重难点03指、对、幂数比较大小（举一反三专项训练）（教师版）

重难点03指、对、幂数比较大小（举一反三专项训练）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用函数的单调性比较大小】 2【题型2中间值法比较大小】 3【题型3作差法、作商法比较大小】 5【题型4构造函数法比较大小】 6【题型5数形结合法比较大小】 8【题型6利用基本不等式比较大小】 11【题型7放缩法比较大小】 12【题型8利用函数的综合性质比较大小】 141、指、对、幂数比较大小指数与对数是高中数学的一个重要的知识点，从近三年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解.考点1考点1指、对、幂数比较大小知识点1指、对、幂数比较大小的常用方法1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如和，利用对数函数单调性比较大小.2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3．作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4．估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5．构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6．放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用函数的单调性比较大小】【例1】（2026·天津南开·模拟预测）若2a=3=logb9，c=eln23A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c【答案】D【解题思路】求出a、b、c，利用对数函数、幂函数的单调性可得出a、b、c的大小顺序.【解答过程】由题意可得a=log23，b3=9因为对数函数y=log2x为0,+幂函数y=x13在0,+故b>a>c.故选：D.【变式1-1】（2026·山东泰安·模拟预测）a=0.30.7,b=0.70.3A．c>b>a B．c>a>bC．a>b>c D．a>c>b【答案】A【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.【解答过程】由幂函数y=x0.7为增函数，得由指数函数y=0.7x为减函数，得由对数函数y=log0.7x所以c>b>a.故选：A.【变式1-2】（2026·北京·三模）已知a=log21.5,b=A．b<c<a B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b【答案】C【解题思路】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得c<b<a，即可得解.【解答过程】根据题意，a=logc=所以c<b<a.故选：C.【变式1-3】（2026·河南·模拟预测）设a=1313,b=log1A．a<c<b B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b【答案】A【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.【解答过程】因为y=13x因为y=log12则a,b,c的大小关系为a<c<b.故选：A.【题型2中间值法比较大小】【例2】（2026·湖南·一模）若a=log772，b=70.1，c=2A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．c<b<a【答案】C【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为函数y=log7x在0,+∞上为增函数，所以因为b=70.1，函数y=x0.1在0,+∞上为增函数，所以7故b>c>a．故选：C.【变式2-1】（2026·福建漳州·模拟预测）若a=20240.2025，b=log20241A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】C【解题思路】通过中间值0,1即可比较大小.【解答过程】易知a=2024b=log0<c=sin所以a>c>b，故选：C.【变式2-2】（2026·天津·一模）已知a=log33A．b>c>a B．c>b>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】A【解题思路】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可.【解答过程】a=logb=log0<c=1所以b>c>a，故选：A.【变式2-3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）若a=0.50.01，b=0.40.02，c=5logA．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c【答案】D【解题思路】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可.【解答过程】因为函数y=x0.02在0,+∞上单调递增，y=y=0.5x在所以b=0.4c=5log302=故选：D.