重难点02函数性质的灵活运用（举一反三专项训练）（教师版）

重难点02函数性质的灵活运用（举一反三专项训练）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数的单调性及其应用】 3【题型2函数的最值问题】 5【题型3函数的奇偶性的综合应用】 7【题型4函数图象的识别及应用】 9【题型5对称性与周期性的综合应用】 12【题型6类周期函数】 15【题型7抽象函数的性质及其应用】 18【题型8函数性质的综合应用】 20【题型9函数新定义】 231、函数性质的灵活运用函数及其性质是高考数学的重点、热点内容.从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，需要灵活求解，高考一轮复习时需要加强这方面的训练.考点1考点1函数性质的灵活运用知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略1．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数．3．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4．复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.知识点2函数的奇偶性及其应用1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)−g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数．④函数或函数．2．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.知识点3函数的周期性与对称性的常用结论1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴，，则函数y=f(x)是周期函数，且；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心，则函数y=f(x)是周期函数，且；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴和一个对称中心，则函数y=f(x)是周期函数，且.知识点4抽象函数及其解题策略1．抽象函数及其求解方法我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.【题型1函数的单调性及其应用】【例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）下列函数中，是偶函数，且在−∞,0上单调递减的是（A．y=x2 B．y=x−2 C．【答案】A【解题思路】利用偶函数的定义，结合单调性的定义逐项判断即可.【解答过程】对于A，令fx=y=x又f−x=−x由二次函数的性质可知函数y=x2在对于B，令fx=y=x又f−x=−x由幂函数的性质可知函数y=x−2在对于C，令fx=y=2因为f−x=2对于D，y=log2x所以y=log故选：A.【变式1-1】（2026·甘肃天水·一模）函数y=2−xA．−∞,12 C．−1，12 【答案】C【解题思路】先求出定义域，再求出内层函数t=−x【解答过程】令−x2+x+2≥0令t=−x2+x+2∵函数t=−x2+x+2在区间−1，12∴根据复合函数的单调性可知，函数y=2−故选：C.【变式1-2】（2026·广东肇庆·一模）已知f(x)=ex−e−x，若fA．0,+∞ B．1,+∞ C．−1,+∞【答案】A【解题思路】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.【解答过程】函数f(x)=ex−e−x而函数y=ex,y=−不等式f(x+1)>−f(x−1)=f(−x+1)，则x+1>−x+1，解得x>0，所以x的取值范围是0,+∞故选：A.【变式1-3】（2026·山东日照·一模）定义在R上的函数y=fx满足以下条件：①f−x−fx=0；②对任意x1,x2∈0,+A．fπ>f−3C．fπ<f−3【答案】A【解题思路】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可．【解答过程】因为定义在R上的函数y=fx满足条件f即f−x=fx对任意x1,x2∈所以不妨设x1>x因此x∈0,+∞时，函数因为函数fx所以f−因为x∈0,+∞时，函数所以fπ>f3故选：A.【题型2函数的最值问题】【例2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数fx，则“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“fA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断.【解答过程】先判断充分性：若函数fx在0,+则“∀x∈0,+∞，fx≥2”成立，但“所以“∀x∈0,+∞，fx≥2”不是“再判断必要性：“fx在0,+∞上的最小值为2”时，可得“∀x∈0,+所以“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“综上：“∀x∈0,+∞，fx≥2”是“故选：B.