2027版53B版新高考版数学总复习重难突破专题八　平面解析几何

专题八平面解析几何体系透视目录题型透析题型28直线与圆的位置关系题型29圆与圆的位置关系题型30隐圆问题题型31椭圆、双曲线的离心率问题题型32抛物线的焦点弦问题题型33点差法与中点弦题型34圆锥曲线的创新题体系透视

题型28直线与圆的位置关系角度1相交问题题型透析例1

(多选)(2026湖南长沙一中月考三)若动直线l:mx-y+4-4m=0与圆C:(x-4)2+(y-5)2=9

相交于A,B两点,则

()A.直线l过定点(4,4)B.|AB|的最小值为4

C.

·

的最小值为-7D.存在点P,使

·

为定值

ABD

解析对于A,由l:mx-y+4-4m=0,可得y-4=m(x-4),故直线l过定点(4,4),故A正确.对于B,由A知直线l过定点(4,4),记为D,该点位于圆内,要使弦长最短,则圆心到直线l的

距离最大,即CD⊥AB时弦长最短.圆C:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心为C(4,5),半径为3,则|CD|=1,

故|AB|min=2

=4

,故B正确.对于C,解法一:取AB的中点M,则

·

=(

+

)·(

+

)=

-

=2

-

=

-9,又|CD|=1,则圆心C到直线l的距离d=|

|∈(0,1],所以

·

∈(-9,-7],则

·

的最大值为-7,故C错误.解法二:用平面向量数量积的定义解决,

·

=|

|·|

|cos<

,

>,0<<

,

><π,且y=cosx在(0,π)上单调递减,|

|=|

|=3,则问题转化为求cos<

,

>的最大值.当|AB|最小时,夹角最小,余弦值最大.

·

=|

|·|

|cos<

,

>=9cos<

,

>,当|AB|最小时,cos<

,

>最大,此时cos<

,

>=

=-

,所以(

·

)max=-7,故C错误.对于D,若存在点P,则点P必为特殊点,猜想点P为(4,4),此时P,A,B三点共线,此时

·

=-|

|·|

|,联想到圆的相交弦定理,取过点P的直径,转化为定点定值问题.取点P(4,4),过点P作圆C的直径A'B',如图,因为|PA'|=3+1=4,|PB'|=3-1=2,由圆的相交弦定理知|

|·|

|=|

|·|

|,又<

,

>=π,则

·

=-|

|·|

|=-|

|·|

|=-4×2=-8,所以存在点P,使

·

为定值,故D正确.

故选ABD.解题技巧

涉及距离、弦长,定点、定值等问题时,优先考虑几何法,利用圆的性质解题通常比

代数联立更简捷.角度2相切问题例2

(多选)(2025山东名校联盟开学联考)已知圆M:x2+y2-4x+3=0,点P为直线l:x=my-2与

y轴的交点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则

()A.若直线l与圆M相切,则m=±

B.m=1时,四边形PAMB的面积为

C.

·

的取值范围为

D.已知点Q

,则|CQ|为定值

ACD

解析将圆M的方程x2+y2-4x+3=0化为标准方程为(x-2)2+y2=1,所以圆M的圆心为M(2,0),

半径r=1,直线l:x=my-2过定点(-2,0).

对于A,若直线l与圆M相切,则圆心到直线l的距离为

=1,解得m=±

,所以A正确.对于B,当m=1时,P(0,2),又M(2,0),则|PM|=

=2

,则|PA|=

=

=

,则四边形PAMB的面积S=2S△PAM=|AM|·|PA|=1×

=

,所以B错误.选项C,由圆的切线的性质,得|

|=|

|.

·

=|

||

|cos∠APB=(|PM|2-1)(1-2sin2∠APM)=(|PM|2-1)

