2025中考数学二模试题分类汇编02 整式、分式、根式（学生版+教师版合并）

专题02整式、分式、根式题型概览题型01整式的运算题型02因式分解题型03分式的概念题型04分式的计算题型05根式概念与性质题型06根式的运算题型07规律探究题型01整式的运算题型011．（2025·贵州贵阳·二模）若与是同类项，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．52．（2025·重庆·二模）已知整式，其中，，…，为整数，，为正整数，且，下列说法：①不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式；②若，则满足条件的整式之和为；③满足条件的整式共有22个；其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2025·内蒙古赤峰·二模）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．4．（2025·山东德州·二模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．5．（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．6．（2025·河北廊坊·二模）若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2025·山东青岛·二模）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．8．（2025·吉林长春·二模）多项式的次数是．9．（2025·广东梅州·二模）已知代数式与是同类项，则．10．（2025·内蒙古赤峰·二模）．11．（2025·河北唐山·二模）若，则的值为．12．（2025·四川南充·二模）已知，则的值为．13．（2025·河北唐山·二模）已知．(1)计算；(2)若、满足，求的值．14．（2025·陕西榆林·二模）计算：．15．（2025·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中．16．（2025·陕西宝鸡·二模）先化简，再求值：，其中，．17．（2025·福建厦门·二模）已知整式．(1)化简该整式；(2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由．18．（2025·贵州六盘水·二模）的核心算法中有一种优先算法的“卷积”，类似如下操作：优先算法，优先算法2：，优先算法3：．(1)尝试操作：______；(2)操作思考：______；(3)思考设计：如下表所示，输出一个“微笑”的“卷积”是______，______，______，______．表情包表情名称微笑难过惊讶无奈数值25313540题型02因式分解题型021．（2024·上海金山·二模）下列多项式分解因式正确的是（

）A． B．C． D．2．（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2025·云南·模拟预测）分解因式：（

）A． B． C． D．4．（2025·江苏泰州·二模）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．5．（2025·浙江杭州·二模）因式分解：．6．（2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为．7．（2025·江苏徐州·二模）已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为．8．（2025·北京门头沟·二模）分解因式：．9．（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为．10．（2022·黑龙江绥化·二模）因式分解：．11．（2025·湖南株洲·二模）如果一个三位数满足其百位数与2的和等于十位数与个位数的和，则称这个数为“和二数”，如736，736是“和二数”，又如563，563不是“和二数”，则最小的“和二数”是；一个“和二数”为，且能被5整除，记，若能被9整除，则满足条件的的最大值为．12．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．13．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：(1)分解因式：；(2)分解因式：．题型03分式的概念题型031．（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（

）20无意义01A． B． C． D．2．（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（

）A． B． C．x D．3．（2025·云南楚雄·二模）函数的自变量的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．4．（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．5．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（

）A．① B．② C．③ D．④6．（2025·重庆·二模）函数有意义，则自变量x的取值范围是．7．（2025·云南楚雄·二模）如果分式的值为零，那么x的值是．8．（2025·安徽滁州·二模）当分式的值为0时，则实数x的值是．9．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为．题型04题型041．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2025·天津河东·二模）计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．3．（2025·湖北·二模）计算：．4．（2025·重庆渝中·二模）计算：．5．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式．6．（2025·上海·二模）化简：．7．（2025·湖北黄石·二模）计算：．8．（2025·湖北襄阳·二模）计算：．9．（2025·辽宁丹东·二模）（1）计算：．（2）在化简的过程中，小玉、小强同学分别给出了如下的部分运算过程：小玉：原式……小强：原式……(1)小玉解法的依据是___________，小强解法的依据是___________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)试选一种解法，写出完整的解答过程．10．（2025·江苏南京·二模）计算11．（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中．12．（2025·河北唐山·二模）根据如图所示的程序，解决下列问题：(1)求（结果需化简）；(2)若输出的的结果为3，求输入的的值．13．（2025·四川泸州·二模）化简：．14．（2025·内蒙古赤峰·二模）化简求值：，其中15．（2025·陕西榆林·二模）先化简，再求值：，其中，．16．（2025·陕西延安·二模）先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．17．（2025·重庆·二模）先化简，再求值：，其中．18．（2025·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值．19．（2025·重庆·二模）先化简，再求值：，其中．题型05题型051．（2020·河北唐山·二模）下列计算错误的是（