【题型3作差法、作商法比较大小】【例3】（2026·广东·模拟预测）已知a=log84,b=A．b<a<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解题思路】利用作差法与对数的运算性质即可判断.【解答过程】由于a=log84=log232由于b−c==lg3−故选：B.【变式3-1】（2026·浙江金华·二模）已知a=log32，b=log5A．c<b<a B．a<c<b C．b<a<c D．a<b<c【答案】D【解题思路】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】由题意可知，0<a<1,0<b<1,0<c<1.则ab=log则bc=log所以a<b<c.故选：D.【变式3-2】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）设a=log32，b=A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用作差法，结合对数换底公式及对数函数单调性比较大小.【解答过程】由c−b==(lg2−由b−a==lg2⋅(lg因此a<b<c.故选：B.【变式3-3】（2026·湖南长沙·二模）设a=log2cos12，b=cos1A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【解题思路】利用对数函数、三角函数的基本性质可先判断a,b,c的正负，再利用作商法可判断出a,b,c具体的大小关系.【解答过程】由题意得，b=cos12又sin12∈(0,1)所以c=2而由三角函数的基本性质，当x∈0,π2所以cb=2sin1故选：D.【题型4构造函数法比较大小】【例4】（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知a=9eln2，b=18，c=4eln3，则a、b、A．b>a>c B．a>c>b C．a>b>c D．b>c>a【答案】A【解题思路】构造函数fx=lnxx，利用导数分析该函数在1,e上的单调性，可得出a、【解答过程】令fx=lnxx所以，函数fx在1,所以，fe>f2>f1所以，9eln2<9×2=18又因为a=9eln2=e因此，b>a>c.故选：A.【变式4-1】（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【答案】A【解题思路】由对数函数单调性得c<12，构造函数f(x)=2【解答过程】由对数函数单调性得，c=log构造函数f(x)=2x+x,x∈R因为y=2x和y=x单调递增，所以因为2<5，即f(a)<f(b)，所以a<b又f(12)=21所以c<a<b，故选：A．【变式4-2】（2026·广东肇庆·一模）已知a=15，b=ln1.2，A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．a>c>b【答案】B【解题思路】令fx=lnx−x+1，利用导数研究单调性得lnx≤x−1，进而判断a,b大小，令g【解答过程】令fx=lnx−x+1，所以f′当x>1⇒f′x<0,0<x<1⇒f′x所以fx≤f1=0，即lnx≤x−1令gx=ex−x−1所以gx在0，+∞单调递增，在所以e−45综上所述，c>a>b.故选：B.【变式4-3】（2026·山西临汾·二模）设a=ln0.9,b=−19,c=A．c>a>b B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b【答案】A【解题思路】构造函数fx=lnx−x+1,求导可证明【解答过程】记fx=ln故当0<x<1时，f′x=1−xx当x>1时，f′x=1−xx故fx=lnx−x+1≤f1当且仅当x=1时取到等号，故ln109<19由于a=ln0.9<0,b=−1故选：A.【题型5数形结合法比较大小】【例5】（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足1+2x=3y=5z，则A．x>y>z B．y>z>x C．x>z>y D．y>x>z【答案】C【解题思路】根据给定条件，求出x,y,z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.【解答过程】令1+2x=在同一直角坐标系内作出函数f(t)=log则x,y,z分别是函数y′=f(t),y′=g(t),设B点的横坐标为x1，C点的横坐标为x2，观察图象得当1<a<x当x1<a<x2时，y>x>z，当所以ABD是可能的，C不可能.故选：C.【变式5-1】（2026·湖北黄冈·模拟预测）若a=log50.5,b=A．c>b>a B．b>a>cC．a>b>c D．b>c>a【答案】D【解题思路】利用对数函数图象可得a<c<0，结合b>0即可得答案.【解答过程】同一坐标系内画出函数y=log5x由图可知log5即a<c<0，又因为b=5所以b>c>a．故选：D．

