2026秋新教材人教版九年级上册数学27.3实际问题与反比例函数 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学27.3实际问题与反比例函数教案课题：27.3实际问题与反比例函数（1）教学目标能准确识别生活中乘积为定值的反比例数量关系，理解实际问题中反比例函数的现实意义；掌握实际问题建立反比例函数模型的基本步骤，能熟练求解反比例函数解析式；能根据实际情境限制条件，正确确定自变量和函数值的取值范围，并利用模型解决简单实际求值问题.重点难点结合生活实际，合理限定自变量、函数值的取值范围，避免数学解与实际情境脱节教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入展示两组生活化情境，引导学生分析数量关系：情境1：一段总路程为600m的道路，行走速度x（m/min）和行走时间y（min），二者存在怎样的数量关系？情境2：一批总质量固定的货物，平均分派给运输车辆，车辆数x（辆）和每辆车装载质量y（t），存在怎样的数量关系？设置问题链引导探究：1.两个情境中，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的？2.变量之间的乘积是否为定值？符合我们学过的哪种函数关系？3.能否用含x的式子表示y？学生自主思考、小组交流后得出：两个情境均满足“两个变量的乘积为定值”，变量成反比例函数关系.小结导入新课：生活中大量“总量固定、此增彼减”的问题，都可以用反比例函数刻画.今天我们重点学习如何从实际问题中建立反比例函数模型，用函数知识解决生活问题.二、合作探究探究点1探究货物装载问题，总结建模通用步骤问题1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h.（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？（2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？追问1.怎样求出轮船装载货物的总量？根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量.追问2.怎样建立起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间的函数关系？根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式.追问3.轮船上的货物不超过6h卸载完毕，怎样求出起重机平均每小时至少要卸载多少货物？根据函数的增减性来确定.具体解答如下：解：(1）轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于t的函数解析式为v=6300t(2)把t=6代入v=6300t得v=6300从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t.对于函数v=6300t总结建模通用步骤：1.审：审题，确定固定总量（定值）、两个变化的变量；2.判：判断变量乘积为定值，确定反比例关系；3.列：设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式；4.定：结合实际，确定自变量、函数值取值范围.探究点2探究并应用“杠杆原理”“杠杆原理”简介：古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力×动力臂.问题2.某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1）动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少?追问1.怎样建立动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？根据杠杆原理为：阻力×阻力臂-动力×动力臂，得到F关于l的函数解析式.追问2.想使动力F不超过（1）中所用力的一半，怎样求动力臂1至少要加长多少?结合函数解析式,根据函数的增减性来确定.具体解答如下：解：（1)根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5,所以F关于l的函数解析式为F=600当l=1.5m时，F=6001.5对于函数F=600l,(2)对于函数F=600l，当l>0时，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的/的值，就能确定动力臂l将F=400×12=200,代人F=600l，得200=600l因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m).讨论:用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？三、例题讲解例1.某车间需要完成总工作量固定的零件加工任务，总零件数为1200个。设每天加工零件的数量为x（个/天），完成全部任务所需的天数为y（天）。（1）求y关于x的函数解析式；（2）写出自变量x的取值范围；（3）若车间每天至少加工40个零件，需要多少天完成任务？【详解】（1）由题意可知：总零件数量固定，可得等量关系：每天加工数量×加工天数=总零件数，即xy=1200变形整理得y关于x的函数解析式：y=1200x（2）①每天加工零件数量不能为0或负数，即x>0；②零件为整数个，因此自变量x为正整数；综上，自变量取值范围：x>0,且x为正整数.（3）已知每天至少加工40个零件，即x=40,将x=40代入解析式：y=1200x=1200答：需要30天完成任务。拓展追问:若要求工期不超过20天，每天至少需要加工多少个零件？（引导学生初步利用模型反向求值，深化应用）例2.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务．(1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系?(2)要求4天完成，每天应完成几页?【分析】（1）运用每天完成的页数所需天数总页数进行求解；（2）将代入（1）所得函数关系式进行求解．【详解】（1）解：由题意得，，整理，得，每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系；（2）由（1）题所得，，由题意得，解得，每天应完成200页．四、课堂总结知识技能：（1）模型识别：实际问题中，两个变量乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系；（2）建模步骤：审题找定值→判断反比例关系→列写解析式→确定实际取值范围；（3）应用技能：能利用建立的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题.思想方法：（1）数学建模思想：将生活化的复杂实际问题，抽象为标准化的反比例函数数学模型，用数学方法解决实际问题；（2）对应思想：数学解析式、变量取值必须与生活实际一一对应，保证结果合理；（3）转化思想：文字语言描述的数量关系，转化为函数解析式的符号语言.易错提醒：（1）核心易错：照搬纯数学函数取值范围，忽略实际情境限制，忘记自变量为正数、整数等实际要求；（2）审题易错：无法区分题目中的定量与变量，误将变化量当作定值，建模错误；（3）解题易错：建模成功后，求解结果不检验实际意义，出现负数、小数等不符合生活实际的答案；（4）书写易错：未将等式整理为标准反比例函数y=kx的形式，格式不规范课堂练习课本76页板书设计：作业内容：教学反思课题：课题：27.3实际问题与反比例函数（2）教学目标1.能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围；2.掌握反比例函数实际图像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义；3.能利用数形结合的方法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题.重点难点根据实际限制条件，结合图像确定自变量、函数值的取值范围，区分纯函数图像与实际问题受限图像的区别.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入知识回顾：（1）生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？