高考物理一轮微专题 模型篇 6.等时圆模型

模型六等时圆模型模型讲解【概述】1、定义所谓“等时圆”模型,是指物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑,到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等,都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间2、模型分析如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，可知加速度a＝gsinθ，位移x＝2Rsinθ，由匀变速直线运动规律有x＝eq\f(1,2)at2，得下滑时间t＝2eq\r(\f(R,g))，即沿竖直直径自由下落的时间。图丙是甲、乙两图的组合，不难证明有相同的结论。3、结论模型1：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示；模型2：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；模型3：两个竖直面内的圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始经切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。其中模型3可以看成两个等时圆，分段按上述模板进行时间比较。模型构建1、等时圆规律（1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图1所示（2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图2所示（3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足：（R为圆的半径）图1图22、不等时圆时对比分析方法如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时图3图4如图3所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系？分析：A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的，分析如下：如图4所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点O，以O1为圆心、O1A为半径画圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于C1、D1。在圆ABC1D1中用前面的结论可知，所以t1>t2。不可以根据CC1<DD1，得到t2<t3，因为小环进入虚线部分时初速度不一样，运动的加速度也不一样。要判定t2与t3的关系，可以模仿前面方法再次构造新圆用结论可知t2>t3。3、等时圆模型的思维模板4.巧用“等时圆”模型解题的思路：模型条件：=1\*GB3①多条相交的倾斜光滑轨道；=2\*GB3②质点由静止开始从轨道的一端滑到另一端。设置顶点：=1\*GB3①上端相交：交点为圆的最高点；=2\*GB3②下端相交：交点为圆的最低点做等时圆：=1\*GB3①过顶点做竖直线；=2\*GB3②以某轨道为弦作圆心在竖直线上的圆。时间比较：=1\*GB3①轨道端点都在圆周上，质点运动时间相等；=2\*GB3②端点在圆内的轨道，质点运动时间短些，端点在圆外的轨道，质点运动时间长些模型演练【模型演练1】如图所示，有两个光滑直轨道AB和CD，其中A、B、C、D四点刚好位于同一竖直圆O的圆周上，B点恰好过竖直圆O的最低点。现让两个小球（可视为质点）分别从A、D两位置由静止释放，它们沿直轨道到达B、C的时间分别记为t1、t2。则（）A.t1>t2B.t1＝t2C.t1<t2D.无法确定【模型演练2】如图所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则（）A．t1＝t2＝t3B．t1>t2>t3C．t1<t2<t3D．t3>t1>t2【模型演练3】如图所示装置，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心。已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点。则()A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点C．c球最先到达M点D．a、c、b三球依次先后到达M点【模型演练4】如图所示，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为（）A．0 B．θ2 C．θ D．1．如图所示，ad、bd、cd是竖直平面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点。每根杆上都套着一个小滑环，三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度都为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环滑到d的时间，则（）A． B．C． D．2．如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个相同的小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上，下列说法正确的是（）A．沿OD下滑时间最短B．沿OA下滑时间最短C．沿OC下滑时间最短D．沿OB下滑时间最短3.如图所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了两个光滑轨道a、b，其中轨道a与斜面垂直，两轨道顶点相同，且顶点在C点的正上方。现分别从两轨道的顶点释放一物块，它们到达斜面的时间分别为t1、t2.下列说法正确的是（）A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．无法确定4．如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（）A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点5．如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为、、，则三者之间大小关系为（）A． B．C． D．6．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中B、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，B、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，A点在y轴上且∠AMO=60°，O'为圆心，现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为、、，则（）A．<< B．=< C．>= D．由于C点的位置不确定，故无法比较时间大小关系7.如图所示，竖直平面内存在半径为R的大圆和半径为r的小圆，两个圆的公切线水平，有两条倾斜的光滑轨道，一条与大圆相交于A、B两点，A点为大圆的最高点，另一条轨道一端交于大圆的C点.另一端交于小圆的D点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条轨道的顶端A、C由静止释放，分别滑到B点和D点（假设物体能够无障碍地穿过CD与圆的交叉点），物体在两条轨道上的运动时间分别为、，重力加速度为g，下列判断正确的是（

）A． B．C． D．8.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为()A.tAB＝tCD＝tEFB.tAB>tCD>tEFC.tAB<tCD<tEFD.tAB=tCD<tEF9．如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为()A．1∶1∶1 B．5∶4∶3 C．5∶8∶9 D．1∶2∶3圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为30º、45º、60º。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）θθaObcA．a处小孩最先到O点B．b处小孩最先到O点C．c处小孩最先到O点D．a、c处小孩同时到O点11.如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，与水平面间的夹角分别为、、。若三个完全相同的滑块同时从、、处开始由静止下滑（忽略阻力），则A．处滑块最先到达点B．B处滑块最先到达点C．C处滑块最先到达点D．三种情况下滑块到达点的速度不相同12.如图所示，从圆上一点引三条倾角不同的粗糙斜面轨道、、到圆周上，已知斜面的动摩擦因数均为，其中是一条竖直面，是圆的直径，。现将小球从点分别沿、，三个斜面静止释放，设小球到达圆周上的速率分别为、、，经历的时间分别为、、。则下列说法正确的是A． B． C． D．13.如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则（）A.a球最先到达M点 B.b球最后到达M点C.c球最后到达M点 D.b球和c球都可能最先到达M点14.如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y、x轴的切点。B点在y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是（）A.tB＞tC＞tAB.tB=tC＞tAC.tA=tB=tCD.tB＞tA=tC15.如图所示，在倾角为=30º的斜面上方的A点处悬挂一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上.木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α角的大小为（）A.α=10ºB.α=15ºC.α=30ºD.α=60º16.如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心.每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系不正确的是（）A.t1＝t2 B.t2＞t3C.t1＜t2 D.t1＝t317.如图所示，斜面AD和BD与水平方向的夹角分别为60°和30°，两斜面的A端和B端在同一竖直面上，现让两个可视为质点的物块分别从两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两物块与AD、BD面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，则μ1：μ2为（）A.1:3 B.3:1 C.:1 D.1:18.如图所示，O点是竖直圆环的顶点，Oc是圆环直径，Oa和Ob是两条不同倾角的弦.在Oc、Oa、Ob线上置三个光滑的斜面，一个质点从O自由释放，先后分别沿Oc、Oa、Ob下滑，到达a、b、c三点的时间（）A.最短的是a点B.最短的是b点C.最长的是c点D.时间都相同19.如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为（）A.2∶1B.1∶1C.∶1D.1∶20.倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在O点竖直的固定一长10m的直杆AO。A端与C点、坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如右图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）（）A.2s和2sB.和2sC.和4sD.4s和21.如图所示，一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，已知AB和AC的长度相同.两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间（）A.p小球先到 B.q小球先到C.两小球同时到 D.无法确定22.游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示。甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图象，正确的是（）A.B.C.D.二、多选题23.如图所示，O点为竖直圆周的圆心，MN和PQ是两根光滑细杆，两细杆的两端均在圆周上，M为圆周上的最高点，Q为圆周上的最低点，N、P两点等高。两个可视为质点的圆环1、2（图中均未画出）分别套在细杆MN、PQ上，并从M、P两点由静止释放，两圆环滑到N、Q两点时的速度大小分别为、，所用时间分别为、，则（）A． B． C． D．24.如图所示，oa、ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从o点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用