【变式2-1】（2026·宁夏陕西·模拟预测）已知函数fx+1=2x−2−xA．32 B．154 C．0【答案】C【解题思路】先利用换元法求出fx的解析式，再利用定义法求证fx在【解答过程】fx+1=2x−则fx∀x1,x=因−1≤x1<x2又2x1+x2则fx在−1,1则fx的最大值为f故选：C.【变式2-2】（2026·江西宜春·一模）已知函数fx=log2x2【答案】1【解题思路】分三类a=0，a<0，a>0，由复合函数的单调性判断fx【解答过程】若a=0，则x∈2,4，fx=2log2若a<0，则fx的定义域为−且由复合函数的单调性可知fx在0,+则最小值为f2=log若a>0，则fx的定义域为−由题意可得2,4⊂2a,+∞此时由复合函数的单调性可知fx在2,4则最小值为f2=log综上，a=1故答案为：12【变式2-3】（2026·广东肇庆·二模）已知函数fx=2−x+1,x<1x【答案】−5【解题思路】分别求出函数fx【解答过程】当x<1时，fx=2当x≥1时，fx=x2−6x+4,f所以fx综上所述，fx的最小值是−5故答案为：−5.【题型3函数的奇偶性的综合应用】【例3】（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=ax+1x⋅3A．13 B．1 C．3 【答案】D【解题思路】先求得fx【解答过程】由题知，x⋅3x≠0⇒x≠0，f由fx是奇函数得f则fx=9故a=9.故选：D.【变式3-1】（2026·福建南平·二模）已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，当−2<x<0时，fx=exA．-2 B．−12 C．1【答案】B【解题思路】根据函数fx【解答过程】已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，所以有f令x=−2，得f2由于fx是奇函数，有fx=−f−x，所以f2当−2<x<0时，fx=ex，由于因此f2故选：B.【变式3-2】（2026·陕西渭南·三模）已知fx是定义在R上的奇函数，fx+1是偶函数，则f2026A．0 B．−2 C．2 D．4【答案】A【解题思路】根据题意，推得fx是以4为周期的周期函数，得到f2026=f【解答过程】由函数fx是定义在R上的奇函数，可得f−x=−f又由fx+1是偶函数，即函数fx+1的图象关于可得函数y=fx的图象关于x=1对称，即f因为f−x=−fx即fx+4=−fx+2=fx可得f因为f−x+1=fx+1所以f2026故选：A.【变式3-3】（2026·贵州贵阳·二模）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x1,x2∈[0,+∞),x1A．(−∞,13)∪(1,+∞) B．【答案】A【解题思路】先由条件判断f(x)在[0,+∞)上单调递减，结合偶函数的性质可得f(x)在(−∞,0)上单调递增，从而【解答过程】因对任意x1,x2∈[0,+∞),又因f(x)是定义在R上的偶函数，故f(x)在(−∞故f(2m−1)<f(m)⇔f(|2m−1|)<f(|m|)⇔|2m−1|>|m|，两边取平方得(2m−1)2>m2，即3m故不等式f(2m−1)<f(m)的解集为(−∞故选：A.【题型4函数图象的识别及应用】【例4】（2026·山东枣庄·三模）函数fx=xA． B．C． D．【答案】B【解题思路】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.【解答过程】定义域为xx≠±1，f则fx当x>0时，e2x>1，则当0<x<1时，x2−1<0，则当x>1时，x2−1>0，则故选：B.【变式4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（

）A．y=sin2xx2+1 B．y=x【答案】B【解题思路】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可；D选项，判断所给函数的定义域即可.【解答过程】A选项，取fx=sin2xx2+1，则令fx=0B选项，取gx=xx2+1，则g′x=1−x故gx在−∞,−1和1,+又因为gx=xx2+1，所以当x→+∞C选项，取hx=cosxx2+1D选项，ux=ex+故选：B.【变式4-2】（2026·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式(x−3A．(−3,0)∪(3,3) C．(−∞,−3)∪(0,3) 【答案】A【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集.【解答过程】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且f(−3)=−f(3)=0.由图象可知，要使(x−3)f(x)>0，当x>3时，f(x)>0当x<3时，f(x)<0，得−3<x<0当x=3综上，不等式(x−3)f(x)>0的解集为故选：A.【变式4-3】（2026·陕西渭南·三模）函数fx=3x−x3A． B．C． D．