（积为定值：总工程量=人数×效率、路程=速度×时间、压力=压强×面积等）（2）反比例函数y=kx设疑导入：我们之前通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观。今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的变化规律.二、合作探究探究点1从函数图象中探究力F所做的功W问题1：在力F（单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W(单位：J）满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示.(1）当力F为10N时，求F所做的功W；(2)写出s关于F的函数解析式；（3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围.追问1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J).追问2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？由（1）W=Fs=10×50=500(J)，可知其解析式为s=500F追问3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？将s=100代入s=500F具体解答如下：解：（1）由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J).(2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由（1）可知其解析式为s=500F(3）将s=100代入s=500F因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F要大于5N.三、例题讲解探究点2从函数图象中探究行程问题问题2.一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t（单位：h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120.(1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围；(2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围.追问1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系?平均速度v=路程÷行驶全程所用时间t.追问2.怎样确定t的取值范围根据60≤v≤120，和函数的增减性质确定.追问3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？根据函数的增减性质确定客车平均速度v的范围.具体解答如下：解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由上面的图象可知，当t=2时，v=120，于是有v=240t当v=60时，由①得t=4.因为60≤v≤120，并且平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以2≤t≤4.（2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=223因为平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以客车平均速度的范围是80≤v≤90.总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤：1.根据函数图象，确定固定总量（定值）、两个变化的变量；2.建立函数关系式，确定反比例关系；3.设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式；4.结合实际，确定自变量、函数值取值范围，分析解决实际问题.四、课堂总结知识技能：（1）结合函数图象，能根据积为定值的实际关系，建立反比例函数解析式，并结合实际确定自变量取值范围；（2）识图技能：掌握实际反比例函数图像仅为第一象限双曲线分支，能解读图像增减趋势、特殊点的实际意义；（3）解题技能：可利用数形结合思想，结合函数图像解决实际问题中的变化规律、取值范围、最值问题.思想方法：（1）数形结合思想：将实际代数问题转化为函数图像问题，以形助数、直观解题；（2）模型思想：提炼生活中的反比例定值模型，用函数知识解决实际问题；（3）转化思想：将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化为函数的取值范围问题.易错提醒：（1）忽略实际限制，画出完整双曲线，实际问题中自变量多为正数，图像只有第一象限分支；（2）直接套用纯函数增减性，不考虑实际取值范围，导致结论不符合生活实际；（3）由图像范围解题时，混淆自变量与函数值的增减对应关系，最值判断错误；（4）求解实际问题后，不检验结果是否符合实际意义.课堂练习.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．(1)P关于S的函数关系式为．(2)求当时，物体所受的压强是．(3)当时，求受力面积S的变化范围．【详解】（1）解：设，由图象可知：点在函数图象上，∴，∴；∴；故答案为：．（2）当，；故答案为：400；（3）当时，；当时，；∴当时，．板书设计：作业内容：教学反思课题：27.3实际问题与反比例函数（3）教学目标1.熟练掌握反比例函数实际问题代数建模、数形结合两种解题方法；2.掌握反比例综合应用题的通用解题流程，提升复杂问题的分析、转化、解决能力.重点难点根据多重复合实际条件，灵活选择最优解题方法，结合图像与代数双重验证结论教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入知识回顾：1.反比例实际问题核心特征是什么？（总量定值、变量乘积为定值、一增一减）2.基础解题两种核心方法分别是什么？（代数建模求值；数形结合识图判范围）3.体系梳理：单一建模、单纯识图只能解决基础题，中考及单元重点考查综合题型：需要结合列式计算、图像分析、范围限定、最值决策多重技能.导入课题：今天我们整合所有方法，综合解决反比例实际问题，攻克多设问、多条件、方案型综合难题.二、合作探究探究点1根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题.问题：某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（如下表).序号123456体积V/mL201816141210压强p/kPa100112123145163201气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位).追问1.由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，我们需要怎么办？由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型.追问2.怎样选择函数模型？首先要根据数据发现规律，为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系.追问3.怎样建立函数模型？设函数解析式为p==kVV20816141210p100112123145163201k200020161968203019562010计算所有k值的平均值，得K=16(2000+2016+1968+2030+1956+2010)我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型p==1977V追问4.怎样检验函数模型？将已知数据代入函数解析式，或画出函数解析式的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强力P体积V的关系.追问5.压强为132kPa时，气体的体积为多少？将p=132代入①，求出V.具体解答过程：解：（1）描点画出图象.先画出散点图，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系.设函数解析式为p==kVV20816141210p100112123145163201k200020161968203019562010计算所有k值的平均值，得K=16(2000+2016+1968+2030+1956+2010)我们把这个平均值1997作为的