>0)的大致图象.题型5函数奇偶性的应用角度1解不等式例1

(2026四川绵阳质检)已知函数f(x)=2x-2-x+log2(x+1)-log2(1-x),则不等式f(2t-1)+f(t)<0

的解集为___________.解析由f(2t-1)+f(t)<0得f(2t-1)<-f(t).右侧有一个负号,不能直接用单调性求解,怎么办

呢?观察发现f(x)为奇函数(一定要看出f(x)是奇函数),所以负号可以放在括号内,下面证

明f(x)为奇函数.由题意得

解得-1<x<1,则函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,f(-x)=2-x-2x+log2(-x+1)-log2(1+x)=-[2x+2-x+log2(x+1)-log2(1-x)]=-f(x),所以f(x)是奇函数,从而f(2t-1)<-f(t)

=f(-t),将2t-1,-t代入解析式求解较为麻烦,所以需确定f(x)的单调性,因为y=2x,y=-2-x,y=log2(x+1),y=-log2(1-x)在(-1,1)上是增函数,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.所以

(不要忘记函数的定义域)解得0<t<

,所以不等式的解集为

.知识拓展常见的奇偶函数1.常见的奇函数:(1)f(x)=m·

(x≠0)或f(x)=m·

;(2)f(x)=±(ax-a-x);(3)f(x)=loga

或f(x)=loga

;(4)f(x)=loga(

±mx)(m≠0).2.常见的偶函数:f(x)=±(ax+a-x).(以上各式中a>0,且a≠1)角度2利用奇偶性求参例2

(高考真题精选)若f(x)=ln

+b是奇函数,则a=_________,b=______________.

- 

ln2

解析解法一:f(x)的解析式较复杂,故考虑用定义处理,由f(x)是奇函数得f(-x)+f(x)=0,即

ln

+ln

+2b=ln

a2+

+

+

+2b=ln

+2b=0,(*)注意(*)式需对定义域内所有的x恒成立,所以a2+

必不随x的变化而变化,所以

解得a=-

,b=ln2.解法二:涉及奇偶性,不妨先考虑定义域,要使f(x)有意义,则

由①可得x≠1,奇函数的定义域关于原点对称,故-1必定也不在f(x)的定义域内,于是由②解出x≠-1,所以a+

=0,解得a=-

,此时f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),所以0在f(x)的定义域内,从而f(0)=ln

+b=-ln2+b=0,则b=ln2.技巧点拨

由奇偶性求参数时,可根据定义域的对称性,或特值法(如奇函数中f(0)=0,f(-1)=-f(1))等先求得参数,最后验证是否符合题意.例3

(高考真题精选)已知函数f(x)=ln(

-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=_________.

-2

角度3奇函数+常数结论的应用解析涉及f(a)和f(-a),想到奇偶性.发现y=ln(

-x)是奇函数,联想到奇函数+常数结论,当涉及“f(x)=奇函数g(x)+常数a”时,有f(-x)+f(x)=2a,设g(x)=ln(

-x)(x∈R),则g(-x)+g(x)=ln[

+x]+ln(

-x)=ln[(

+x)·(

-x)]=ln(1+x2-x2)=ln1=0,所以g(x)为奇函数,而f(x)=g(x)+1,所以f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2,故f(-a)=2-f(a)=-2.解题技巧奇函数+常数结论若g(x)为奇函数,则g(-x)+g(x)=0对定义域内的任意实数x恒成立,那么设f(x)=g(x)+a,

则f(-x)+f(x)=g(-x)+a+g(x)+a=2a;特别地,如图,因为g(x)的图象关于原点对称,所以f(x)的

图象关于点(0,a)对称,它必在关于(0,a)对称的两个点处取得最大值和最小值,所以f(x)max

+f(x)min=2a.