【答案】B【解题思路】根据题意，求得函数fx为奇函数，排除C、D选项，再由f【解答过程】由函数fx=3x−且f−x所以函数fx是R当x≥0时，令fx>0，即3x−x可得x3−3x=x(x即x∈(0,3)时，故选：B．【题型5对称性与周期性的综合应用】【例5】（2026·江西九江·一模）定义在R上的函数fx满足：①对任意x∈R，都有f2+x=f1−f−x；②fA．fx+2是奇函数 B．fC．f−12【答案】C【解题思路】根据对称性可得fx的图象关于1,0对称，直线x=2【解答过程】令x=−1，得f2−1=f1−f1=0，即又∵f2x的图象关于直线x=1对称，故f2x=f22−xfx=f4−x对于A，fx+2的图象是将fx的图象向左平移2个单位，故fx+2的图象关于y对于B，fx+1的图象是将fx的图象向左平移1个单位，故fx+1对于C，由f2+x+f−x=0，得f−∴f−对于D，依题意，得f12=−22故选：C．【变式5-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数f(x)，其图象关于直线x=1对称，已知f(x+2)−1为奇函数，且f(1)=0，则k=12025f(k)=A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】B【解题思路】根据题意有f(x)=f(−x+2)，f(−x+2)+f(x+2)=2，从而得f(x)+f(x+2)=2，即可求出周期，进而求出一个周期的和，利用周期即可求解.【解答过程】由f(x)关于x=1对称，有f(x)=f(−x+2)，又f(x+2)−1为奇函数，则f(−x+2)−1=−f(x+2)+1即f(−x+2)+f(x+2)=2，且f(0+2)−1=0即f(2)=1，所以fx关于点(2,1)对称，且f(x)+f(x+2)=2则f(x+2)+f(x+4)=2，作差有f(x)=f(x+4)，∴f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(1)+f(3)=2，f(1)=0，则f(3)=2，因为f(0)=f(2)，f(0)+f(2)=2，则f(0)=f(2)=1，f(4)=f(0)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，k=12025故选：B．【变式5-2】（2026·湖南·一模）已知fx,gx均为定义在R上的函数，fx−1+gx=x,fx+1=gA．463 B．464 C．465 D．466【答案】B【解题思路】根据f2x+1的图象关于直线x=−1对称，可得fx−2=f−x，再根据fx【解答过程】由f2x+1的图象关于直线x=−1对称，可得fx+1的图象关于直线即fx的图象关于直线x=−1对称，则f由fx+1=g1−x又fx−1+gx所以f1−x即f1−x+fx−1=0，所以fx所以fx−2=f−x由fx−1+gx又因为g0=0−f−1根据函数fx的性质，得所以i=130故选：B.【变式5-3】（2026·四川成都·模拟预测）函数fx对任意x∈R，fx+2=f4−x，且fx+6（1）若x∈0,3时，fx=（2）fx的周期为6（3）fx的图象关于点−6,0（4）f2025A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解题思路】根据抽象函数关系式和奇偶性可推导得到fx【解答过程】∵fx+2=f4−x，∴f∵fx+6为奇函数，∴fx+6+f6−x=0∵fx+6=fx+4∴f−x=−f6−x，即f∴fx的周期为12∵fx+6+f6−x=0，∴fx+f−x若x∈0,3时，fx=∵fx图象关于点6,0对称，周期为12∴fx图象关于点−6,0∵f2025=f12×169−3故选：C.【题型6类周期函数】【例6】（25-26高一上·江西吉安·期末）设函数fx的定义域为R，且fx+4=2fx，当x∈0,4时，fx=2x2−8x，若对于A．−∞,−7 B．−∞,−5 C．【答案】A【解题思路】由fx+4=2fx和当x∈0,4时fx=2x2−8x可以逐次推出−4,0，−8,−4，−12,−8上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求x∈【解答过程】当x∈0,4时，fx=2x2−8x=2(x−2)当x∈−4,0时，x+4∈(0,4]，故fx+4=2(x+2)2当x∈−8,−4时，x+4∈(−4,0]，故fx+4=(x+6)2当x∈−12,−8时，x+4∈(−8,−4]，故fx+4=12如图，依题意令12(x+6)2−2=−32，解得x=−7或x=−5，由图知当x≤−7时，故选：A.【变式6-1】（2025·云南昆明·二模）定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数”如下:函数y=fx,x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立，此时T为fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a级类周期函数，且T=1，当x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【答案】C【解题思路】由题可得fx=a【解答过程】∵x∈1,2时,f∴当x∈2,3时,f当x∈n,n+1时,f即x∈n,n+1时,f∵f(x)在1,+∞∴a>0且an−1解得a≥5∴实数a的取值范围是53故选：C.【变式6-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fxA．278 B．298 C．134【答案】B【解题思路】根据已知计算出fx=12n1−2x−【解答过程】由题意得，当x∈1,2时，故f当x∈2,3时，故f可得在区间n,n+1n∈Z上，所以当n≥4时，fx≤3

