2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题03 函数的概念与性质（学生版）

/专题03函数的概念与性质10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01函数及其表示2017-2026持续考查，单选、填空为主基础考定义域、值域、分段函数求值；2026创新“最低点”新定义，结合双函数最值逻辑判断，侧重阅读理解与举反例考点02函数的基本性质2017-2026年年必考，全题型覆盖，解答压轴高频基础题考查奇偶、单调、周期判断；近年变化显著：大量抽象函数、自定义性质；解答题融合充要条件、排列、导数，逻辑证明题增多，综合性、抽象度大幅提升考点01函数及其表示1．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（

）A．若和都有最小值，则有最低点；B．若有最低点，则和都有最小值；C．若或有最小值，则有最低点；D．若有最低点，则或有最小值.2．（2018·上海·高考真题）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（

）A． B． C． D．03．（2019·上海·高考真题）下列函数中，值域为的是A． B． C． D．4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．5．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________．6．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.7．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.8．（2024·上海·高考真题）已知则______．9．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；10．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.考点02函数的基本性质1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（

）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值2．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）.A． B． C． D．3．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（

）A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称4．（2020·上海·高考真题）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（

）A．只有 B．只有C．和 D．和都不是5．（2016·上海·高考真题）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题6．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.8．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．9．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为________10．（2017·上海·高考真题）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________.11．（2017·上海·高考真题）已知四个函数：①；②；③；④.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________12．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．(1)已知，，，，判断是否为排列；(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．13．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.(1)判断函数是否具有“性质”；(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.14．（2024·上海·高考真题）已知函数．(1)若函数的图象经过点，求解不等式；(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．15．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.16．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数.(1)若为偶函数，求的值；(2)若，求方程在区间上的解.17．（2017·上海·高考真题）设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.（1）若，求的取值范围；（2）若为周期函数，证明：是常值函数；（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.一、单选题1．（2026·上海黄浦·三模）设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（

）．A．“”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件B．设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件C．设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件D．设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件2．（2026·上海·三模）设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题：①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数；②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期；下列选项中正确的是（

）A．①②都是真命题 B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题3．（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（

）．A． B．C． D．4．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（

）．A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误5．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（

）结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数．A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误6．（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（

）A． B． C． D．7．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2026·上海金山·二模）函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数9．（2026·上海长宁·二模）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．10．（2026·上海静安·二模）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．二、填空题11．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______．12．（2026·上海黄浦·三模）求函数的定义域________.13．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______．14．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______.15．（2026·上海·三模）已知，则的解集是_______．16．（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______．17．（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到）18．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，，则．其中所有正确结论的序号是______．19．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______.20．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______．21．（2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______.22．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________．23．（2026·上海·三模）若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________．24．（2026·上海·三模）定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数m的最大值为__________三、解答题25．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数．(1)判断函数是否为函数，说明理由；(2)已知是实数，函数是函数，求的最大值；(3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件．26．（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且.(1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由；(2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值.27．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，．(1)，求的值；(2)若，，依次成等比数列，求的值．28．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．(1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由；(2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值；(3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．29．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”．(1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围；(2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围；(3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数．30．（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为.(1)设，，若，求实数的值；(2)设，，若，且，求的值；(3)已知，，且对任意闭区间，与均存在.求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.”31．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”.(1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由；(2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；(3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，.32．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质”(1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由）(2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围；(3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集．33．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．(1)若，求实数a的取值范围；(2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若