=|PM|2+

-3,因为|PM|>|OM|=2,所以|PM|2∈(4,+∞),(易错点:注意|PM|2的取值范围,不能用基本不等

式求解,直线l:x=my-2不与x轴重合)由对勾函数y=x+

在(4,+∞)上单调递增,得y∈

,所以

·

∈

,所以C正确.选项D,解法一:可先假设|CQ|为定值

,则点C在以Q为圆心,

为半径的圆上,而由圆的性质知AB⊥MP于点C,又由直径所对的圆周角为90°,猜想AB过定点N,而Q为定点与M所

连线段的中点.可利用A,M,B,P四点共圆,且PM为此圆直径,求出此圆方程,再作差,求出

相交弦AB所在直线方程,进而得到定点坐标.由题意知m≠0,(提示:m=0时点P不存在)当m≠0时,点P

,因为∠PAM=∠PBM=90°,所以A,M,B,P四点共圆,且PM为此圆直径,圆心为

,半径为

=

,故圆的方程为(x-1)2+

=1+

,因为AB是此圆与圆M的相交弦,故直线AB的方程由两圆方程作差得到,又圆M:x2+y2-4x+3=0,所以(x-1)2+

-(x2+y2-4x+3)=1+

,化简得2x-

y-3=0,所以直线AB经过定点

,记为N,因为PM⊥AB,且N

在直线AB上,所以∠MCN=90°,即点C在以MN为直径的圆上,因为M(2,0),N

,所以圆心

恰为Q点,半径为

=

,因为点C在该圆上,所以|CQ|=

为定值,所以D正确.解法二:利用圆的切点弦的结论(若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外,过点M引圆的

两条切线,切点分别为M1,M2,则切点弦(线段M1M2)所在直线的方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-

b)=r2),可直接求得直线AB的方程,适合客观题使用.由题意知m≠0,当m≠0时,P

,所以切点弦所在直线AB的方程为(0-2)(x-2)+

y=1,化简得-2x+

y+3=0,所以直线AB经过定点

,记为N,因为PM⊥AB,且N

在直线AB上,所以∠MCN=90°,即点C在以MN为直径的圆上,因为M(2,0),N

,所以圆心

恰为Q点,半径为

=

,因为点C在该圆上,所以|CQ|=

为定值,所以D正确.故选ACD.知识拓展

1.求圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2过点P(x0,y0)的切线:(1)若点P在圆上,如图1,可由PC⊥l找到切线l的斜率(斜率可能不存在,此时切线即为x=x

0),结合点P可求得切线方程.(2)若点P在圆外,如图2,可设切线斜率为k(需先考虑斜率不存在的情况),结合点P写出切

线的方程,并由圆心到直线的距离d=r来解k.2.计算切线长:如图2,切线长|PA|=|PB|=

.3.计算切点弦方程:如图3,点P(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2外,PA,PB是两条切线,A,B是切点,则PA⊥AC,PB⊥BC,所以P,A,C,B四点都在以PC为直径的圆上(如图4),AB恰好为该

圆与圆C的公共弦,故可由两圆的方程作差求得直线AB的方程.4.切线和切点弦方程的结论:设点P(x0,y0),将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2变成(x-a)(x0-a)

+(y-b)(y0-b)=r2或在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中,用x0x替换x2,用y0y替换y2,用

替换x,用

替换y,可以得到一个新方程,当P在圆上时,如图1,该方程表示切线l;当P在圆外时,如图3,该方程表示切点弦AB所在直线的方程.5.如图3,四边形PACB的面积S=S△PAC+S△PBC=

|PC|·|AD|+

|PC|·|BD|=

|PC|·(|AD|+|BD|)=

|PC|·|AB|.

角度3相离问题例3若圆C:(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)上有且仅有2个点到直线4x-3y+6=0的距离为

,则r的取值范围为

()A.

B.

C.

D.

D

解析题中知道圆的圆心和直线的方程,要想使圆上有且仅有2个点到直线4x-3y+6=0

的距离为

,需要先求出圆心到直线的距离,然后作图分析.由C:(x+1)2+(y-2)2=r2知圆心为C(-1,2),圆心C(-1,2)到直线4x-3y+6=0的距离d=

=

,作出图形让圆的半径变化找出临界情况,列出不等式求解.由图知,要使圆上有且仅有2个点到直线4x-3y+6=0的距离为

,需满足r-

<

<r+

r,解得r∈

.例4

(2026湖南九校联盟一模)已知点P为直线l:2x+y+2=0上的一个动点,A,B为圆M:x2+

y2-2x-2y-2=0上任意两个不重合的点,记cos∠APB的最小值为m,sin∠APB的最大值为n,

则m+n=

()A.

B.

C.

D.