当x∈72,4时，由f所以m的最小值为29故选：B.【变式6-3】（2025·江西新余·一模）若函数y=f(x)，x∈M对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af(x)=f(x+T)恒成立，此时T为f(x)的假周期，函数y=f(x)是M上的a级假周期函数，若函数y=f(x)是定义在区间0，+∞内的3级假周期函数且T=2，当x∈[0,2)，f(x)=12−2x2,0≤x≤1f(2−x),1<x<2，函数g(x)=−2lnA．(−∞,132] B．−∞【答案】C【解题思路】题目主要考查了函数的性质和最值的求法，可以通过∃x1∈6,8，∃x2∈(0，+∞)使g(x2)−f(x1)≤0成立先将问题转化为g(x)min≤f(x)max，从而分别求【解答过程】根据题意，对于函数f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)=1所以当0≤x≤1时，f(x)=12−2x2当1<x<2时，f(x)=f(2−x)，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则此时有−3而∃x1∈6,8，∃又由函数y=f(x)是定义在区间0,+∞内的3级假周期函数，且T=2则当x∈6,8，3f(x)=f(x+2)，即f(x)=33所以当x∈6,8时，f(8)=27f(2)=81f(0)=则函数f(x)在区间6,8上的最大值为f(8)=81对于函数gx=−2所以在(0,1)上，g′(x)<0，函数在(1,+∞)上，g′则函数g(x)在(0,+∞)上的最小值为而问题转化为g(x)min≤f(x)max，即3故选：C.【题型7抽象函数的性质及其应用】【例7】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数fx满足：f2x+f2x+2=4，且A．1 B．2 C．−2 D．【答案】C【解题思路】用x代换x+2，可得f2x+2+f2x+4=4，联立方程组，求得fx+4=±fx，结合函数fx为偶函数，且fxf【解答过程】由f2x+f2x+2=4联立方程组f2x+f2又由函数fx为偶函数，且fxfx+1所以fx+4=fx，可得函数f因为f2<0，f1与f令x=−1，可得f2−1+则f2025故选：C.【变式7-1】（2026·河南·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x,y，都有fx+fy=fA．2 B．1 C．0 D．−1【答案】C【解题思路】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解.【解答过程】令y=−x，则fx因为fx是定义在R所以fx+f−x故选：C.【变式7-2】（2026·江苏南京·三模）已知定义在R上的非常数函数f(x)满足：对于任意x,y∈R都有：fx+y=fxfA．fx是奇函数 B．fC．f0=−1 【答案】D【解题思路】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出fx【解答过程】解：令x=y=0，则f0+0则f20+f0=0因为fx+y=fx化简得fx+y+1=fx+1当f0=−1时，g0=f0即gx=0，即fx=−1为常数函数，与已知矛盾，因此f0因为f1=e−1，所以g1所以fx=ex−1，则f所以fx既不是奇函数，也不是偶函数，选项A和选项B此时f2=e故选：D.【变式7-3】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间【答案】C【解题思路】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.【解答过程】令x=y=13，则所以2f23f13所以2f2令x=23，即2f23由题意，函数fx的定义域为(−令y=−2x，则fx−2xf令−x代换x,y，则f−x−xf−x所以2f−2x=f−x，令−x代换x由将2f−2x=f−x可得f−xfx所以f(x)为奇函数，故C正确；令x=y=1，则f2f1+f1故选：C.【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx+1为奇函数，当x<1时，fx=ex−A．−1,2 B．−2,1C．−∞,−1∪【答案】C【解题思路】由函数奇偶性与图象变换，可得函数的对称性，根据题意可得函数的单调性，化简不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案.