）A． B． C． D．2．（2025·云南大理·二模）要使代数式有意义，的取值应满足（）A． B． C． D．3．（2025·山东临沂·二模）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．4．（2025·湖北·二模）写一个使二次根式有意义的的值．5．（2025·安徽合肥·二模）若有意义，则的取值范围是．6．（2025·山东日照·二模）若点是一次函数上的两点，对于任意，都有，则的取值范围是．7．（2025·山东·二模）已知，则．8．（2025·江苏淮安·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．题型06题型061．（2025·重庆大渡口·二模）估算的结果应在（

）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间2．（2025·江苏南通·二模）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．（2025·江苏泰州·二模）下列二次根式计算正确的是（

）A． B． C． D．4．（2025·重庆·二模）估计的值在（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间5．（2025·辽宁鞍山·二模）与能合并的二次根式是（

）A． B． C． D．6．（2025·上海嘉定·二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（

）．A． B． C． D．7．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（）A． B． C． D．8．（2025·江苏扬州·二模）若，，则．9．（2025·山东德州·二模）计算：．10．（2025·天津河东·二模）计算的结果为．11．（2025·山东青岛·二模）计算：．12．（2025·福建·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是．13．（2025·山西晋中·二模）计算：．14．（2025·山东淄博·二模）计算：．15．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是．16．（2025·湖北孝感·二模）已知，则的值为．17．（2025·吉林长春·二模）比较大小：5（填“”“”或“”）．18．（2023·陕西西安·二模）比较大小．19．（2025·上海黄浦·二模）计算：．题型07题型071．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（）A． B．C． D．2．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（）A． B． C． D．3．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，，，，第10个多项式是（

）A． B． C． D．4．（2025·贵州贵阳·二模）如图是用棋子摆成的“小房子”，按照这样的规律，摆第8个图形需要枚棋子．5．（2025·山西晋中·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子结构模型如图所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氢原子，甲烷有4个氢原子，乙烷有6个氢原子，丙烷有8个氢原子，．．．依此规律，十三烷的分子结构模型中氢原子的个数是个．6．（2025·安徽合肥·二模）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．【思考与推理】老师提供了下列一组等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；…第n个等式可写为：老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理：整理得，………【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；……【问题解决】(1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤．(2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想．(3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式．7．（2025·安徽合肥·二模）数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论：，为此，他们继续探究3的倍数的和问题，得到如下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……根据以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)用含的等式表示第个等式，并验证；(3)记第个等式的和为，数学兴趣小组发现，求的值．8．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．