题型6函数周期性和对称性的应用角度1双对称求周期例1

(高考真题精选)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=

2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

()A.-50

B.0

C.2

D.50

C

解析解法一:因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称①,且f(0)=0,因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称②,所以根据函数的对称性与周期性的关系得f(x)是周期为4的函数,要求f(1)+f(2)+…+f(50),只需求f(1),f(2),f(3),f(4)即可.对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=f(1)=2.解法二:所给条件都能清晰地反映f(x)的性质,故可分析已知条件,举一个具体的函数求

解,f(x)为奇函数⇒f(x)的图象有对称中心,为坐标原点,f(1-x)=f(1+x)⇒f(x)的图象有对称轴,为直线x=1,既有对称轴又有对称中心,考虑取三角函数.由f(x)为奇函数和f(1)=2想到y=2sinωx,再由x=1是图象的对称轴想到可取ω=

,这样f(x)的解析式就确定了,取f(x)=2sin

x,经检验,满足题干所有条件,此时f(x)周期为4,f(2)=0,f(3)=-2,f(4)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(50)=[f(1)+…+f(4)]+[f(5)+…+f(8)]+…+[f(45)+…+f(48)]+f(49)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.例2

(多选)(2025广东清远期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)满足f(2+x)+

f(2-x)=0,且f(x)在(-2,0)上单调递增,则以下说法一定正确的是

()A.f(2)=2B.f(x)为周期函数C.f(2026)=0D.f(x)在(10,12)上单调递增

BC

解析

A项,求抽象函数的函数值,考虑用赋值法,在f(2+x)+f(2-x)=0中,令x=0,得f(2)=0,则

A中说法错误;B项,由f(x)是R上的偶函数⇒f(x)的图象关于y轴对称,由f(2+x)+f(2-x)=0⇒f(x)的图象关于

点(2,0)中心对称,所以f(x)是周期函数,且周期T=4×|2-0|=8,则B中说法正确;C项,f(2026)=f(8×253+2)=f(2)=0,C中说法正确;D项,因为f(x)的周期为8,所以f(x)在(10,12)上的单调性与在(2,4)上的单调性相同,又因为f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在(2,4)上的单调性与在(0,2)上的单调性相同,又因为f(x)的图象关于y轴对称,f(x)在(-2,0)上单调递增,所以f(x)在(0,2)上单调递减,即f(x)在(10,12)上单调递减,故D中说法不正确.故选BC.总结提升函数的对称性与周期性的关系1.如果函数f(x)(x∈D)的图象有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且周期

T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同).2.如果函数f(x)(x∈D)的图象有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函数f(x)是周期函

数,且周期T=2(b-a).3.如果函数f(x)(x∈D)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,且周期T=4(b-a).记忆口诀:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差.角度2类周期函数类周期函数的定义从周期函数f(x+T)=f(x)进行延伸拓展,若函数g(x)满足g(x+T)=ag(bx)+c(a,b>0,c∈R),则称

函数g(x)为类周期函数.当a=b=1,c=0时,g(x)就是周期函数.例3

(高考真题精选)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x

-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-

,则m的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

B

解析要想满足对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-

,应找到x0,使得f(x0)=-

,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=

-

≥-

,不存在相应的x0,所以只能借助f(x+1)=2f(x)找到x0所在区间.∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1),即f(x)的图象向右平移1个单位长度,函数值变为原来的2倍.(关键:借助图象直观快速锁

定x0所在区间)如图所示,∵x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),∴当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-

,整理得9x2-45x+56=0,∴(3x-7)(3x-8)=0,∴x1=

,x2=

(舍去),∴m∈

,故选B.方法总结

解决形如f(x+T)=kf(x)类周期函数问题的一般方法及步骤:

注意借助图象辅助分析,直观理解缩放规律.角度3抽象函数性质应用例4

(多选)(2026重庆渝北中学等联考)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的x,y,均

有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1,则下列结论正确的是

()A.f(0)=1B.若f(4)=5,则f(1)=2C.f(x)是R上的减函数D.若f(4)=9,则不等式f(x2-2)<f(3x)+4的解集是(-1,4)