【解答过程】依题意，因为fx+1为奇函数，所以函数fx的图像关于又当x<1时，fx=ex−所以当x≥1时，函数fx在1,+又f1=0，可知fx所以fa2−a−1即a2−a−1≥1，即a2−a−2≥0，解得所以不等式的解集为−∞故选：C．【变式8-1】（2026高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数fx的定义域为R，对任意的x满足f−x=fx+2，且fx在区间−1,0上单调递减，若a=log43，b=log32A．fc>faC．fa>fb【答案】D【解题思路】由f−x=fx+2求出对称轴，再结合奇偶性求出fx的周期；求出a，b的范围以及c的值，得出0<b+4<c<a<1的关系式，再利用【解答过程】因为f−x所以fx关于x=1又因为fx所以fx所以fx为周期函数，T=2因为b=log32所以−4<b<−72，因为log4所以a=又因为c=1所以0<b+4<c<a<1，因为fx在−1,0上单调递减，f所以fx在0,1所以f(b+4)<f(c)<f(a)，所以f(b)<f(c)<f(a)，故选：D.【变式8-2】（2026·广东广州·一模）已知函数fx的定义域为R，且fx+1+fx−1=2,fx+2为偶函数，若A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【解题思路】由fx+1+fx−1=2可得函数再结合fx+2为偶函数，可得f【解答过程】由fx+1+fx−1即fx+2所以fx+4所以函数fx的周期为4又fx+2则f−x+2所以fx所以函数fx又fx+1所以f1+f所以f1又f1+f−1=2，即又f0+f2∴f2所以k=1故选：C.【变式8-3】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数fx的定义域为R,f2x+1为奇函数，fA．fxB．fx的图象关于直线x=3C．f2xD．f2x的图象关于点1【答案】D【解题思路】根据f2x+1为奇函数，得f2x+1+f−2x+1=0，从而可知f2x的对称中心；根据题意令x=0可知【解答过程】因为f2x+1为奇函数，所以f所以fx的图象关于点1,0对称，则f2x的图象关于点12因为函数fx的定义域为R，易知f2x+1的定义域为因为f2x+1为奇函数，所以f则fx+fx+2根据fx的图象关于点1,0对称，得f所以fx=f−x，故f因为fx+2所以fx=f−x=−fx+2则f2x的最小正周期为2，C根据fx为偶函数，且关于点1,0对称，最小正周期为4易知fx的所有对称轴为直线x=2kk∈Z故选：D.【题型9函数新定义】【例9】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z上的函数fx满足对任意x,y∈Z均有fx+y=fxf2−y+f2−xfy，则称fx为“S−2函数”.已知fA．−22 B．0 C．2【答案】A【解题思路】由新定义赋值得fx的图象关于直线x=2对称，进一步赋值得fx为奇函数，fx【解答过程】令x=y=0，则f0=f0令y=2，则fx+2所以fx的图象关于直线x=2令y=−x，则f0因为f2+x=0不恒成立，所以fx所以fx+4=f−x所以fx是周期为8的周期函数，令x=1,y=1，则f解得f1=±22，又所以f0故选：A.【变式9-1】（2026·上海浦东新·模拟预测）设函数fx的定义域为D，若存在实数TT>0)，使得对于任意x∈D，都有fx<fx+T，则称①＂T－严格增函数＂fx一定在D②＂T－严格增函数＂fx一定是＂nT－严格增函数＂（其中n∈N∗③函数fx=x是＂T−严格增函数＂（其中x④函数fx=x−x不是＂T−严格增函数＂（其中x其中，正确的结论个数有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解题思路】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得fx+1=fx，即fx是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论T=1、【解答过程】①，对于fx存在T=2，对于任意x∈R，都有f但fx在R②，fx是＂T−严格增函数＂，存在T>0，对任意x∈D，都有f因为n≥2,T>0，所以fx+T<fx+nT即存在实数nT>0，使得对任意x∈D，都有fx所以fx是＂nT−③，fx=x，定义域为R，当T=1时，对任意的x∈即fx<fx+1，所以函数f④，对于函数fx=x−x所以fx是周期为1的周期函数，f若T=1，则f1因为fx的周期为1，故不妨设0<T<1设x=1−T∈0,1，则f而fx=f1−T所以函数fx=x−x故选：C.【变式9-2】（2026·上海·模拟预测）设函数fx的定义域为R，若对任意实数x，恒有ffx(1)若一次函数fx=ax+b具有性质Ω，其中a>0，求实数a，(2)若函数fx具有性质Ω，且fx在R上严格增，证明：(3)若具有性质Ω的函数fx满足：存在常数M>0，使得对任意x∈R，都有fx【答案】(1)a=1，b=0；(2)证明见解析；(3)证明见解析【解题思路】（1）由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出a,b；（2）由反证法结合严格增函数的性质推导，分ft>t与（3）利用函数的递推，求证与gx【解答过程】（1）因一次函数fx=ax+b具有性质则ff则可得：a2+a=2ab+2b=0，解得a=1因为a>0，所以a=1，b=0.