【变式5-2】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知实数x，y，z满足：2x=1A．y<x<z B．x<y<zC．y<z<x D．x<z<y【答案】C【解题思路】在同一坐标系中作出y1【解答过程】如图在同一坐标系中分别作出函数y1依题意直线y=k与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为x,y,z，则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.由图知，有三种不同的情况：当直线y=k在①位置时，显然有：y<x<z；当直线y=k在②位置时，显然有：x<y<z；当直线y=k在③位置时，显然有：x<z<y，故C错误.故选：C.【变式5-3】（2026·福建泉州·模拟预测）若实数x，y，z满足2x−2=3y−3=5z−5，则x，A．x=y=z B．x>y>z C．z>y>x D．z>x>y【答案】D【解题思路】根据给定条件，求出x,y,z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.【解答过程】令2x−2=3在同一坐标系内作出函数f(t)=log则x,y,z分别是函数y′=f(t),y观察图象得，当−2<a<0时，z>y>x；当a=0时，x=y=z；当a>0时，x>y>z，因此ABC都可能，D不可能.故选：D.【题型6利用基本不等式比较大小】【例6】（2026·广西柳州·三模）已知137<216，346<217，设a=logA．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【答案】D【解题思路】根据给定条件，利用对数函数的单调性、不等式的性质及基本不等式比较大小.【解答过程】由137<216，得log21由346<217，得log34log2113>0,log因此log138<log2113故选：D.【变式6-1】（2026·云南·一模）已知a=log32，b=log53，c=log85A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b【答案】A【解题思路】利用对数函数的性质比较a,b,根据基本不等式比较b,c.【解答过程】因为log23>log所以1log23<1又因为log5所以log53<1综上，a<b<c，故选:A.【变式6-2】（2026·北京海淀·一模）已知四个数a=lg2+lg52，b=lg2⋅A．a B．bC．c D．d【答案】C【解题思路】利用对数函数单调性可求得0<【解答过程】易知0<lg2<即c<a<d；再由基本不等式可得lg2⋅lg5显然lg2=lg2⋅因此可得c<b<a<d，即最小的是c.故选：C.【变式6-3】（2026·广东广州·一模）已知a=32，3b=5，A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a【答案】C【解题思路】结合对数函数单调性比较a，b与a，c的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较b，c的大小，即可求解．【解答过程】由题意得b=log35因为a=32=a=32=因为bc=lg5故a>b>c．故选：C．【题型7放缩法比较大小】【例7】（2026·天津南开·二模）已知a=log32A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c【答案】C【解题思路】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.【解答过程】由a=b=c=213所以满足b>c>a，故选：C.【变式7-1】（25-26高一上·安徽·月考）已知a=1lg9，b=A．a>b>1 B．a>1>b C．b>a>1 D．b>1>a【答案】A【解题思路】根据对数函数的性质可得b>1，a>1，进而利用作差法结合放缩法可得a>b.【解答过程】b=lg11>lg10=1，因为a−b=>1−lg10022故选：A.【变式7-2】（2026·四川眉山·模拟预测）设a=log263，b=0.25，c=A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】C【解题思路】利用y=log26x是单调递增函数得到a>b，利用y=log9x是单调递增函数得到c>b，利用放缩法和换底公式得到【解答过程】∵34=81>26∵y=log26x∵a=log263，b=0.25∵24=16>9∵y=log9x∵b=0.25，c=log92∵log326<∵log29>∵a=log263=∴a>c，∴b<c<a，故选项C正确.故选：C.【变式7-3】（2026·全国·模拟预测）已知a=19−17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【答案】A【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.【解答过程】因为a=19b=6−3c=log所以a<b<c.故选：A.【题型8利用函数的综合性质比较大小】【例8】（25-26高一上·四川遂宁·期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在0,+∞上单调递减，设a=0.32，b=log2A．f(c)＜f(a)＜f(b) B．f(b)＜f(a)＜f(c)C．f(c)＜f(b)＜f(a) D．f(a)＜f(b)＜f(c)【答案】A【解题思路】根据题意，由奇函数的性质可得函数f(x)在R上为减函数，比较出a,b,c的大小，结合函数的单调性分析可得答案.【解答过程】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在0,+∞所以f(x)在−∞所以函数f(x)在R上单调递减，因为a=0.32=0.09，b=所以b<a<c，所以f(c)＜f(a)＜f(b).