2.2 直线的方程 （单元教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

“直线的方程”单元教学设计一、内容和及其解析（一）内容对确定直线位置的几何要素的探索，得到直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.（二）内容解析1.内容本质：直线的方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画，这种刻画为我们研究直线带来方便.直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的代数关系式.直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.直线的点斜式方程是直线其他形式方程的基础，两点式一方面是点斜式的“变式”表达，另一方面也是对“两点确定一条直线”的代数刻画.这些方程都以斜率公式为纽带，将直线上任意一点与确定直线位置的几何要素联系起来，表达了直线上的点的坐标所满足的代数关系.直线的一般式方程揭示了直线方程的代数本质.任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程，两点式方程都可以化为一般式方程.2.蕴含的思想方法直线方程的建立过程，本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程，坐标法是本单元教学的核心.用方程表示直线，实现对直线的“运算”，将直线方程“形象化”为直线，实现了对方程的直观化表达，蕴含了丰富的数形结合思想.本单元同时还蕴含着特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.3.知识的上下位关系：本单元在完成了对直线的重要几何要素之一（方向）完成了代数刻画之后，对直线进行完全的代数刻画.这是学生第一次系统的用坐标法刻画一个几何对象，是学生学习和掌握坐标法的重要一环，是后续用坐标法学习圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程的基础.在后续的学习中，会进一步使用直线方程对直线的交点坐标、点到直线的距离、平行直线间的距离进行定量计算.而对坐标法的进一步掌握，还会在“反哺”函数与向量的学习起到一定的作用.4.育人价值：通过直线方程概念的学习，发展学生的数学抽象核心素养；通过直线方程及适用范围的学习，发展学生的逻辑推理、数学运算核心素养；通过不同问题对直线的几何特征的关注，采用不同的直线方程求解问题，发展学生的直观想象核心素养.5.教学重点：直线的方程.目标及其解析（一）单元目标能够完成对确定直线位置的几何要素的探索，掌握直线的点斜式方程及应用；能够从直线的点斜式方程出发，完成对直线两点式方程的自主探究；能够明了直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程；了解直线不同形式方程间的关系，进一步体会坐标法.（二）目标解析1.学生知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，知道斜截式方程是点斜式方程的特例.会根据已知点的坐标以及直线的斜率写出直线的点斜式方程，并能够与斜截式方程的相互转化.2.学生知道两点式方程是直线点斜式方程的一种“变式”表达，知道截距式方程是两点式方程的特例.会根据两点坐标写出直线的两点式方程，并能够与截距式方程的相互转化.3.学生知道点斜式方程是其他所有形式方程的基础，通过对一般式方程的分析，能够把一般式方程转化为点斜式方程后，认识到任意一个二元一次方程都表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.4.知道直线方程是对直角坐标系中直线几何特征的代数刻画.知道直线上所有的点的坐标都满足这个方程，以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.能说出平面直角坐标系中不同直线的几何特征并选择合适的形式写出直线方程.能说出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程中相关要素的几何意义，能进行不同形式方程的转化并解决有关问题.教学问题诊断分析（一）教学问题诊断在本单元中学生将第一次在平面直角坐标系中用代数形式刻画一个几何对象，系统地完成对坐标法的完整体验.这一过程中学生对什么是直线的方程，什么是方程的直线，缺乏认知，是本单元教学的难点.为此，应清晰完成一次对以二元一次方程的解为坐标的点都在所求的直线上的证明.学生能否在前面学习直线的倾斜角及斜率时的基础上，形成对坐标法的初步认识，完成对直角坐标系中确定直线位置的几何要素的分析，建立直线上任意一点（所有点）与这些要素之间的关系，得出坐标满足的代数关系式，这对学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养都提出了较高的要求.为此，在第一课时安排学生从直线的斜率公式出发探究直线的点斜式方程.在第二课时，则应引导学生在第一课时的基础上，由直线的点斜式出发，探究直线的两点式方程.学生能否认识到直线的点斜式方程的重要性，能否通过两点的直线斜率公式的“变式”表达建立直线的点斜式方程，进而认识到直线的两点线直线方程是点斜式方程的“变式”表达，而直线斜截式方程、截距式方程则分别是直线的点斜式方程、两点式方程的特例，能否建立起直线方程不同形式的内在联系，是本单元教学需要着重解决的问题.解决了这个问题，学生才会真正系统掌握并应用直线方程的不同形式.在教学上应设置不同的问题背景，引导学生们根据直线上任意一点（所有点）的几何特征，选择不同的直线方程，让学生经历对直线方程的“同解变形”，解决相应问题.要帮助学生建立从分析确定直线位置的几何要素入手，完成对这些几何要素的代数主刻画；结合对直线一般式方程与点斜式方程之间的转化，体会直线的方程和方程的直线之间的关系，形成以数与形两个角度对研究对象进行研究的思维方法.（二）教学难点：1.对直线的点斜式方程的重要性的认识与运用；2.建立起直线与二元一次方程间的对应关系.四、教学支持条件（一）学生在前面的课堂上，完成了对直线的倾斜角及斜率的学习；在高一的数学必修课程中的函数、平面向量、