(2)假设存在实数t，使得ft若ft>t，结合函数严格增，可得再由fft=2t−ft，代入得2t−ft若ft<t，因为fx结合fft=2t−ft，代入得2t−ft综上可知，假设不成立，即对任意的x∈R，都有f(3)已知fx−x≤M对所有x∈R成立，令gx则ff代入ffx+f化简得：gx+g对任意x0∈R，构造数列{由gx+gx=−2g则数列{g(xn)}所以gxn=则当n→+∞时，2ngx0即对任意的x∈R，gx=0【变式9-3】（2026·上海长宁·二模）设连续函数y=fx定义域为I，区间D⊆I，记函数y=fx在区间D上的最大值为Mf(1)设fx=ex−ax，D=(2)设fx=x3−3x2，D=(3)已知f0=0，f1=1，且对任意闭区间D⊆0,1求证：“y=fx在区间0,1上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D1、D2⊆0,1，当M【答案】(1)1(2)t=−1或t=0或t=1(3)证明见解析【解题思路】（1）讨论y=fx在区间−（2）讨论−1≤t<0，t=0，0<t≤1，分别求出Mf（3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性.【解答过程】（1）由题意知函数f(x)=ex−ax，在区间−由题意得f′(x)=①当a≤1e时，y=fx在区间−②当1e<a<e时，当x∈(−1,y=fx在区间(−1,当x∈(lna,1)时，此时y=fx在区间(此时lna=0⇒a=1③当a≥e时，fy=fx在区间−综上所述，a=1.（2）由题意得f′当x<0或x>2时，f′(x)>0，函数当0<x<2时，f′(x)<0，函数又f(−1)=−4,f(0)=0,f(2)=−4,f(3)=0，①当−1≤t<0时，y=f(x)在区间[t,0)上单调递增，在区间[0,t+2]上单调递减，此时Mf因为−1≤t<0，所以1≤t+2<2，又y=f(x)在区间[1,2]上单调递减，即f(t+2)>f(2)=−4，所以f(t)=−4，故t=−1；②当t=0时，y=f(x)在区间[0,2]此时Mf(D)=f(0)=0,m③当0<t≤1时，y=f(x)在区间[t,2)上单调递减，在区间[2,t+2]上单调递增，此时mf因为0<t≤1，y=f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以f(t)<f(0)=0，则f(t+2)=0，得到t+2=3，解得t=1，综上所述：t=−1或t=0或t=1.(3)必要性：若y=fx在区间0,1设D1因为y=fx在区间0,1所以Mf又Mf(D所以b=d,a=c，又y=fx在区间0,1所以D1充分性：假设y=fx在0,1则存在0≤x1<令D1=[x1,由函数y=fx在区间0,1所以必存在c,d∈[x1,令D2=[min(c,d),max由于f(x1)≥f(x2若函数y=fx在区间[x1则D1≠D2，与题设矛盾；若函数则其最大值与最小值不可能同时在两个端点x1故D2是D1的真子集，即因此假设不成立，y=fx在0,1综上所述：“y=fx在区间0,1上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D1、当Mf(D1)=一、单选题1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在0,1上严格减的函数是（

）A．y=−x B．y=−x C．y=x2【答案】B【解题思路】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可.【解答过程】对于A，y=−x为奇函数，不是偶函数，在0,1上严格减，故A错误；对于B，fx=−x定义域为R，关于原点对称，且f当x∈0,1时，y=−x=−x对于C，由幂函数性质知，y=x2为偶函数，在对于D，由指数函数性质知，y=2故选：B.2．（2026·安徽合肥·一模）若fx=ax+1，x<1lnx+2a，x≥1是RA．1,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【答案】B【解题思路】分类讨论x<1及x≥1的fx的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到a【解答过程】当x<1时，若fx=ax+1为单调递增函数，则当x≥1时，fx若fx是R上的增函数，需有a+1≤2a，解得a≥1故选：B．3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx−2是奇函数，f2x−1是偶函数，则fA．−2 B．0 C．1 D．2【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值.【解答过程】函数f(x)的定义域为R，由f(2x−1)是偶函数，得f(−2x−1)=f(2x−1)，即f(−x−1)=f(x−1)，则f(−x−2)=f(x)，由f(x−2)是奇函数，得f(−x−2)=−f(x−2)，因此f(x)=−f(x−2)，则f(x+2)=−f(x)=f(x−2)，因此f(x+4)=f(x)，函数f(x)是一个周期为4的函数，且f(−2)=0，所以f(2026)=f(4×507−2)=f(−2)=0.故选：B.4．（2026·广西柳州·一模）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（

