2026秋新教材人教版九年级上册数学26.4 实际问题与二次函数 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学26.4实际问题与二次函数教案课题第1课时最大高度和最大面积问题备课人课时第9课时课标解读与教材分析课标要求：学会分析几何图形问题中的变量对应关系，能够从几何情境中抽象构建二次函数模型，结合自变量实际范围准确求解图形最大面积最值。教材分析：本节课是二次函数实际应用的开篇内容，融合几何图形知识与函数建模思想，自变量存在实际限制条件，是中考基础应用题常考题型。教学目标1.通过图形的面积关系列出函数解析式；用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题；体会二次函数是刻画现实世界的有效模型．2.从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”的思想．通过转化建模，会用数学的思维思考现实世界．教学重点与难点重点1.用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题．（重点）难点2.通过图形的面积关系列出函数解析式．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用问题驱动探究法、数学模型建构法、分层讲练结合法，逐步引导学生拆解几何情境，梳理变量关系、建立函数模型。教学过程知识链接：前面我们学习了实际问题与一元二次方程，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点一：求二次函数的最大（或最小）值 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=－4.9t2＋2.8t＋11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位．）追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？重心的最大高度h与起跳后的时间t之间的关系．追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点，最高点对应函数图象的哪个点呢？画出二次函数图象（见教材P51图26.4－1），最高点对应函数图象的顶点．追问3：运动员起跳后，运动中最大高度对应函数中的哪个值？函数的最大值（顶点的纵坐标）．追问4：如何求出运动员跳水过程中重心的最大高度？解：对于二次函数h=－4.9t2＋2.8t＋11，当t=－b2a=－2.82×（－4.9）≈0.3时，h有最大值4探究点二：二次函数与几何图形面积的最值 用总长为20 m的篱笆围成一个矩形菜园（一面靠墙，墙的可用长度不超过10 m），当垂直于墙的边长为多少米（设为x）时，菜园的面积S最大？思考：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？矩形的面积S与垂直于墙的边长x的关系．分析：设垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为（20－2x）m，矩形菜园的面积S=x（20－x）=－x2＋20x．问题：当x是多少时，菜园的面积S最大？学生自行完成解答，教师点评，注意x取值应具有现实意义．归纳总结：二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求函数的最大值或最小值；3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值．变式：用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园．（1）当墙长32 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？（2）当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？（解答过程见配套课件）1.（4分）用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系式y=－（x－12）2＋144（0＜x＜24），则该矩形的面积最大为144 m2．2.（4分）已知一个直角三角形两直角边的和为30，则这个直角三角形面积的最大值为112.5．3.（5分）如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t－5t2，则小球飞行的最大高度为20 m．4.（5分）如图，用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，求矩形框架ABCD的最大面积．书写通关解：设AB=x m．根据题意得S矩形ABCD=AB•AD=x•12－3x3=－x2＋4x=－（x－2）2＋4当x=2时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积为4 m2．答：矩形框架ABCD的最大面积为4 m2．5.（12分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．（1）求y关于x的函数解析式．（2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，∴AB=AD=BC=CD=4，BE=AH=4－x，∠A=∠D=90°，EH=HG=FG=EF，∠AEH=∠GHD．∵∠AEH＋∠AHE=90°，∴∠AHE＋∠DHG=90°．∴∠EHG=90°．∴四边形EFGH是正方形．∴y=EH2=AE2＋AH2=x2＋（4－x）2=2x2－8x＋16（0＜x＜4）．（2）存在．∵y=2x2－8x＋16=2（x－2）2＋8，2＞0，∴y有最小值，最小值为8.即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为8.板书设计分层作业A层：读懂几何情境，准确列出面积函数关系式；B层：求解常规几何图形的最大面积问题；C层：解决带取值限制条件的几何最值综合题型。教学反思教学设计教案课题第2课时商品最大利润问题备课人课时第10课时课标解读与教材分析课标要求：能够梳理商品销售问题中单价、销量、成本、利润之间的数量关系，构建二次函数利润模型，结合实际自变量范围求解最大利润。教材分析：本课时是中考重点高频应用题，情境贴近生活，学生难点在于梳理复杂销售数量关系，是培养数学建模能力的核心课时。教学目标1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．2.会用二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．教学重点与难点重点1.用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题．（重点）难点2.通过问题中的数量变化关系列出函数解析式．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用问题链拆解教学法、小组合作讨论法、实例讲练结合法，分步拆解销售变量，帮助学生理清逻辑、掌握建模方法。教学过程知识链接：利润=收入－成本；总收入=销售单价×销量；总成本=进货单价×销量；总利润=销售单价×销量－进货单价×销量=（销售单价－进货单价）×销量=单利润×销量．创设情境——见配套课件探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每件每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？思考：总利润=（销售单价－进货单价）×销量=单件利润×销量604020300涨价60＋120＋1300－10降价60－120－1300＋20涨价销售①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售203006000降价销售20＋x300－10x（20＋x）（300－10x）所得利润y=（20＋x）（300－10x）=－10x2＋100x＋6000.②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要x及销售量非负就可以，故300－10x≥0，且x≥0，故自变量的取值范围是0≤x≤30.③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？