ABD

解析对于A,B,求抽象函数的函数值,常采用赋值法.令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)-1,解得f(0)=1,令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,解得f(2)=3,令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)-1=3,解得f(1)=2,A,B中结论正确.对于C,抽象函数的单调性一般用定义式并结合题中的不等式来判断.任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,令x=x1,y=x2-x1,(提示:对x,y赋值的目的是构造出f(x2)-f(x1))则f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)-1,即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1,因为x2-x1>0,且当x>0时,f(x)>1,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上是增函数,C中结论错误.对于D,由C选项知f(x)在R上是增函数,所以可根据单调性去掉“f”,但是发现不等号右边有4,故需要找到函数值4对应的自变量x,结合f(4)=9,f(x+y)=f(x)+f(y)-1可令x=y=2求

解.令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=9,解得f(2)=5,所以f(3x)+4=f(3x)+f(2)-1=f(3x+2),则原不等式化为f(x2-2)<f(3x+2),又因为f(x)在R上是增函数,所以x2-2<3x+2,即x2-3x-4<0,解得-1<x<4,则不等式的解集为(-1,4),故D中结论正确.故选ABD.题型7比较指、对数的大小角度1利用作差、作商比较大小例1

(2026山东泰安开学考)已知3x=4y=6z,则3x,4y,6z的大小关系不可能为

()A.3x=4y=6z

B.3x<4y<6zC.3x>4y>6z

D.3x<6z<4y

D

解析观察到题干中给出的是指数幂形式,且每个选项中比较的都是3x,4y,6z的大小,所

以设3x=4y=6z=t,然后根据t的大小分情况讨论3x,4y,6z的大小.设3x=4y=6z=t,t>0,当t=1时,x=y=z=0,则3x=4y=6z=0,选项A正确;当t>1时,x=log3t>0,y=log4t>0,z=log6t>0,则3x=3log3t=log3t3,4y=4log4t=log4t4,6z=6log6t=log6t6,因为3个对数的底与真数均不相同,所以可考虑作差法比较大小.用换底公式将3x,4y,6z化简,得3x=

,4y=

,6z=

,所以3x-4y=

-

=

=

=

<0,

因为t>1,所以logt3·logt4>0,又

<1,所以logt

<0,故

<0

即3x<4y,4y-6z=

-

=

=

=

<0,

因为t>1,所以logt4·logt6>0,又

<1,所以logt

<0,所以

<0

即4y<6z,综上,可得3x<4y<6z,选项B正确;当0<t<1时,同B选项可得3x>4y>6z,选项C正确.故选D.一题多解:对于B,当t>1时,x=log3t>0,y=log4t>0,z=log6t>0,观察到x,y,z含有相同的真数t,利用对数换底公式作商可消去t,故可采用作商法比较3x,4

y,6z的大小,由

=

=

=

=

<1,得3x<4y,由

=

=

=

<1,得4y<6z,综上,可得3x<4y<6z,选项B正确;当0<t<1时,同B选项可得3x>4y>6z,选项C正确.故选D.归纳总结

1.作差法:作差后经过通分、因式分解等后,明确其与0的大小关系.2.作商法:适用于两个数同号的情况下,作商后经过整理变形,明确其与1的大小关系.例2已知a=log34,b=

,c=cos6,则

()A.b>a>c

B.a>b>c

C.c>b>a

D.b>c>a

A

角度2利用中间值比较大小解析粗略估算知:c=cos6<1,a=log34>log33=1,b=

>20=1,接下来要继续比较a,b的大小,发现a,b均在(1,2)内,可以继续找中间值

,a=log34=1+log3

<1+log3

=

,b=

=

>

=

,所以b>a>c.故选A.归纳总结

先粗略估算,找出一个最小或最大的数,然后尝试把剩余的数估算在相邻的两个整

数之间,如(0,1),(1,2)等,对于都在同样两个整数之间的数据,可再选择中点、三等分点

比较.例3

(2026福建泉州质检)若实数x,y,z满足2x-2=3y-3=5z-5,则x,y,z的大小关系不可能是

()A.x=y=z

B.x>y>z

C.z>y>x

D.z>x>y

D

角度3利用函数图象或性质比较大小解析观察到题干中条件与例1类似,所以联想到与例1一样的切入点,令2x-2=3y-3=5z-5=t,得x=log2(t+2),y=log3(t+3),z=log5(t+5),t>-2,当t=0时,x=y=z,A选项可能成立;当t≠0时,例1的作差和作商法都失效了,还有什么方法