A．fx=2C．fx=2【答案】C【解题思路】利用函数fx在(1,+∞)上的值排除B,利用奇偶性排除A,利用函数f【解答过程】对于A，fx=2又f−x=2对于B，当x>1时fx易知2x−2−x>0对于D，当x>1时，fx由反比例函数的性质可知，fx在(1,+检验选项C，fx故选：C.5．（2026·四川成都·三模）已知y=fx+1是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈1,2时，fx=log2x，设a=f12A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a【答案】D【解题思路】根据题意，得到函数fx的图象关于直线x=1对称，进而推得函数fx也是周期等于2的函数，化简得到【解答过程】因为y=fx+1是定义在R上的偶函数，可得f所以函数fx的图象关于直线x=1对称，则有f再由y=fx+1是定义在R可得函数fx所以a=f1又因为x∈1, 2时，f故选：D.6．（2026·广东·模拟预测）已知fx是R上的奇函数，fx−1−f3−x=0，若fx在0,1上单调递增，且f1A．−4 B．−3 C．−2 D．−1【答案】C【解题思路】由已知可得fx【解答过程】由fx是奇函数，可得f由fx−1−f3−x=0，可得即f−x=f所以fx+4=−fx+2=f因为fx在0,1则fx在−1,0单调递增，即fx在又因为fx的图象关于x=1对称，则fx在所以在一个周期内[fx即fx在R上的最小值是−2故选：C.7．（2026·海南·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x3A．−2,2 B．−C．−2,0∪1,2 【答案】C【解题思路】分析函数fx的单调性，然后解不等式fx≤0、fx≥0，分x≤1【解答过程】当x>0时，fx=x3−8，则函数f由于函数fx为R上的增函数，故函数fx在−∞当x>0时，由fx≤0=f2，可得0<x≤2；由f当x<0时，由fx≤0=f−2，可得x≤−2；由f接下来解不等式x−1f当x−1≤0时，即当x≤1时，则fx≥0可得−2≤x≤0或x≥2，可得当x−1≥0时，即当x≥1时，则fx≤0可得0≤x≤2或x≤−2，可得综上所述，不等式x−1fx≤0故选：C.8．（2026·福建宁德·二模）设fx是定义在R上的函数，若∀x1,x2∈R，当x1<x2A．fx=x+sinC．fx=1【答案】C【解题思路】对于ABD：举反例说明即可；对于C：分析可知fx为偶函数，在0,+【解答过程】对于选项A：例如f−π=−即0<−π对于选项B：例如f−1=1即12<−对于选项C：令gx=12x且gx即gx=−g−x又因为y=2x+1在定义域R内单调递增，则gx在定义域当x<0时，gx>0；当x≥0时，则f−x=g−x=当x≥0时，fx=−gx若x1<x2，即0≤x对于选项D：f−3=−4即2<−3，但故选：C.二、多选题9．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数fx=2x−1A．fx的图象关于点1,2对称 B．fx的图象关于直线C．fx的值域为−∞,2∪【答案】ABC【解题思路】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可.【解答过程】因为fx对于A：因为y=1x的对称中心为再向上平移2个单位得到fx=2+1对于B：任取f(x)上一点(x,y)，其关于直线y=−x+3的对称点为(3−y,3−x)，而f3−y因此其对称点(3−y,3−x)也在f(x)上，所以f(x)的图象关于y=−x+3对称，故B正确；对于C：因为1x−1∈(−∞即f(x)的值域为−∞对于D：f(x)的定义域为−∞,1∪1,+∞不能说在整个定义域上单调递减，例如：取x1有f(0)=1<f(2)=3，不符合单调递减定义，故D错误.故选：ABC.10．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的偶函数且fx>0，f0=A．fxB．直线x=2是fxC．fD．i=1【答案】ABD【解题思路】先根据函数递推关系推导周期，结合偶函数性质分析对称轴，再利用函数性质求解特殊点函数值，最后计算求和判断选项.【解答过程】选项A：由f(x+2)=1f(x)，将x替换为x+2得f(x+4)=1f(x+2)选项B：因为f(x)是偶函数，故f(2−x)=f(x−2)，又周期为4，所以f(x−2)=f(x+2)=1即f(2+x)=f(2−x)，故直线x=2是f(x)的对称轴，B正确；选项C：由偶函数得f(3)=f(−1)=f(1)，又f(3)=f(1+2)=1f(1)，且f(x)>0，故解得f(1)=1，故f(3)=1≠3，C错误；选项D：计算得f(1)=1,f(2)=1故i=110故选：ABD.11．（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数fx的图象关于直线x=32对称，且对任意的x∈R，恒有fx+fA．