故选：A.【变式8-1】（2026·天津红桥·二模）已知f(x)是定义在R上的偶函数且在[0,+∞)上为减函数，若a=flog123，A．c>b>a B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【解题思路】根据偶函数的定义及对数的运算，利用指数对数函数的性质及函数的单调性即可求解.【解答过程】因为fx所以a=flog由log2由指数函数的性质知，函数y=0.9x在R上单调递减，且所以1>0.9所以log2因为fx在[0,+所以flog23故选：A.【变式8-2】（2026·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数fx=x⋅ex，a=flog35，b=−flog312A．c>b>a B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b【答案】D【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b=f(log【解答过程】fx=x⋅e且f−x=−x⋅e所以b=−flog又fx任取x1,x2∈0,+∞，且故fx在0,+又由对数函数的单调性可得log3所以flog32故选：D.【变式8-3】（2026·湖北·一模）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x)，若a=g(−log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a【答案】C【解题思路】首先利用奇函数f(x)的性质及单调性推出g(x)在(0,+∞)上的单调性，再判断g(x)的奇偶性，然后比较−log25.1，20.8，3的大小关系，最后根据g(x)的单调性得出【解答过程】已知奇函数f(x)在R上是增函数，根据奇函数性质，f(0)=0，所以当x>0时，f(x)>f(0)=0.又因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)>0.对于g(x)=xf(x)，所以当x>0时，g′(x)=f(x)+xf′(x)>0对于g(x)，在R上，g(−x)=(−x)f(−x).因为f(x)是奇函数，即f(−x)=−f(x)，所以g(−x)=(−x)f(−x)=(−x)×(−f(x))=xf(x)=g(x)，所以g(x)是偶函数.根据对数函数性质，y=log2x在(0,+∞)上单调递增，因为2=log2又根据指数函数性质，y=2x在R上单调递增，因为20=1，21因为g(x)是偶函数，所以a=g(−log由g(x)在(0,+∞)内单调递增，且1<20.8<2<故选：C.一、单选题1．（2026·山西忻州·模拟预测）设a=40.1，b=20.3，c=log43，则aA．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a【答案】B【解题思路】根据a=40.1=20.2，利用指数函数y=【解答过程】a=40.1=因为指数函数y=2x单调递增，且所以b>a．又a=20.2>1所以b>a>c．故选：B.2．（2026·天津滨海新区·三模）设a=log45，b=A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】C【解题思路】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较log4再比较32【解答过程】log4注意到ln4ln6<则log45−log又注意到322>所以c>a>b，故选：C.3．（2026·北京大兴·三模）已知a=5ln2,b=4A．c>b>a B．a>b>cC．b>a>c D．b>c>a【答案】D【解题思路】利用对数函数的单调性，对a,b,c同时取对数比较其大小.【解答过程】已知a=5lna=ln5又ln2>0，且函数y=lnx在区间0可得：ln2⋅ln9>ln2⋅故选：D.4．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数a,b,c满足a=0.5a，b=0.51a2，A．a<c<b B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【答案】D【解题思路】先构造函数确定a的取值范围，再利用指数函数单调性比较b与a的大小，结合对数函数性质判断c的符号，最终得到三者大小关系．【解答过程】令fx=x−0.5x，因为y=x是R上的增函数，所以fx=x−0.5计算得f0.5=0.5−0.5由零点存在性定理可得方程x=0.5x得解由a∈0.5,1，得a2∈又y=0.5x为R上的单调递减函数，y=ln所以b=0.51a所以c<b<a．故选：D.5．（2026·山东青岛·模拟预测）已知a=ln20262025，b=12025A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c【答案】B【解题思路】由对数函数y=lnx的单调性比较a,c，构造函数fx【解答过程】∵对数函数y=lnx定义域上单调递增，且20262025a=ln令函数fx=ln1+x−x则导数f′x=11+x∴f12025=∴b>a>c.故选：B.6．（2026·广东深圳·模拟预测）若a=log0.10.2，b=log40.3，A．a<b,c<d B．a<b,c>d C．