2.2.3 直线的一般式方程（课时教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

第三课时直线的一般式方程（一）教学内容：直线的一般式方程.（二）教学目标1.通过以点斜式（斜截式）与一般式为例的相互转化的学习，学生们能够理解并自主将直线方程的特殊形式转化为直线的一般式方程，发展学生的逻辑推理及数学运算核心素养.2.能够对直线的一般式准确的转化为直线的特殊形式，能从一般式方程的系数中解读出直线的特殊形式所对应的直线的几何特征，例如斜率、截距、定点等，发展学生的数学运算及直观想象核心素养.3.在面对具体问题情境时，能够初步使用坐标法解决问题.（三）教学重点及难点1.重点直线的一般式方程.2.难点不同问题背景下，直线方程不同形式的选择及相互转化.（四）教学过程问题1：是不是所有的直线都可以又有没有必要表示成为的形式？师生活动：（1）教师出示下述表格，学生们自主整理学习过的四种方程，完成下面的表格.形式点斜式方程斜截式方程两点式方程截距式方程方程适用范围在上述表格的引导下，学生们应该能够自主得到以下结果.形式点斜式方程斜截式方程两点式方程截距式方程方程适用范围适用于斜率存在的情形适用于斜率存在且不为0的情形适用于不过原点、斜率存在且不为0的情形（2）教师指出，那些“不适用”的直线不是没有方程，而是那些方程不能称之为点斜式、斜截式、两点式、截距式.换句话说，前面学习了直线的四种形式，而这之外，还有一些直线的方程“没名没姓”.这种复杂的局面，有没有办法解决？前面问到的会不会是一个机会？（3）首先请学生们自主讨论，完善一下对的要求：不同时为0.当同时为0时，它不再是一个方程；而当不同时为0时，它确实表示了（横坐标与纵坐标）的关系式.（4）教师组织学生讨论：在平面直角坐标系中的任意一条直线是否都能用关于的二元一次方程（不同时为0）表示？注意到任意一条直线分为两类，一类是能够用点斜式方程表示的.我们将点斜式方程，可以改写为，它就是，，时的；据此，在平面直角坐标系中的任意一条直线是否都能用关于的二元一次方程（不同时为0）表示.（5）接下来，教师组织学生继续讨论：对于任意一个关于的二元一次方程（不同时为0），是否都表示一条直线？讨论结果应该是：如果当时，可改写为，因此可得直线的斜截式方程（如果继续选用点斜式，会得到无数个不同的结果），直线的斜率为，在轴上截距为.如果当时，此时要求，可改写为，对应的是斜率不存在的情形，是过点且垂直于轴的直线.据此，对于任意一个关于的二元一次方程（不同时为0），是否都表示一条直线.（6）师生共同进行总结：在直角坐标系中，任意一个二元一次方程（不同时为0）都表示一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线都可以用一个确定的二元一次方程（不同时为0）表示.因此，我们将关于的二元一次方程（不同时为0），称为直线的一般式方程，简称一般式.设计意图：在前面的学习过程中，教材及我们的课堂，均多次将表示为（课堂上）、表示为（教材里）.在这些具体问题中，来自点斜式的和来自两点式的，以及来自的和来自斜截式的都表现为一个统一的形式.这些问题都引导学生去完成直线的特殊形式与直线的一般式之间的转化.在逻辑上讲，由于直线的两点式是点斜式的“变式”，所以只要完成了点斜式（斜截式）与一般式的相互转化，其它形式的与一般式的相互转化是不需要另行证明的.所以，教师要耐心细致的引导学生们经历点斜式（斜截式）与一般式互相转化的过程.但是，为了在使用直线的一般式的过程中，学生们能够更好的从中解读出对应的几何特征，设置一些其他形式直线方程与一般式之间的相互转化的训练也是可以的.问题2：请学生们结合前面的学习，自主完成以下例题与习题.师生活动：（1）师生共同求解以下例题：【例1】已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式及一般式方程.【解】经过点，斜率为的直线的点斜式方程为，化为一般式，得.【例2】把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.【解】把直线的一般式方程化为斜截式：.因此，直线的斜率，它在轴上的截距是3.在直线的方程中，令，得，即直线在轴上的截距是.则直线与轴、轴的交点分别为，过两点作直线，即可得到直线（如图所示）.（2）学生自主完成以下课堂练习：【课堂练习1】（1）写出经过点，斜率是的直线的一般式方程，并求出它的截距；（2）写出经过点，的直线的一般式方程，并求出它的斜率与截距；（3）经过点，平行于轴的直线的一般式方程，并求出它的斜率与截距；（4）写出在轴、轴上的截距分别是，的直线的一般式方程，并求出它的斜率.【答案】（1），在轴、轴上的截距分别是，；（2），它的斜率为，在轴、轴上的截距均为；（3），它的斜率为，在轴上的截距是，在轴上的截距不存在；（4），它的斜率为.设计意图：例1、例2源自教材的例题，学生们在完成这些例题，获得直线的特殊形式的方程与一般式方程相互转化的体验.特别是例2，由一般式方程求直线的截距，有一种解法是由得，进而，最后“读”出直线的截距.