A

解析由题意得☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心为M(1,1),半径为2,所以圆心M到直线l的距离为

=

>2,所以直线l与☉M相离,要想使得cos∠APB最小,则∠APB最大(∠APB∈(0,π),y=cosx在(0,π)上单调递减),所以

PA,PB分别为圆的切线,当PA,PB分别为圆的切线时,在Rt△APM中,sin∠APM=

=

,要想使sin∠APM最大,则|PM|最小,|PM|最小为圆心M到直线l的距离

.∠APM最大时,∠APB=2∠APM最大,此时cos∠APB最小,此时cos∠APB=cos2∠APM=1-2sin2∠APM=1-2×

=-

,则∠APB>

.所以sin∠APB的最大值为1,故m+n=-

+1=

.

关键点拨

直线与圆相离时,常常考查最值问题,而最值一般都在特殊位置取到,又圆上的点到

圆心的距离都为半径长,所以一般利用数形结合的方法将动点与圆心产生联系,建立相

关等式,然后利用该表达式解决问题.题型29圆与圆的位置关系例

(多选)已知点P,Q分别在圆C1:(x-2)2+(y-2)2=4,C2:(x+2)2+(y+2)2=9上,点A(-2,4),则下列

说法正确的是

()A.圆C1,C2相交

B.|PQ|的最大值为5+4

C.点C1到直线AQ的距离大于

D.当∠PAQ最大时,tan∠PAQ=-

BCD

解析对于A,判断圆与圆的位置关系,只需计算圆心距,并与半径的和差比较.圆C1的圆

心为(2,2),半径r1=2;圆C2的圆心为(-2,-2),半径r2=3,则两圆圆心距d=

=

=

=4

,且r1+r2=2+3=5,因为d=4

>5=r1+r2,所以两圆外离,故A错误.选项B,根据选项A知圆C1,C2外离,又点P在C1上,点Q在C2上,所以|PQ|max=d+r1+r2=4

+2+3=5+4

,故B正确.选项C,要想判断点C1到直线AQ的距离是否大于

,而点Q是圆C2上的动点,所以直线AQ是动直线,可结合图形直观判断.当点Q位于如图1所示的位置时,点C1到直线AQ的距离

最小,此时AQ为圆C2的切线.

过点C1作切线的垂线,垂足为H,|C1H|即为点C1到直线AQ距离的最小值.由题意得切线AH的斜率为负,设切线AH的方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0,因为圆C2与直线AH相切,所以圆心C2(-2,-2)到直线AH的距离为

=3,解得k=-

(舍正),所以切线AH的方程为

x+y+2

-4=0,所以|C1H|=

=2

-1>

,故C正确.选项D,数形结合,如图2,当点P位于圆C1的M点,点Q位于圆C2的N点时,AM与圆C1相切,

AN与圆C2相切,∠PAQ最大.

在Rt△ANC2中,|AC2|=6,|NC2|=3,所以sin∠C2AN=

=

,所以∠C2AN=

,又C2A⊥AM,所以∠C2AM=

,所以(∠PAQ)max=∠MAN=

π,此时tan∠PAQ=tan

π=-

.故D正确.故选BCD.归纳总结圆与圆的位置关系判断设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则位置关系图形公共点个数d,R,r的关系公切线条数外离

0d>R+r4外切

1d=R+r3相交

2R-r<d<R+r2内切

1d=R-r1内含

0d<R-r0题型30隐圆问题例1已知m,n不同时为0,过点P(2,6)作直线l:2mx-(4m+n)y+2n=0的垂线l',垂足为M,O为

原点,则|OM|的取值范围是

(

)A.[5-2

,5+2

]

B.[5-

,5+

]

C.[5-

,5+

]

D.[5,5+

]

A

解析直线l含参,先看看它是否过定点,2mx-(4m+n)y+2n=0⇒m(2x-4y)+n(2-y)=0,令

可得

所以直线l过定点Q(4,2),如图,l⊥l',垂足为M,所以点M的轨迹是以PQ为直径的圆,圆心为C(3,4),半径r=

|PQ|=

,

接下来就是圆外定点与圆上动点距离的范围问题了,|OM|最小时的情形如图,最大时M

为图中的M',因为|OC|=

=5,所以图中|OM|=|OC|-r=5-

,|OM'|=|OC|+r=5+

,故|OM|的取值范围是[5-

,5+

].例2

(2025湖北武汉华中师大附中月考)在△ABC中,BC=8,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的3倍,当△ABC的面积最大时,cos∠BAC=_______.解析根据题意,△ABD与△ADC的面积比可以转化为BD∶DC,由AD平分∠BAC联想