可以用呢?观察发现3个数的真数中均含有t,故可将x,y,z看作是关于t的函数,利用函数图

象直观地观察其大小关系.在同一坐标系内作出函数f(t)=log2(t+2),g(t)=log3(t+3),h(t)=log5(t+5),t>-2的图象,如图,

则x,y,z分别是函数f(t),g(t),h(t),t>-2的图象与直线t=a(a>-2)交点的纵坐标,观察图象得,当-2<a<0时,z>y>x;当a=0时,x=y=z(由图象直观判断A可能成立);当a>0

时,x>y>z,因此ABC都可能,D不可能.故选D.技巧总结

若题干中所给数可以看作是同一个变量所对应的不同函数的函数值或可以转化

为用同一个变量表示时,常采用函数性质比较大小,在同一个坐标系中画出对应函数的

图象,直观比较大小.例4

(高考真题精选)若2a+log2a=4b+2log4b,则

()A.a>2b

B.a<2b

C.a>b2

D.a<b2

B

角度4构造函数比较大小解析观察到题干等式两边结构类似,但又不完全相同,所以变形让结构相同,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log2(2b)-1,除了-1,其余部分与左侧结构相同,所以利用放缩法,让两侧结构相同,2a+log2a=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),然后构造函数分析,设f(x)=2x+log2x,x>0,则f(x)为增函数,(增+增=增)所以f(a)<f(2b),所以a<2b.故选B.例5

(2026湖南怀化开学考)设a=ln

,b=

,c=ln

,则

(

)A.a>c>b

B.b>a>c

C.c>a>b

D.a>b>c

D

解析

a,b,c的结构不相同,事实上,a=ln

=-ln

,b=

=1-

=

-1,c=ln

,比较b,c,数

多次出现,把

换成x,令b(x)=x-1,c(x)=lnx,则b(x)-c(x)=x-1-lnx,令f(x)=x-1-lnx,则f'(x)=1-

,当0<x<1时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数的最小值为f(1)=0.所以f

=

-1-ln

=b-c>f(1)=0,即b>c.比较a,b,a=ln

=-ln

,b=

=1-

,数

多次出现,把

换成x,设a(x)=-lnx,b(x)=1-x,则b(x)-a(x)=1-x+lnx,令g(x)=1-x+lnx,则g'(x)=-1+

,当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,则g(x)的最大值为g(1)=0,所以g

=1-

+ln

=b-a<g(1)=0,即b<a.综上,a>b>c.故选D.技巧总结常见的构造函数比较大小问题类型(1)要比较的数结构相同或可以通过变形化为相同.(有时需要简单放缩,如例4)可从结

构出发,构造函数比较大小.(2)①含有相同常数;②都与相同常数有关,如例5,可构造函数比较大小.题型8函数的图象和零点角度1函数图象的变换例1

(多选)(2026广西名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在x∈(-∞,0]

内单调递减,则函数y=f(|x+1|)+1的图象可能是

(

)

AC

解析题干虽未给出原函数图象,却给出图象的对称性及单调性,故可以从f(x)图象的

对称性及单调性入手,根据函数图象的变换逐步推得y=f(|x+1|)+1的图象的对称性及单

调性,变换过程中要注意对称中心,对称轴,定点,单调性的同步变换.变换过程f(x)f(|x|)f(|x+1|)f(|x+1|)+1对称性关于(0,0)对称关于y轴对称关于直线x=-1对称关于直线x=-1对称定点(0,0)(0,0)(-1,0)(-1,1)单调性在(-∞,0)上↘在(0,+∞)上↘在(0,+∞)上↘在(-∞,0)上↗在(-1,+∞)上↘在(-∞,-1)上↗在(-1,+∞)上↘在(-∞,-1)上↗注意:从f(x)的图象变换到f(|x|)的图象时,保留y轴上及y轴右侧图象并作y轴右侧图象关

于y轴对称的图象.故选AC.例2

(2025山东名校联盟联考)已知函数f(x)=

(a>0且a≠1),若函数图象上关于原点对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.