专题02整式、分式、根式题型概览题型01整式的运算题型02因式分解题型03分式的概念题型04分式的计算题型05根式概念与性质题型06根式的运算题型07规律探究题型01整式的运算题型011．（2025·贵州贵阳·二模）若与是同类项，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．5【答案】C【分析】本题主要考查了是同类项，根据同类项的定义求解即可，解题的关键是掌握同类项的定义．【详解】解：∵与是同类项，∴，故选：C．2．（2025·重庆·二模）已知整式，其中，，…，为整数，，为正整数，且，下列说法：①不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式；②若，则满足条件的整式之和为；③满足条件的整式共有22个；其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键．根据给定的条件逐条分析判断即可．【详解】解：根据题意，，且为正整数，，说法①，当时，，，因此，若，则，此时最多有两个非零系数，无法构成三项式，若，则，即，仅一项，矛盾，故①说法正确；说法②：当时，整式为：，当时，整式为：，，，，当时，整式为：，，，，，当时，整式为：，∴满足的整式之和为：，故②说法错误；说法③：由上述分析，满足条件的整式共有个，故③说法错误；∴正确的个数为个，故选：B．3．（2025·内蒙古赤峰·二模）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键．根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项的计算法则判定即可．【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；B、，原选项错误，不符合题意；C、，原选项错误，不符合题意；D、，正确，符合题意；故选：D．4．（2025·山东德州·二模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、积的乘方、完全平方公式及合并同类项．因此此题可根据同底数幂的乘除法及积的乘方可进行排除选项．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．5．（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：C．6．（2025·河北廊坊·二模）若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；本体根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，先分别对等号左右两边进行化简，然后得到，然后即可求解【详解】解：∵，∴，，∴，∴，即；∴，故选：D7．（2025·山东青岛·二模）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．按照负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等相关运算法则逐一计算判断即可．【详解】解：A.，故选项不符合题意；B.，故选项不符合题意；C.，故选项不符合题意；D.，故选项符合题意；故选：．8．（2025·吉林长春·二模）多项式的次数是．【答案】3【分析】本题考查了多项式的次数，根据“一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数”即可求解，掌握多项式的次数的定义是解题的关键．根据多项式的次数知识，进行作答，即可求解【详解】解：多项式的次数是3，故答案为：39．（2025·广东梅州·二模）已知代数式与是同类项，则．【答案】【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入可得．【详解】解：∵代数式与是同类项，∴，，∴，由①得：③，把③代入②得：，解得：，把代入③得：，∴原方程组的解为：，∴．故答案为：．10．（2025·内蒙古赤峰·二模）．【答案】【分析】本题考查了平方差公式，积的乘方的逆运算，二次根式的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式得，再运算中括号内，得，即可作答．【详解】解：．故答案为：．11．（2025·河北唐山·二模）若，则的值为．【答案】【分析】该题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂乘法法则计算即可．【详解】解：，∴，解得：，故答案为：．12．（2025·四川南充·二模）已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查整式的乘法，利用多项式乘以多项式，完全平方公式，进行计算后，求出的值，进而求出代数式的值即可．【详解】解：∵，又∵，∴，∴；故答案为：13．（2025·河北唐山·二模）已知．(1)计算；(2)若、满足，求的值．【答案】(1)(2)99【分析】本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值，正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键．（1）原式去括号，合并同类项即可得到答案；（2）根据非负数的性质求出的值，再代入（1）中结果进行计算即可．【详解】（1）解：∵∴．（2）解：∵，∴，．解得：，．将，代入，原式．14．（2025·陕西榆林·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查幂的混合运算，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可．【详解】解：，．15．（2025·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中．【答案】【分析】本题考查了多项式的乘法，平方差公式，求代数式的值，掌握运算法则是解题的关键；利用单项式乘多项式及平方差公式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式；当时，原式．16．（2025·陕西宝鸡·二模）先化简，再求值：，其中，．【答案】【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键．运用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，代入计算即可求解．【详解】解：，当，时，．17．（2025·福建厦门·二模）已知整式．(1)化简该整式；(2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由．【答案】(1)(2)有两个不相等的实数根；理由见解析【分析】该题考查了一元二次方程根判别式和整式混合运算，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据多项式乘多项式乘法法则和单项式乘多项式乘法法则去括号，再运算加减法即可；（2）根据该整式的值为正数，得出，求出，再根据一元二次方程根判别式解答即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：由题可得，解得：．