到角平分线定理,得到点A到两定点B,C的距离之比为定值.即

=

为定值,联想到阿氏圆,故考虑建立合适的坐标系解决问题.过A作AE垂直于BC,垂足为E,因为S△ABD=

BD·AE,S△ADC=

DC·AE,S△ABD=3S△ADC,所以BD=3DC.以B为原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),C(8,0),设A

(x,y),

由角平分线定理得

=

=

,即

=

,整理得x2+y2-18x+72=0,即(x-9)2+y2=9,又y≠0,所以点A的轨迹是以(9,0)为圆心,3为半径的圆(不包含(6,0),(12,0)两点),因为边BC的长度为定值,所以要使△ABC的面积最大,需要点A到BC的距离最大,因此当A在点(9,3)或(9,-3)处时,△ABC的面积最大,此时AB=

=3

,AC=

=

,在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠BAC=

=

=

.归纳总结常见的隐圆类型1.定长对定点(圆的定义):平面内到定点C(a,b)的距离等于定长r的点P的轨迹是圆.

2.定长对定角:平面内动点M到两个定点A,B的张角为直角,即∠AMB=

,则点M的轨迹为圆.

3.定长对定比(阿氏圆):平面内动点M到两个定点A,B的距离之比为大于0且不等于1的

常数,即

=λ(λ>0且λ≠1),则点M的轨迹为圆.

4.动点到两定点对应的向量的数量积为大于0的定值,动点的轨迹是圆,如A,B为两个定

点,动点P满足

·

=λ(λ>0),动点P的轨迹是圆.题型31椭圆、双曲线的离心率问题角度1利用定义+几何关系求离心率例1

(2026浙江温州第一次适应性考试)设F1,F2分别为双曲线

-

=1(a,b>0)的左、右焦点,过F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若|F1A|=|AB|,则双曲线的离心率可以是

()A.2

B.3

C.4

D.5A

解析要想求离心率,应该找到a,c的值,由设问知双曲线的离心率是一个范围.考虑画

出图形,并结合双曲线的定义求解.如图,设|AF2|=m,由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2a,所以|AF1|=m+2a,又|F1A|=|AB|,所以|BF2|=2a,又|BF1|-|BF2|=2a,则|BF1|=4a,在△BF1F2中,|BF1|=4a,|BF2|=2a,|F1F2|=2c,由4a+2a>2c(三角形两边之和大于第三边),得e=

<3,又e>1,所以1<e<3,结合选项知,A正确,B,C,D错误.

故选A.归纳总结

定义+几何关系求解有关离心率问题时,题干中条件一般都会与圆锥曲线焦点相

关,利用定义得到焦半径的关系式,再数形结合,利用平行线、中垂线、三角形、圆等的

性质,将所有条件综合得到有关a,b,c的关系式(或关于a,c的不等式),利用e=

求解.角度2利用代数法找等式求离心率例2已知O为原点,椭圆C:

+

=1(a>b>0)的右顶点、右焦点分别为A,F,过点O的直线l(与x轴不重合)与C分别交于点P,Q.若直线PF交线段AQ于B且

=

,则C的离心率为

()A.

B.

C.

D.

D

解析观察到题干关键性条件

=

中未涉及焦点,所以无法直接利用椭圆的定义,又点P,Q在椭圆上,所以只能设出点的坐标,将向量关系转化为坐标的关系,代入方程,进

而转化为代数运算解决.由题意知A(a,0),F(c,0),设点P的坐标为(m,n),n≠0,则由对称性知Q(-m,-n).直线AQ的方程为y=

(x-a),直线PF的方程为y=

(x-c),联立

解得xB=

.因为

=

,所以

=

,即(xB-a,yB)=

(-m-a,-n),则xB=-

m+

a,即

=-

m+

a,化简得4(c-a)m+8ac=(a+c)(3a-m),即(m+a)(5c-3a)=0,因为m≠-a,所以5c=3a,则C的离心率为e=

=

.故选D.