a>b,c<d D．a>b,c>d【答案】C【解题思路】通过对数函数的单调性判断a与b的大小，利用幂函数的单调性判断c与d的大小，从而确定正确选项.【解答过程】由对数函数y=log0.1x得log0.11<log0.1由对数函数y=log4x得log40.3<log41=0由幂函数y=x−0.3在得3−0.3<2综上，a>b且c<d.故选：C.7．（2026·天津河北·二模）已知a=0.30.1，b=log2.53，c=log23.5，则A．b>a>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c【答案】C【解题思路】根据指数函数，对数函数的单调性及对数的运算求解即可.【解答过程】指数函数y=0.3x在定义域内单调递减，所以a=0.3对数函数y=log2.5x所以b=log2.53>对数函数y=log2x所以c=log23.5>又bclog2.52<log所以log2.52·log3.53<1综上，a<b<c.故选：C.8．（2026·四川成都·三模）已知y=fx+1是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈1,2时，fx=log2x，设a=f12A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a【答案】D【解题思路】根据题意，得到函数fx的图象关于直线x=1对称，进而推得函数fx也是周期等于2的函数，化简得到【解答过程】因为y=fx+1是定义在R上的偶函数，可得f所以函数fx的图象关于直线x=1对称，则有f再由y=fx+1是定义在R可得函数fx所以a=f1又因为x∈1, 2时，f故选：D.二、多选题9．（2026·山东东营·二模）已知m>n>0，则下列说法正确的是（

）A．lnm>lnnC．若c>0，则mc>nc D．1【答案】AC【解题思路】选项A利用函数y=lnx的单调性判断；选项B余弦函数不单调，举反例；选项C根据不等式的性质确定；选项D利用函数【解答过程】函数y=lnx在区间因为m>n>0，所以lnm>m=2π，n=π时，若c>0，m>n>0，则mc>nc，选项C正确；函数y=(12)x故选：AC.10．（2026·湖南·三模）若0<a<b<1，则下列结论正确的是（

）A．logab2C．logab<log【答案】ABC【解题思路】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由loga【解答过程】由于0<a<b<1，则0<logab<logab+logba=loga故选：ABC.11．（2026·江西萍乡·一模）已知实数0<a<b<1，若c=logbaA．c>1 B．ac>bc C．【答案】AC【解题思路】对于选项A，利用对数函数单调性判断c的范围；对于选项B，利用幂函数单调性判断ac与bc的大小；对于选项C，作差比较ba与b+ca+c的大小；对于选项D，构造函数判断【解答过程】对于选项A，已知0<a<b<1，则logba>log对于选项B，因为c>1，幂函数y=xc在(0,+∞)上单调递增，又对于选项C，ba因为0<a<b<1，c>1，所以b−a>0，a>0，a+c>0，故c(b−a)a(a+c)>0，即对于选项D，构造函数f(x)=x−1x，x∈(0,1)，则f(x)在因为0<a<b<1，所以f(a)<f(b)，即a−1a<b−故选：AC.三、填空题12．（25-26高一上·天津河东·阶段检测）已知a=log0.52，b=1213【答案】a<b<c【解题思路】利用对数函数，指数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】因为对数函数y=log0.5x在(0,+∞)因为指数函数y=12x在R上单调递减，121因为对数函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，综上，a<b<c.故答案为：a<b<c.13．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设a=50.3，b=log0.53，c=0.35，则a【答案】b<c<a【解题思路】引入中间量0,1，可比较a,b,c的大小.【解答过程】因为a=5b=logc=0.35>0且c=所以a，b，c从小到大排列是b<c<a.故答案为：b<c<a.14．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知fx=cosπx2，a=log22025，b=1，c=【答案】f【解题思路】根据fx的奇偶性以及周期性，结合函数的单调性可判断fa<0，进而根据单调性进一步判断0<f【解答过程】易知fx当x∈0,1，πx2∈0,π2当x∈1,2，πx2∈π2,a=log22025∈10,11，fa又c=0.20.3∈又b=1，所以fb=0，故故答案为：fc四、解答题15．（2026高二·全国·专题练习）比较a=log43，b=【答案】a>c>b【解题思路】利用对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为a=log43=且对数函数y=log64x在0,+因为对数函数y=log8x在0,+又因为对数函数y=log5x在0,+所以c>b，故a>c>b.16．（25-26高一·全国·随堂练习）已知x=lnπ，y=log(1)比较x，y的大小；(2)比较y，z的大小．【答案】(1)x>y(2)y<z【解题思路】（1