2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题07 函数的应用（学生版）

/专题07函数的应用10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01函数零点的定义2025年上海高考真题考查，题型为3问压轴解答题；2026年模拟题高频延伸考查，为近年新增核心考点基础题考查零点定义的直接应用、元素与集合的判断；核心变化为2025年首次结合偶函数、新定义集合、函数图象综合考查，压轴题侧重零点个数的逻辑证明，对抽象推理与分类讨论能力要求大幅提升考点02函数零点的分布2020、2023、2024年上海高考真题连续考查，题型覆盖填空题、解答题；2024年考查三角函数零点分布，2023年考查二次函数零点分布，2020年考查分段函数零点分布基础题考查零点存在性定理、零点个数与参数范围求解；命题规律稳定，核心结合三角函数、二次函数、分段函数考查，2024年创新结合三角函数周期性考查区间内零点个数，对函数图象与性质的综合应用能力要求提升考点03函数与方程的综合应用2021、2022、2025年上海高考真题高频考查，题型覆盖填空题、解答题；2021年考查3问解答题，2022年考查填空压轴题，2025年考查绝对值方程求解基础题考查方程解集求解、函数定义域与单调性；核心变化为2022年首次结合函数奇偶性、对称性、周期性综合考查，2021年创新考查复合函数单调性与方程根的分布，题型从基础计算转向多知识点融合的综合推理考点04函数模型及其应用2018、2023、2025、2026年上海高考真题连续考查，题型覆盖填空题、解答题；2026年考查3问统计回归类解答题，2025年考查抛物线模型填空压轴题，2023年考查建筑体模型解答题核心变化为2023年起从传统函数模型转向统计、几何、导数融合的综合场景，2026年新增环保监测类实际场景，对数学建模、数据分析与综合应用能力要求大幅提升考点01函数零点的定义1．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．考点02函数零点的分布1．（2020·上海·高考真题）设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______.2．（2024·上海·高考真题）已知，(1)设，求解:的值域;(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.3．（2023·上海·高考真题）函数(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.考点03函数与方程的综合应用1．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．2．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________3.（2021·上海·高考真题）已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.考点04函数模型及其应用1．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

2．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：颗粒物密度101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86二氧化硫密度119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86(1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？（直接写结论）(3)2023年前9年的年份()的平均数为2018，(颗粒物密度)关于(年份)的回归方程拟采用，或.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？参考数据：3．（2023·上海·高考真题）已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）；(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？4．（2018·上海·高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义.一、单选题1．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（

）．A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列2．（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（

）A． B． C． D．3．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（

）A．函数的零点的个数一定是3个B．若集合的解集是，则实数对有2对C．函数必存在极值D．函数在处的切线方程为，则4．（25-26高三上·上海·阶段检测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）.A． B． C． D．二、填空题5．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________．6．（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.7．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______8．（2026·上海·三模）已知函数，若存在实数，使得方程无解，则实数的取值范围是_____________.9．（2026·上海黄浦·三模）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________.10．（2024·山东烟台·一模）若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为__________.三、解答题11．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”．(1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由；(2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值；(3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点．12．（2026·上海·三模）已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.13．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）.(1)若函数的图象过点，求不等式的解集；(2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.14．（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且.(1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由；(2)设.若关于的方程的解