归纳总结

当题中的已知条件与圆锥曲线的焦点没有直接关系时,可设出相关点的坐标,再结

合题中条件转化为代数运算.角度3利用焦点三角形求离心率例3已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上存在一点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且cos∠PF2F1=-

,则双曲线C的离心率为___________.解析涉及焦点三角形,且cos∠PF2F1=-

,△PF1F2为等腰三角形,可考虑利用e=

=

=

求得离心率.在等腰△PF1F2中,cos∠PF2F1=-

<0,所以∠F1PF2=∠F2F1P,sin∠PF2F1=

,所以cos∠PF2F1=cos(π-2∠F1PF2)=-cos2∠F1PF2=2sin2∠F1PF2-1=-

,所以sin∠F1PF2=

,则e=

=

=

=

=

.

注意:由cos∠PF2F1=-

<0,△PF1F2为等腰三角形知点P在双曲线右支上

一题多解:涉及双曲线的两个焦点,故可利用双曲线定义得到||PF1|-|PF2||=2a,在△PF1F2

中,由cos∠PF2F1=-

结合余弦定理可得|PF1|,从而解决问题.因为cos∠PF2F1=-

,所以∠PF2F1>90°,又△PF1F2为等腰三角形,所以点P在双曲线的右支上,且|F1F2|=|PF2|=2c,在△PF1F2中,由余弦定理可得

=4c2+4c2-2×2c×2c×

=10c2,解得|PF1|=

c.因为|PF1|-|PF2|=2a,即

c-2c=2a,所以e=

=

=

,即双曲线C的离心率为

.总结椭圆、双曲线焦点三角形相关结论(以焦点在x轴上为例)曲线类型椭圆双曲线图形

焦半径的积与面积|PF1||PF2|=

,S=

|PF1||PF2|sinθ=b2tan

|PF1||PF2|=

,S=

离心率e=

=

=

e=

=

=

拓展椭圆、双曲线焦点弦三角形的相关结论(以焦点在x轴上为例)曲线类型椭圆双曲线图形

周长4a4a+2m(其中|AB|=m)弦长|AB||AB|=

(α为直线AB的倾斜角)|AB|=

(α为直线AB的倾斜角)|AF1|与|BF1|的关系

+

=

+

=

题型32抛物线的焦点弦问题例1过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与C交于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=___________.解析解法一:已知|AF|,可由坐标版焦半径公式求得A的坐标,由题意,|AF|=xA+1=3,所以xA=2,代入y2=4x可得yA=±2

,由对称性,不妨设A(2,2

),此时可结合点F写出直线AF的方程,并与抛物线方程联立求出点B的横坐标,再算|BF|,又F(1,0),所以kAF=

=2

,故直线AF的方程为y=2

(x-1),联立

消去y整理得2x2-5x+2=0,解得x=2或

,因为xA=2,所以xB=

,故|BF|=xB+1=

.解法二:如图,已知|AF|,可由角版焦半径公式求得cosα,并用于求|BF|,

设∠AFx=α,则|AF|=

=3,所以cosα=

,故|BF|=

=

.解法三:已知|AF|求|BF|,可用结论

+

=

,由题意,p=2,所以

+

=

=1,将|AF|=3代入可求得|BF|=

.例2已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1和l2,l1与C交于A,B两

点,l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为____________.

24

解析解法一:AB和DE都是焦点弦,可设直线的方程,与抛物线联立,结合根与系数的关

系来算.由题意,F

,l1和l2都不与坐标轴垂直,可设l1:y=k

(k≠0),则l2:y=-

,将y=k

代入y2=6x消去y整理得k2x2-(3k2+6)x+

k2=0,由根与系数的关系得,x1+x2=

=3+

,所以|AB|=x1+x2+3=6+

①,注意到两直线仅斜率不同,其他都一样,故只需在①中替换斜率即可得到|DE|,无需重复

计算,在①中用-

替换k可得|DE|=6+6k2,所以|AB|+|DE|=12+6

≥12+6×2

=24,当且仅当

=k2,即k=±1时取等号,故|AB|+|DE|的最小值为24.解法二:AB和DE都是焦点弦,可设两直线的倾斜角,用角版焦点弦公式来计算,如图,设直线l1的倾斜角为α,两直线都不与坐标轴垂直,