对于关于的方程，．因为，所以．所以该方程有两个不相等的实数根．18．（2025·贵州六盘水·二模）的核心算法中有一种优先算法的“卷积”，类似如下操作：优先算法，优先算法2：，优先算法3：．(1)尝试操作：______；(2)操作思考：______；(3)思考设计：如下表所示，输出一个“微笑”的“卷积”是______，______，______，______．表情包表情名称微笑难过惊讶无奈数值25313540【答案】(1)(2)(3)（答案不唯一）【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，新定义，整式的混合运算，根据题意列出方程是解题的关键．（1）根据题意计算即可解答；（2）根据题意计算即可解答；（3）根据题意列放出即可解答．【详解】（1）解：根据题意可得，故答案为：；（2）解：，故答案为：；（3）解：设输出一个“微笑”的“卷积”是，则可得，，，，，，则可得，，故可输出一个“微笑”的“卷积”是，故答案为：（答案不唯一）．题型02因式分解题型021．（2024·上海金山·二模）下列多项式分解因式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式表示成几个多项式积的形式；根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】解：A、，故分解错误；B、不能分解，故错误；C、不是因式分解，故错误；D、分解正确；故选：D．2．（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】本题考查代数式求值，因式分解，根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴；故选项A正确，不符合题意；当时，∵，∴，∵，∴，∴，整理，得：，∴；故选项B正确，不符合题意；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故选项C正确，不符合题意；若，则：，∴，∵，∴，∴，∴；故选项D错误，符合题意；故选D．3．（2025·云南·模拟预测）分解因式：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握运算方法是解题的关键．先提取公因式x，再利用完全平方公式继续进行因式分解．【详解】解：．故选：A．4．（2025·江苏泰州·二模）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，满足的式子即为符合题意的式子，据此求解即可．【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；D、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；故选：C．5．（2025·浙江杭州·二模）因式分解：．【答案】【分析】本题主要考查因式分解；提取公因式进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．6．（2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为．【答案】/【分析】此题主要考查了提取公因式法，直接根据公因式的定义分析得出答案．正确找出公因式是解题关键．【详解】解：把多项式分解因式，应提取公因式：．故答案为：．7．（2025·江苏徐州·二模）已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为．【答案】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，代数式求值，由题意可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：由题意得，，，∴，，∴，故答案为：．8．（2025·北京门头沟·二模）分解因式：．【答案】【分析】本题考查了提公因式法公式法因式分解，掌握提取公因式法公式法的计算是关键．先提取公因式，在运用平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．9．（2025·江苏扬州·二模）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为．【答案】【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，由已知得，进而得，再代入代数式计算即可求解，熟练运用提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键．【详解】解：由题意得，，整理得，∴，∵，∴，∴，当时，，故答案为：．10．（2022·黑龙江绥化·二模）因式分解：．【答案】【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式；故答案为：11．（2025·湖南株洲·二模）如果一个三位数满足其百位数与2的和等于十位数与个位数的和，则称这个数为“和二数”，如736，736是“和二数”，又如563，563不是“和二数”，则最小的“和二数”是；一个“和二数”为，且能被5整除，记，若能被9整除，则满足条件的的最大值为．【答案】【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据“和二数”的定义即可求出最小的“和二数”，由题意得出或5，利用“和二数”的定义求出的关系，表示出，再根据，能被9整除，即可求出“和二数”的最大值，解题的关键是理解“和二数”的定义．【详解】解：设为最小的“和二数”，则，由“和二数”的定义可知：，∴，∴最小的“和二数”是103；∵“和二数”为，可以被5整除，∴或，∴或，∴或，∴或，∵，∴或，∴或，当时，则，∵能被9整除，∴是9的倍数，当时，能被9整除，则，当时，无意义，当时，能被9整除，则，当时，能被9整除，则，当时，能被9整除，则，当时，不能被9整除，当时，不能被9整除，当时，则，∵能被9整除，∴是9的倍数，当时，能被9整除，则，当时，不能被9整除，当时，能被9整除，则，当时，不能被9整除，当时，不能被9整除，当时，不能被9整除，当时，不能被9整除，∵，∴“和二数”的最大值为．故答案为：，．12．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）根据题意得：，∴原式．13．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：(1)分解因式：；(2)分解因式：．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．（）仿照进行分解即可；（）仿照进行分解即可；【详解】（1）解：；（2）解：．题型03分式的概念题型031．（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（