A

解析函数是在x=0处为分界点的分段函数,要想得到函数图象上关于原点对称的点至

少有3对,只需求出y=-loga(-x),x<0的图象关于原点对称的图象与y=cos

-1,x≥0的图象至少有3个交点,y=-loga(-x)(x<0)的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为y=logax(x>0),(提示:y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称)依题意,y=cos

-1(x≥0)与y=logax(x>0)的图象的交点至少有3个,当a>1时,画出y=cos

-1(x≥0)与y=logax(x>0)的示意图,如图,

显然两函数图象只有1个交点,不符合题意;当0<a<1时,画出y=cos

-1(x≥0)与y=logax(x>0)的示意图,如图,

若至少有3个交点,则需满足loga6>-2=logaa-2,则6<a-2=

,解得0<a<

.综上,可得实数a的取值范围是

.故选A.解题关键:将问题转化为y=cos

-1(x≥0)与y=logax(x>0)的图象的交点至少有3个,通过作图,数形结合进行求解.知识拓展函数图象的对称变换1.关于直线x=a对称:在f(x)图象上的点A(2a-x0,y0)与在g(x)图象上的点B(x0,y0)关于直线x=

a对称,所以g(x)=f(2a-x)的图象是由f(x)的图象关于直线x=a对称而来的.2.关于点(a,b)对称:在f(x)图象上的点A(2a-x0,2b-y0)与在g(x)图象上的点B(x0,y0)关于点(a,

b)对称,所以g(x)=2b-f(2a-x)的图象是由f(x)的图象关于点(a,b)对称而来的.3.关于直线y=x对称:在f(x)图象上的点A(x0,y0)与在g(x)图象上的点B(y0,x0)关于直线y=x对

称,所以g(x)=f-1(x)(f(x)的反函数)的图象是由f(x)的图象关于直线y=x对称而来的.例3

(2026江苏泰州质检)已知函数f(x)=

则方程f(f(x))=

的解的个数为

(

)A.3

B.4

C.5

D.6角度2函数零点个数问题

B

解析分段函数不含参,可先画出f(x)的图象,再研究问题.画出f(x)的图象,如图,要想得到f(f(x))=

的解的情况,利用f(f(x))的解析式直接求解比较复杂,需首先清楚谁的函数值为

,再进一步确定x的值,找到直线y=

与f(x)图象的交点,

直线y=

与y=f(x)的图象有三个交点,设横坐标从小到大分别为t1,t2,t3,其中t1<0,0<t2<1,t3>1,方程f(f(x))=

的解的个数转化为方程f(x)=t1,f(x)=t2,f(x)=t3解的个数之和,由图象可知,直线y=t1与y=f(x)的图象有1个交点,直线y=t2与y=f(x)的图象有3个交点,直线

y=t3与y=f(x)的图象没有交点,所以方程f(f(x))=

的解的个数为1+3=4.故选B.例4已知函数f(x)=

则函数g(x)=f[f(x)]-2f(x)+1的零点个数是

()A.4

B.5

C.6

D.7

B

解析先将要求的函数形式化简,令t=f(x),则g(x)=0转化为f(t)-2t+1=0,分别作出y=f(x)和y=2x-1的图象,

由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2,t1<t2,则t1=0,1<t2<2,即有f(x)=0有2个不等实根,1<f(x)<2时,t2=f(x)有3个不等实根,综上,可得g(x)=0的实根个数为5,即函数g(x)=f[f(x)]-2f(x)+1的零点个数是5.故选B.解题技巧求嵌套函数零点问题的步骤

例5

(高考真题精选)已知函数f(