不妨设0<α<

,则|AB|=

,因为l1⊥l2,所以l2的倾斜角为

+α,从而|DE|=

=

,故|AB|+|DE|=

+

=

=

=

,所以当α=

时,sin22α=1,|AB|+|DE|取得最小值24.例3

(多选)(2026广东华南师大附中综合测试二)已知抛物线W:y2=2px(p>0)与圆M:(x-

6)2+(y-4)2=64相交于A,B两点,线段AB恰为圆M的直径,且直线AB过抛物线W的焦点F,动

直线l过点F且与抛物线交于C,D两点,则以下结论正确的是

()A.p=4

B.|CF|+9|DF|≥36

AC

C.△CFM的周长可以为14

D.当S△COF=3S△DOF时,|CD|=12解析易知圆M的圆心为(6,4),半径为8.对于A,看到抛物线的焦点,联想抛物线的定义,如图1,设抛物线的准线为m,

分别过A,B,M作抛物线准线的垂线,垂足为A1,B1,M1,则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,因为AA1⊥m,BB1⊥m,MM1⊥m,且M为AB的中点,所以M1为A1B1的中点,则MM1是梯形ABB1A1的中位线,则|MM1|=

=

=

=8,又|MM1|=6+

,所以6+

=8,解得p=4,故A正确.对于B,解法一:利用抛物线焦点弦结论

+

=

,然后利用乘“1”法求解,因为

+

=

=

,所以|CF|+9|DF|=2

(|CF|+9|DF|)=2

+

+10

≥2×(6+10)=32,当且仅当

=

,即|CF|=3|DF|时等号成立,故B错误.解法二:易知直线l的斜率不为0,设直线CD的方程为x=my+2,C(x1,y1),D(x2,y2),x1,x2>0,联立

可得y2-8my-16=0,则y1+y2=8m,y1y2=-16,则x1x2=

·

=4,根据x1x2=4,得x2=

,用抛物线的定义,表示出|CF|,|DF|,然后用基本不等式求最值.|CF|+9|DF|=x1+2+9(x2+2)=x1+

+20≥2

+20=32(当且仅当x1=6时等号成立),故B错误.对于C,△CFM的周长=|CF|+|CM|+|MF|,其中|MF|为定值,|CF|,|CM|为变量,而C为抛物线

上一点,F为抛物线的焦点,所以联想到抛物线定义,得|CF|=|CC1|(CC1为准线的垂线),则

△CFM的周长=|CC1|+|CM|+|MF|,然后根据|CC1|+|CM|≥|C1M|求解△CFM的周长的最小值.由M(6,4),F(2,0),得|MF|=4

,如图2,

过点C作抛物线准线的垂线,垂足为C1,则|CF|=|CC1|.设△CFM的周长为L,则L=|CF|+|FM|+|CM|=4

+|CF|+|CM|=4

+|CC1|+|CM|≥4

+|MM1|=4

+8,(当且仅当C1,C,M三点共线时取等)(提示:因为C1,C,M三点共线,且CC1垂直于准线,所以|CC1|+|CM|≥|MM1|)而4

+8<14,故C正确.对于D,解法一:观察△COF,△DOF,分别以CF,DF为底,高相等,将面积比转化为|CF|,|DF

|之比,结合

+

=

,可直接求得|CF|,|DF|.如图3,

=3=

,

+

=

=

,所以|DF|=

,|CF|=8,所以|CD|=|CF|+|DF|=

.故D错误.解法二:易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+2,代入抛物线方程得y2-8my-16=

0.则yCyD=-16,则xCxD=4.因为

=3=

=

,所以xC=3xD+4,又因为xCxD=4,则(3xD+4)xD=4,解得xD=

或xD=-2(舍),所以xC=6,则|CD|=xC+xD+p=6+

+4=

.故D错误.故选AC.知识总结

抛物线焦点弦的性质见P291.题型33点差法与中点弦例

(2025安徽合肥一六八中学最后一卷)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0),斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M,N两点,且线段MN的中点为G(1,3),若右顶点A在以

线段MN为直径的圆内,则此双曲线的实半轴长a的取值范围是

()A.(0,1)

B.(1,2)

C.(1,+∞)

D.(2,+∞)

C

解析涉及中点弦,想到中点弦斜率积结论.设坐标原点为O.因为M,N两点在双曲线C上,且MN的中点为G,所以kMN·kOG=1×

=

,即b2=3a2,由A在圆内,得∠MAN>

,即

·

<0,将A在圆内这一条件转化为∠MAN>

,从而对应向量的数量积小于0.设M(x1,y1),N(x2,y2).由题意知A(a,0),所以

·

=(x1-a,y1)·(x2-a,y2)=(x1-a)(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2,式子涉及x1x2,x1+x2,y1y2,故需要把直线方程与抛物线方程联立,易知直线MN的方程为y-3=1·(x-1),即y=x+2,联立得