）20无意义01A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了解分式方程，分式值为0的条件，分式无意义的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m、n的值，再根据表格中的数据，求出对应的a、b的值即可得到答案．【详解】解：∵当时，分式无意义，∴当时，，∴；∵当时，，∴当时，，∴；∵当时，，∴；∴当时，，∴，解得，经检验，是原方程的解，故选：A．2．（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（

）A． B． C．x D．【答案】B【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论．【详解】解：当，，，∴括号里的代数式可能是．故选：B．3．（2025·云南楚雄·二模）函数的自变量的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．【答案】B【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：且，∴且；故选B．4．（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，变形错误，不符合题意；B、，变形错误，不符合题意；C、，变形错误，不符合题意；D、，变形正确，符合题意；故选D．5．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】此题考查了分式的约分，根据题意将分式约分，然后比较求解即可．【详解】解：①，②不能继续化简；③；④∴与相等的是④．故选：D．6．（2025·重庆·二模）函数有意义，则自变量x的取值范围是．【答案】【分析】此题主要考查了确定函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．由于是分母，由此得到，由此即可确定自变量的取值范围．【详解】解：依题意得，．故答案为：．7．（2025·云南楚雄·二模）如果分式的值为零，那么x的值是．【答案】【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．【详解】解：分式的值为零，，解得故答案为：8．（2025·安徽滁州·二模）当分式的值为0时，则实数x的值是．【答案】【分析】本题考查了分式值为零的条件，一元二次方程的解法，根据分式值为的条件①分母不为，②分子等于计算即可．【详解】解：由题意得且，由解得；由，解得或（舍去）所以实数的值为．故答案为：．9．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为．【答案】【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可．【详解】解：∵，∴，将代入，得：，故答案为：．题型04题型041．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断．【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误；②，嘉淇同学解法错误；③，嘉淇同学解法正确；则嘉淇同学做对的有1个，故选：B．2．（2025·天津河东·二模）计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式的加减，归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式．【详解】解：，故选：C．3．（2025·湖北·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．4．（2025·重庆渝中·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键．根据分式的运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．5．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式．【答案】【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可．【详解】解：根据题意：，故答案为：．6．（2025·上海·二模）化简：．【答案】【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先算分式的乘方，再算乘法即可．【详解】解：，故答案为：7．（2025·湖北黄石·二模）计算：．【答案】1【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，据此计算即可．【详解】解：．故答案为：1．8．（2025·湖北襄阳·二模）计算：．【答案】/【分析】本题主要考查了分式的加减运算、约分等知识点，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键．先根据分式加减运算法则计算，然后再约分即可．【详解】解：．故答案为：．9．（2025·辽宁丹东·二模）（1）计算：．（2）在化简的过程中，小玉、小强同学分别给出了如下的部分运算过程：小玉：原式……小强：原式……(1)小玉解法的依据是___________，小强解法的依据是___________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)试选一种解法，写出完整的解答过程．【答案】(1)(2)②，③；见解析【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、算术平方根等知识进行计算即可；（2）（1）根据分式的基本性质和乘法分配律进行解答即可；（2）根据分式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：小玉解法的依据是分式的基本性质；小强解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；解：小玉：原式；小强：原式．10．（2025·江苏南京·二模）计算【答案】【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．先算括号内的加法，再算除法即可．【详解】解：．11．（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中．【答案】【分析】本题考查分式化简求值，先计算小括号，再因式分解约分化到最简，最后代入数值求解即可得到答案；【详解】解：，当时，原式=．12．（2025·河北唐山·二模）根据如图所示的程序，解决下列问题：(1)求（结果需化简）；(2)若输出的的结果为3，求输入的的值．【答案】(1)(2)的值为【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的四则混合计算，正确理解题意求出C的结果是解题的关键．（1）根据题意可得，据此先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；（2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，．（2）解：依题意得：，两边同乘得，解得，经检验，是原方程的解，∴输入的的值为．13．（2025·四川泸州·二模）化简：．【答案】【分析】本题主要考查了分式的四则混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．【详解】解：，，，，．14．（2025·内蒙古赤峰·二模）化简求值：，其中【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂等，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将除法化为乘法，再进行分式的加减计算，化为最简分式，再求解，然后代入求值．【详解】解：原式把代入中得．15．（2025·陕西榆林·二模）先化简，再求值：，其中，．【答案】；【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．【详解】解：，当，时，原式．16．（2025·陕西延安·二模）先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．【答案】；当时，原式【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加法计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解．【详解】解：原式．要使分式有意义，在1，2，3中，不能取3，当时，原式；当时，原式．（选取一个数值代入求值即可）17．（2025·重庆·二模）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算、算术平方根、特殊角的三角函数、负整数指数幂和分母有理化等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先根据分式的混合运算法则化简原式，再计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂化简a，然后把a的值代入化简后的式子求解即可．【详解】解：；当时，原式．18．（2025·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值．【答案】【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键．根据分式的性质化简，代入求值即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式．19．（2025·重庆·二模）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查分式的混合运算及求值，零指数幂，乘方，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简分式，再求出的值，代入求值即可．【详解】解：，∵，将代入，得原式．题型05题型051．（2020·河北唐山·二模）下列计算错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对选项逐个进行计算即可判断．【详解】A．，此选项正确，不符合题意；B．，此选项正确，不符合题意；C．，此选项正确，不符合题意；D．，此选项错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了化简二次根式、零指数幂、负整数指数幂及实数的运算，熟练掌握它们的运算法则是解答的关键．2．（2025·云南大理·二模）要使代数式有意义，的取值应满足（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键．【详解】解：根据题意，得，且，解得，且，故，故选：D．3．（2025·山东临沂·二模）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次根式的运算，根据平方根的定义，二次根式的加法，乘法公式，二次根式的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：，故选项A错误，不符合题意；与不是同类项，不能合并，故选项B错误，不符合题意；，故选项C正确，符合题意；，故选项D错误，不符合题意．故选C．4．（2025·湖北·二模）写一个使二次根式有意义的的值．【答案】2（答案不唯一）【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，写出一个符合题意的x即可．【详解】解：由题意得，∴，∴x的值可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．5．（2025·安徽合肥·二模）若有意义，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，从而完成求解．根据平方根的意义进行分析解答即可．【详解】解：有意义的的取值范围是，解得，故答案为：．6．（2025·山东日照·二模）若点是一次函数上的两点，对于任意，都有，则的取值范围是．【答案】【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．根据一次函数的性质知，，进行解答即可．【详解】解：∵点是一次函数上的两点，对于任意，都有，该函数图象是随的增大而增大，∴，解得．故答案为：．7．（2025·山东·二模）已知，则．【答案】【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟悉掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的非负性运算求解即可．【详解】解：由题意可得：，解得：，∴，把代入可得：，∴，故答案为：．8．（2025·江苏淮安·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【答案】且【分析】根据被开方数为非负数，分母不为，进行列式计算，即可作答．本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，则，解得且，故答案为：且题型06题型061．（2025·重庆大渡口·二模）估算的结果应在（