fx的一个周期为3 B．直线x=92C．f3=0 【答案】BCD【解题思路】由题设易得fx=fx+6，即可判断A；由直线x=32是对称轴可得fx=f3−x，进而得到f3−x【解答过程】依题意，fx+fx+3即fx=fx+6，故f已知直线x=32是对称轴，则而fx=fx+6故x=92为由f2031=f6×338+3令x=0，可得f0+f3由fx=f3−x，令x=0由fx+f所以f1已知f7=f1=1，而则i=12026fi故选：BCD.三、填空题12．（2026·安徽安庆·模拟预测）设fx是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，fx=−x1−x【答案】1【解题思路】根据函数的奇偶性及周期性求解即可.【解答过程】因为fx是周期为4的奇函数，所以f又当0≤x≤1时，fx=−x1−x所以f−故答案为：1413．（2026·河北雄安·三模）函数fx=1【答案】1,−【解题思路】设其对称中心为a,b，则有fx【解答过程】设函数fx=1则有fx即22a−x整理得22a−x则有1=−4b−4=2b⋅22a故函数fx=1故答案为：1,−114．（2026·福建三明·二模）已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(−2)=−4，若g(x)=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，则不等式【答案】(−【解题思路】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.【解答过程】由f(x)是定义在R上的奇函数，得g(−x)=f(−x)g(x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，由则g(−2)=g(2)=f(2)2=2，由g(x)在(0,+∞)当x=0时，f(0)=0，不等式f(x)≤2x成立，因此x=0；当x>0时，f(x)≤2x⇔f(x)x≤2⇔g(x)≤g(2)当x<0时，f(x)≤2x⇔f(x)x≥2⇔g(x)≥g(−2)所以不等式f(x)≤2x的解集为(−∞故答案为：(−∞四、解答题15．（2026·上海黄浦·三模）已知函数fx(1)判断函数fx(2)当m=1时，若存在x∈0,+∞，使得fx【答案】(1)当m=1时，fx当m=−1时，fx当m≠±1时，fx(2)3【解题思路】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解；（2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解.【解答过程】（1）fx=m⋅2当m=1时，f−x=2当m=−1时，f−x=−2当m≠±1时，f−x≠±fx（2）当m=1时，fx=2x+化简可得t−1=1−2x2x令u=12x，因为x∈0,+∞，所以u∈故实数t的取值范围为函数y=uy=u2−u+1=u−1即实数t的取值范围为3416．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且x≥0，f(x)=x(1)若m=1，求函数f(x)解析式；(2)求函数f(x)在[1,3]的最小值；(3)若函数y=f(x)在(0,4)有两个不同的零点，求m的取值范围.【答案】(1)f(2)f(3)2,【解题思路】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式.（2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值.（3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可.【解答过程】（1）当m=1时，x≥0，f(x)=x因为函数f(x)在R上为偶函数，所以f当x<0时，−x>0，则f(x)=f(−x)=−x因此函数f(x)解析式为：fx（2）当x∈[1,3]时，f(x)=x2−mx+1当m2<1，即m<2时，当1≤m2≤3，即2≤m≤6当m2>3，即m>6时，综上，函数f(x)在[1,3]的最小值为：fx（3）因为函数y=f(x)在(0,4)有两个不同的零点，所以Δ=m2所以m的取值范围为2,1717．（2026·湖南湘潭·二模）已知a为实数，记f(x)=e(1)当a=0时，定义在R上的奇函数y=g(x)满足：当x>0时，g(x)=f(x)，求y=g(x)的解析式；(2)若函数y=f(x)为偶函数，且对于任意x∈[0,2]，关于x的不等式f(x3+x−t)>f(2)(3)求证：“a>1”是“存在正数x0，使得函数y=f(x)在x=【答案】(1)g(2)−(3)证明见解析【解题思路】（1）当x∈−∞,0，利用函数奇偶性可知g（2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式得x3+x−t>2，利用分离常数法，求导求出h（3）先证明充分性，通过求导得出f′0<0，f′2>0，由于f′x=【解答过程】（1）当a=0时，fx所以当x<0时，−x>0,gx所以gx（2）当函数y=fx为偶函数时，f(−x)=f(x)则e−x+eax=所以