消去y并整理得2x2-4x-(4+3a2)=0,则Δ=48+24a2>0,x1+x2=2,x1x2=-2-

a2,y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=6-

a2,所以

·

=x1x2-a(x1+x2)+a2+6-

a2=-2a2-2a+4<0,解得a<-2或a>1,因为a>0,所以a>1.故选C.知识归纳

1.中点弦结论的证明已知直线AB(直线AB的斜率存在)与曲线

+

=1(mn≠0,且m≠n)交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则M

,kOM=

,kAB=

,因为A,B在曲线上,所以

①-②得

+

=0,整理得

=-

,即

·

=-

,即kAB·kOM=-

.(注意:此结论只与x2,y2对应的分母有关,无论对应的曲线是椭圆还是双曲线,焦点在x轴上还是在y轴上,该定值始终为y2对应的分母与x2对应的分母之比的相反

数)曲线椭圆

+

=1(a>b>0)双曲线

-

=1(a,b>0)图形

结论kAB·kOM=-

=e2-1kAB·kOM=

=e2-12.椭圆、双曲线中常用的中点弦与离心率的结论3.抛物线的中点弦与点差法设直线l(l的斜率存在)与抛物线y2=2px(p>0)的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点

坐标为P(x0,y0),将A,B两点的坐标代入抛物线方程得,

=2px1,

=2px2,将两式相减,得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),即

=

,即kAB=

=

=

.题型34圆锥曲线的创新题例1如图,由部分椭圆

+

=1(a>b>0,y≤0)和部分双曲线

-

=1(y≥0)组成的曲线C称为“盆开线”.曲线C与x轴有A(2,0),B(-2,0)两个交点,且椭圆与双曲线的离心率之

积为

.(1)设过点(1,0)的直线l与C相切于点M,求点M的坐标及直线l的方程;(2)过点A的直线m与C相交于P,A,Q三点,求证:∠PBA=∠QBA.解析

(1)因为A(2,0),B(-2,0)是椭圆和双曲线的顶点,所以a=2,又椭圆和双曲线的离心率之积为

,所以

·

=

,结合a=2可得b=

,所以椭圆的方程为

+

=1(y≤0),双曲线的方程为

-

=1(y≥0),怎样求切线l的方程?已知l过(1,0),求方程还差斜率,可设斜率,写出其方程,与双曲线方

程联立,由Δ=0求所设斜率.因为点(1,0)在点A左侧,所以l不与椭圆的部分相切,而是与双曲线的部分相切,由图可知,切线l的斜率存在,设为k,结合l过点(1,0)可得l的方程为y=k(x-1),代入

-

=1整理得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0①,因为l与双曲线相切,所以

解得k=±1,由图可知k>0,所以k=1,所以切线l的方程为y=x-1,将k=1代入①化简得(x-4)2=0,解得x=4,所以y=x-1=3,故切点M的坐标为(4,3).(2)证明:怎样翻译要证的结论∠PBA=∠QBA?注意到AB是水平线,所以∠PBA=∠QBA

⇔kBP=-kBQ⇔kBP+kBQ=0,故按此翻译,需要P,Q的坐标,可设直线m的方程,分别与椭圆、双

曲线方程联立,求P,Q的坐标.由图可知,直线m的斜率存在且不为零,又m过点A(2,0),所以可设其方程为x=ty+2,要使直线m与曲线C有3个交点,则直线m与曲线C椭圆的部分有2个交点,所以m的斜率

>0,故t>0,另一方面,直线m与曲线C双曲线的部分也有2个交点(其中一个是A),注意到双曲线渐近

线的斜率为±

,所以结合图形以及

>0可得

>

,故0<t<

,联立

消去x整理得(3t2-4)y2+12ty=0,解得y=0或y=-

,所以yQ=-

,从而xQ=tyQ+2=-

,故Q

,联立

消去x整理得(3t2+4)y2+12ty=0,解得y=0或y=-

,所以yP=-

,从而xP=tyP+2=

,故P

,所以kBP+kBQ=

+

=-

+

=0,故∠PBA=∠QBA.例2

(2026广西柳州一模)从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线的反射后,反射

光线是散开的,反射光线的反向延长线过另一个焦点,它们就好像是