）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间【答案】B【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的乘法法则计算，然后利用“夹逼法”求解即可．【详解】解：，∵，∴，即，∴，即，∴，故选：B．2．（2025·江苏南通·二模）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】题目主要考查二次根式的运算，根据二次根式运算法则，验证算式的正误即可，掌握二次根式运算法则是解题的关键．【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选：C．3．（2025·江苏泰州·二模）下列二次根式计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算．根据二次根式的四则运算，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意；故选：D4．（2025·重庆·二模）估计的值在（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】A【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，先化简，再对二次根式进行估算即可．【详解】解：；且，，；故选：A．5．（2025·辽宁鞍山·二模）与能合并的二次根式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的加减，涉及同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：，根据同类二次根式的定义可知能与合并，故选：D．6．（2025·上海嘉定·二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可．【详解】解：A.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；B.该选项是最简二次根式，故符合题意；C.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；D.，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；故选：B．7．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键．【详解】解：∵，，，，，故选：．8．（2025·江苏扬州·二模）若，，则．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘法，把，代入，求解即可，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．9．（2025·山东德州·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查二次根式的乘法运算，直接根据乘法公式进行计算即可．【详解】解：；故答案为：．10．（2025·天津河东·二模）计算的结果为．【答案】18【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用平方差公式进行二次根式的乘法运算即可.【详解】解：，故答案为：11．（2025·山东青岛·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查了负指数幂，二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键．根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，负指数幂的计算得到结果，再根据实数的混合运算计算即可．【详解】解：，故答案为：．12．（2025·福建·二模）如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是．【答案】/【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解，再进一步解答即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴数轴上的点P表示的数是．故答案为：．13．（2025·山西晋中·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是先将化简，再进行同类二次根式的减法运算．先把化为最简二次根式，然后再减去．【详解】．故答案为：．14．（2025·山东淄博·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查了平方差公式，根式的乘法，解题的关键是掌握平方差公式，直接利用平方差公式进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．15．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练二次根式化简是解题的关键．运用二次根式的性质化简即可．【详解】解：，故答案为：．16．（2025·湖北孝感·二模）已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解．【详解】解：∵∴，故答案为：．17．（2025·吉林长春·二模）比较大小：5（填“”“”或“”）．【答案】【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案．【详解】解：，，即，故答案为：．18．（2023·陕西西安·二模）比较大小．【答案】/大于【分析】本题考查了比较二次根式的大小，要比较这两个二次根式的大小，只需要比较被开方数的大小即可；【详解】解：∵，又，∴，∴,故答案为：．19．（2025·上海黄浦·二模）计算：．【答案】【分析】本题考查了绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂等．先化简绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：．题型07题型071．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查数字类的变化规律、多项式，找到多项式每个项的系数与指数规律是解题的关键．观察多项式每个项的系数和指数，找到变化的规律即可解答．【详解】解：第1个多项式为，第2个多项式为，第3个多项式为，第4个多项式为，……依此类推，第n个多项式为．故选：D．2．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（）A． B． C． D．【答