湖南省岳阳市华容县2025-2026学年高一（下）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省岳阳市华容县高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数z=2-i在复平面对应的点在第几象限（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，，设=，=，则用，表示为（）A. B. C. D.3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A.10 B.12 C.13 D.144.已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，s2，则（）A.s2＞27 B.s2＜27 C. D.5.若a,b表示直线，α表示平面，则以下命题中真命题是（）A.若a∥b,b⊂α，则a∥α B.若a∥α，b∥α，则a∥b

C.若a∥b,b∥α，则a∥α D.若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面6.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若满足条件，c=2的△ABC有两个，则a的取值范围为（）A.（1，2） B.（2，+∞） C.[1，2） D.（1，2]7.已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O的表面积为4π，则SA=（）A. B.1 C. D.8.如图，正方形ABCD的边长为2，圆A半径为1，点P在圆A上运动，则的取值范围是（）A.[2，6]

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法错误的有（）A.设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品

B.明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨

C.连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件

D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不会降水10.已知，则下列结论正确的是（）A.若∥，则k=-2 B.若，则m=-6

C.若与的夹角为锐角，则m＞-6 D.若|+|=，则m=1或m=-311.如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F，G分别为BC，CD，BE的中点，沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体S-AEF（如图2）.下列结论正确的是（）

A.顶点S在面AEF上的射影为△AEF的重心

B.SA与面AEF所成角的正切值为

C.二面角S-EF-A的余弦值为

D.过点G的平面截四面体S-AEF的外接球所得截面圆的面积的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.i表示虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i2025+i2026=

.13.甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止.已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为

.14.如图，两个完全相同的正四棱柱Ω1和Ω2“垂直贯穿”构成一个多面体，其中Ω1的侧棱与Ω2的侧棱垂直.Ω1的一组相对的侧棱与Ω2的一组相对的侧棱分别交于A，B，C，D四点，另外一组相对的侧棱与Ω2的另一组相对的侧棱分别交于O，O1两点.已知Ω1和Ω2的底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知，，且与夹角为60°.

（1）求；

（2）求与的夹角的余弦值.16.(本小题15分)

某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[40，50），[50，60），…，[90，100]（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中a的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）

（2）若样本在[60，70）内的平均质量是65克，方差是6，在[70，80）内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差s2.17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求角C的值；

（2）若△ABC的面积为，且，求△ABC的周长.18.(本小题17分)

如图所示，正四棱锥S-ABCD，SA=SB=SC=SD=2，，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且SE=2EC.

（1）求证：平面SBD⊥平面ACP；

（2）求直线BQ与平面ABCD所成角的正切值.

（3）平面BQE交SA于T，求ST：TA.19.(本小题17分)

蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的棱锥M-ABF，O-BCD，N-DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于一点P，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构.已知A′B′=4，BB′=20.

（1）求该正六棱柱的表面积；

（2）判断四边形MFPB是否为菱形，并证明你的结论；

（3）当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD

12.【答案】i

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】a=0.030；74

28.2

17.【答案】解：（1）因为，

由正弦定理得，

即，即，

因为C∈（0，π），所以sinC≠0，则，即；

（2）因为，

解得ab=24，

由已知及余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab,

将代入得：，

即，得a=8，

则b=3，c=7，

△ABC的周长为a+b+c=18．

18.【答案】（1）证明：连接BD，与AC交于点O，连接OS，则O为BD中点，

又SA=SC，所以AC⊥SO，

因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，

又BD，SO⊂平面SBD，BD∩SO=O，

所以AC⊥平面SBD，

又AC⊂平面ACP，

所以平面SBD⊥平面ACP．

（2）解：因为S-ABCD是正四棱锥，所以SO⊥平面ABCD，

取H为OD的中点，

因为Q是SD的中点，所以QH∥SO，

所以QH⊥平面ABCD

所以∠QBH为直线BQ与平面ABCD所成的角，

在Rt△SOA中，SA=2，，

所以，

所以，BH=BO+OH==，

在Rt△QHB中，，

所以直线BQ与平面ABCD所成角的正切值为．

（3）解：因为SP=3PD，点Q是SD的中点，

所以SQ=2PQ，

又SE=2EC，

所以，所以QE∥CP，

因为O为BD中点，P为DQ中点，所以OP∥BQ，

又QE∩BQ=Q，CP∩OP=P，QE、BQ⊂平面BEQ，CP、OP⊂平面ACP，

所以平面ACP∥平面BEQ，

而平面SAD∩平面BEQ=QT，平面SAD∩平面ACP=AP，

所以QT∥AP，

所以．

19.【答案】解：（1）；

（2）四边形MFPB是菱形，

证明如下：

连接MO，FD，F′D′，A′C′，

∵MA′∥OC′，MA′=OC′，∴MOC′A′为平行四边形，∴MO∥A′C′，MO=A′C′，

同理可得FD∥F′D′，FD=F′D′，

又A′C′∥F′D′，A′C′=F′D′，∴FD∥MO，FD=MO，

∴MODF为平行四边形，故FM∥DO，

又FM⊄平面BODP，DO⊂平面BODP，∴FM∥平面BODP，

又FM⊂平面MFPB，平面MFPB∩平面BODP=BP，

故FM∥BP，同理可得MB∥FP，

又MF=MB，故四边形MFPB为菱形．

（3）取FB中点K，连接AK、MK，

由△MFB，△AFB