y=－10x2＋100x＋6000=－10（x－5）2＋6250（0≤x≤30）．当x=5，即每件涨价5元（销售单价为65元）时，有y最大值=6250.∴当销售单价为65元时，该店每星期能获得最大利润6250元．想一想：降价销售时每一步应该怎么做？①设未知数，用含未知数的代数式表示相关量单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售203006000降价销售20－x300＋20x（20－x）（300＋20x）解：设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则单件利润为（20－x）元，每星期可卖出（300＋20x）件．则y=（20－x）（300＋20x）=－20x2＋100x＋6000.学生自行完成解答过程，教师点评．归纳总结：求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价－总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出．变式：一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，由往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于成本价．设该商品的售价为x元/千克时，一天的销售总量为y千克．（1）求y与x的函数关系式．（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x＞8），试求出水果店每天的利润W（元）与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．（解答过程见配套课件）1.（5分）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y=－2（x－20）2＋1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（A）A.1558元B.1550元C.1508元D.20元2.（5分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y=－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w（元），则w与x之间化简后的函数关系式为w=－5x2＋800x－27500，w的最大值为4500．3.（5分）［教材变式］某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件．若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？解：设利润为w元，根据题意得w=（x－20）（30－x）=－（x－25）2＋25，x的取值范围为20≤x≤30，∴当x=25时，利润取得最大值．答：若要使利润最大，则每件的售价应为25元．4.（12分）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1=－x2＋10x，y2=2x．若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求能获得的最大利润．解：设总利润为w万元，在甲地销售了a辆，则乙地销售了（15－a）辆，则y1=－a2＋10a，y2=2（15－a）．由题意得w=－a2＋10a＋2（15－a）=－（a－4）2＋46，∴当a=4时，w最大=46.∴能获得的最大利润为46万元．5.（13分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y=－2x＋160，且规定商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元．（1）销售单价为多少元时每天能获得800元的利润？（2）［典型易错］要使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？易错通关：首先判断顶点横坐标是否在30≤x≤50区间范围内，再取最值．解：（1）由题意得（x－30）（－2x＋160）=800，整理得x2－110x＋2800=0，解得x1=40，x2=70.∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元，∴30≤x≤50.∴x=40.答：销售单价为40元时每天能获得800元的利润．（2）由题意得w=（x－30）（－2x＋160）=－2（x－55）2＋1250.∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大．∵30≤x≤50，∴当x=50时，w有最大值，此时，w=1200.答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，最大利润为1200元．板书设计分层作业A层：根据题意准确书写利润函数表达式；B层：完成基础最大利润计算应用题；C层：攻克涨价、降价复合型利润最值综合题。教学反思教学设计教案课题26.4实际问题与二次函数第3课时最大高度和最大面积问题备课人课时第11课时课标解读与教材分析课标要求：能够针对拱桥、投篮、喷泉等抛物线实物与运动情境，自主建立平面直角坐标系，求解抛物线解析式，利用函数性质解决实际问题。教材分析：本节课综合性极强，融合建系、求解析式、函数性质应用等多个知识点，需要学生将生活实物情境转化为标准数学函数模型。教学目标1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力．3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题．教学重点与难点重点1.探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法．（重点）难点2.如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型．（难点）媒体教具教案、教材、课件教学方法采用数学模型建构法、多媒体情境辅助法、典型例题讲练法，示范规范建系流程，强化学生数形转化与建模解题思维。教学过程知识链接：前面我们已经学习了实际问题中图形、利润的二次函数最值问题，回顾一下相关知识．创设情境——见配套课件探究点：利用二次函数解决抛物线形实物问题问题：如图是抛物线形拱桥，当拱顶（记为M）离水面4 m时，水面宽（记为AB）10 m．当水面上升1 m时，水面宽度（记为CD）是多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线对应的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．解：设这条抛物线对应的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点（5，－4），可得－4=a•52.解得a=－425．因此，这条抛物线对应的二次函数为y=－425x2.当水面上升1 m时，水面的纵坐标为－3.令－425x2=－3.解得x=±5方法总结：|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 如图，一名运动员在距离篮球框中心4 m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5 m．如果篮框中心距离地面3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？（解答过程见配套课件）反思：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题→建立二次函数模型→利用二次函数的图象和性质求解→实际问题的解．1.（5分）如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，若以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式为y=－3100x22.（9分）［一材多题］小明在校运动会上掷铅球．（1）第1次掷球时，铅球行进高度h（m）和飞行时间t（s）满足的函数解析式为h=－58t2＋52t＋32，则当铅球距离地面的高度最大时，飞行时间为（2）第2次掷球时，如图，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解