这种解法与教材所给解法各有千秋，教师可以交由学生自由解读、自由选择.课堂练习1源自教材的练习，具体教学中，最好是让学生演板（或用智慧课堂设备抓取学生作答情况），展示不同的学生各不相同的解题顺序与途径.教师可以引导学生思考不同过程的优劣，但应让学生们遵从自己的判断，做出选择，教师不作最后评判.问题3：在方程中，为何值时，方程表示以下直线．①平行于轴？②平行于轴？③与轴重合？④与轴重合？⑤过原点？师生活动：（1）教师引导学生再次明确：方程若要表示直线，前提要求A，B不同时为0．（2）学生自主讨论，得到以下答案：①由直线平行于轴，则，，，直线方程为；②直线平行于轴，则，，，直线方程为；③直线与轴重合，则，，，直线方程为；④直线与轴重合，则，，，直线方程为；⑤直线过原点，则，直线方程为.（3）教师继续追问：，，，时，它的斜率和截距如何表示？学生自主讨论后应该可以得到：斜率为，在轴、轴上的截距分别是，.设计意图：问题2总体来说是对问题1后附的例题与课堂练习所得结论的抽象化及系统整理.将学生们在具体问题中得到的经验，整理成为今后解这一类问题的步骤，形成一定的算法.经验表明，在处理直线过原点的情况时，很多的学生会根据一些特例，归纳出结论，但是，并不所有学生能想到用原点代入这样的逻辑推理过程说明这个结论，甚至于不少学生会认为前面的归纳就是证明.教师在具体教学过程中，可控制教学进度，避免较快得到结果的学生过早给出思路，而是应给足够多的时间给全体学生，让他们都经过认真的思想后，再来提问，让学生们的逻辑推理核心素养共同得到一次发展.问题4：如何利用直线的一般式判断直线的平行与垂直？我们先来看两个具体的例子：【例3】（1）已知直线与直线平行，求的值；（2）已知直线与直线垂直，求的值.师生活动：（1）学生自主完成解答如下：【解】（1）因为的斜率为；的斜率为，两平线平行，，得.经检验，，两直线不重合.综上可知，两直线平行时.（2）因为的斜率为；的斜率为，两平线垂直，，得.所以，两直线重直时.（2）教师指出上述例题中，斜率都恰好存在，而且第一小题所得结果也正是平行而不重合.但在其他一些问题中，可能需要对这些特殊情况进行讨论.（3）请学生自主完成以下课堂练习：【课堂练习2】求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点，且与直线平行；（2）经过点，且与直线垂直.【解】（1）据题意，设所求直线为，将点代入得，即，所以，所求直线为.（2）据题意，设所求直线为，将点代入得，即，所以，所求直线为.（4）教师指导学生整理得以下结论：①直线与平行，则；直线与垂直，则.②求与直线平行的直线时，可设其为；与直线垂直的直线时，可设其为.设计意图：和前面学习直线的点斜式（及其他形式）一样，对于直线的一般式，也存在一个讨论直线的平行与垂直的问题.上述结论简单实用，但是，其证明并没有在课堂上完成，学生们结合教材第68页第14题继续探究.问题5：两直线与垂直，则.这个与向量会不会有什么内在联系？师生活动：（1）教师引导学生回忆：直线上任取一个非零向量都可以是直线的方向向量，其中一个最常用的方向向量是，但这个方向向量仅适用于直线的斜率有意义时.（2）学生自由讨论：直线的方向向量有没有什么更好的形式？应该可以由得到是直线的方向向量.（3）教师引导学生注意上述过程仍只适用于直线的斜率有意义时，只有单独讨论直线斜率没有意义时，也是直线的方向向量后，我们才可以下结论：是直线的方向向量.（4）两直线与垂直，即,得,.（5）教师引导学生进一步思考：还有没有更好的解释？比如使用法向量来表达？（6）学生们自由讨论：取为直线的方向向量，易知是直线的一个法向量.所以两直线与垂直，即,得.（7）师生共同在尽可能用方向向量及法向量完成以下例题：【例4】求点、的垂直平分线的方程.【解】的中点.设该垂直平分线上任一点，则是的方向向量；又因为是的法向量，所以，所以的方程为即.设计意图：这个问题进一步向学一展示了数学的广泛联系性特征.事实上,这个问题给出了直线的点法式方程，与教材的“探究与发现”用方向向量导出直线的参数方程相互呼应.考虑到课堂容量与重难点问题，这个话题并不展开.为部分学生进一步学习埋下一个伏笔.（五）小结（1）直线的一般式方程（不同时为0）一个二元一次方程.它和点斜式、斜截式、两点式、截距式不同，一般式可用来表示任意直线.具体来说，包括斜率不存在的情形；（2）在有意义的情况下，可以用表示直线的斜率、截距和、方向向量、法向量等几何特征，也可以用判断直线间的平行与垂直关系；（3）不同的问题情境下，要善于选择不同形式的直线方程，也要善于在不同形式的直线方程间进行转换.（六）目标检测：1.已知直线的方程为在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.2.课后作业布置：教材第67页习题2.2第9题、第68页第13题、第14题.1.【解法一】①当直线在坐标轴上的截距为0，即直线过原点，故，，直线为；②当直线在坐标轴上的截距不为0，即时，由，得.由在两坐标轴上的截距相等，得，因为，所以，直线为.综上可知，或.【解法二】直线在两坐标轴上截距相等，默认了截距是存在的，即.由可得：当，则；当，则；由在两