2026中考数学查漏补缺02 方程不等式含参与实际应用（专项训练）（学生版+教师版合并）

查漏补缺02方程不等式含参与实际应用内容导航漏洞扫描通法锤炼能力强化考点查缺漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础题型突破考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁融会贯通实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合考点01一次方程（组）含参问题1.一元一次方程标准形式：ax2.a≠0，唯一解；a=0,b≠0，无解；a=0,3.含参核心：先看系数，再分类讨论。4.二元一次方程组：同解、错解先联立无参方程，再代入求参。题型一：一元一次方程含参求解先将方程化为ax=b的标准形式，根据一次项系数a是否为0分类讨论，确定解的情况；求解后检验解是否符合题意。忽略一次项系数为0的特殊情况；解出参数后未回代检验；符号计算错误。1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a=__________．2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知x=2是方程3a−2x=2的解，则a=______．3．（2026·四川南充·一模）若m，n互为倒数，且满足m(n+1)=3，则n的值为（

）A．12 B．14 C．−4．若方程3x+1=4和方程2x+a=0的解相同，则a=（

）A．1 B．2 C．−1 D．−25．若关于x的方程3x+6=0的解是关于x的方程3x+3k=1的解的2倍，则k=（

）A．133 B．34 C．43题型二：方程组同解/错解问题同解问题：先联立不含参数的方程求出公共解，再将解代入含参方程求参数；错解问题：将错解代入未看错的方程构建等式求参。方程代入错误；解与方程对应混乱；计算粗心导致结果错误。1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（

A．0 B．1 C．2 D．32．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与y=1nx+my=−7有相同的解，则m+n的值为（A．−5 B．−1 C．3 D．−23．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组x+2y=m+12x+y=2m+5，若x+y=4，则m的值为（

A．53 B．2 C．3 D．4．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组3x+y=32x−y=2的解为x=ay=b则a+b的值为5．甲、乙两人共同解方程组ax+by=2①cx−3y=4②，甲将①中的b看成了它的相反数解得x=1y=−1，乙抄错②中的c解得x=2考点02一元二次方程含参问题1.一元二次方程定义：只含一个未知数，最高次数为2，二次项系数≠0。2.根的判别式：Δ=b3.韦达定理：x1+x4.含参热点：整数根、公共根、定根、有实根求参数范围。题型三：一元二次方程含参问题满足两个条件：①二次项系数≠0；②Δ≥0忘记二次项系数≠0；Δ计算错误；不等号方向写错。1．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程m−3x2+6x+3=0有两个实数根，则mA．m>6 B．m≤6且m≠3 C．m≥6 D．m<6且m≠32．（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．（2024·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A．k≥4 B．k>4 C．k≤4 D．k<44．（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实根，则m=5．（2025·江苏镇江·中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m=题型四：根与系数的关系（韦达定理）含参先保证方程是一元二次方程，满足二次项系数不为0、有实数根优先算Δ≥0；再直接套用韦达定理公式，表示出两根和、两根积；整体代入代数式变形求值，最后回代检验参数合规。忘记先判Δ≥0，直接乱用韦达定理；记错两根和、两根积符号；忽略二次项系数不为0；代数式不会整体变形代入。1．（2026·安徽淮南·一模）关于x的一元二次方程3x2+2x−m=0有两实数根，其中一根为x=1A．−13 B．−23 C．2．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程x2+mx+m−1=0的两根之积为2m+2，则m的值为（A．−2 B．−13 C．−3 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则A．−1 B．1 C．−2 D．24．（2026·江苏南京·模拟预测）设x1，x2是方程x2−4x+m=0的两个根，且x5．（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；(2)已知实数m，n满足m2−mb=1，4n2−2nb=1考点03分式方程含参问题1.分式方程含参核心：先正常去分母化成整式方程，再讨论参数。2.3.常见考法：分式方程有解、无解、解为正数/负数、整数解含参求值。4.隐形陷阱：参数算完，一定要回头检验会不会产生增根。题型五：分式方程含参：有解、无解、正负解第一步：去分母，把分式方程化成整式方程；第二步：分类讨论参数取值；第三步：强制排除增根，保证分母不为0；第四步：结合题目要求（有解/无解/正数解）锁定参数范围，规范写答案。只看整式方程，忘记排除增根；正负解题目漏掉不等号限制；参数算出来不回代检验；分母为0的情况直接忽略，中考直接扣分。1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2A．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 D．m≠1且m≠−12．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−43 D．k>−43．（2026·四川达州·一模）关于x的方程x+kx−2+4k2−x=3A．k≤2 B．k≥2C．k≤2且k≠23 D．k≥24．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程5+xx−2=m2−xA．0 B．−2 C．2 D．2或−25．（2025·江苏南京·中考真题）已知x=2是方程1x−a+2aa−x=1考点04不等式（组）含参问题1.不等式性质：两边乘除负数，不等号方向必须改变。2.不等式组解集：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。3.热点考法：有解、无解、整数解求参数范围。题型六：不等式含参问题先化简不等式，未知数系数含参时，按正、负、0三类讨论；注意乘除负数时不等号变向。系数为负时未变号；分类讨论不全面；解集书写不规范。1．（2025·广东广州·一模）关于x的不等式解集在数轴上表示如图，设m=3x+1，则mA．0<m≤4 B．0≤m≤4 C．m<0或m≥4 D．m≤0或m≥42．（2024•河北二模）m的3倍与−12m+1的差不大于13，则A．9 B．6 C．5 D．33．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜15，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣A．x＞−23 B．x＜−23 C．4．若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2＜m≤﹣15．（2024·江苏无锡·三模）已知关于x的不等式a+2x<1的解集为x>1a+2，则a题型七：不等式组含参问题先解出已知不等式，再借助数轴判断参数范围，重点确定端点是否取等号，最后写出整数解。端点等号判断错误；整数解漏找；数轴方向画反。1．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组2x−1<5x<m+1的解集为x<3，则m的取值范围是（

A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤22．若关于x的不等式组−12(x−a)>0x−1≥2x+1A．a≥4 B．a≤4 C．a>4 D．a<43．若关于x的不等式组x≥mx<−3有解，则（

A．m≥−3 B．m>−3 C．m≤−3 D．m<−34．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组2x−1>5x<m+1的整数解是4和5，则mA．5<m≤6 B．3<m<6 C．4≤m<5 D．4<m≤55．若关于x的不等式组x−a>3b−3x>0的解集为−1<x<1，则(a+b)2025考点04方程不等式实际应用问题1.方程应用：找等量关系列式，注意检验合理性。2.不等式应用：找至少、至多、不超过、不少于等不等关系。3.分式方程必须双重检验（增根+实际意义）。4.方案问题：先求范围，再取整数方案，确定最优。题型八：方程（组）实际应用问题认真审题圈画关键词，根据和、差、倍、分、配套、总和相等等等量关系设未知数，列二元一次方程组；求解后验证是否符合实际，规范作答。单位不统一；设未知数不写文字；结果为负、小数等不合实际；作答不完整。1．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．2．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长:榫头长=7:3，榫头长:榫头宽=3:1，榫身宽:榫头宽=3:1，榫身长与榫头长之和为20cm3．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？4．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为2x+y=113x+2y=7，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y5．（2026·吉林白山·模拟预测）列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？题型九：分式方程实际应用问题精准梳理工程效率、行程速度、商品单价数量三类核心等量关系，规范列出分式方程；严格按照解题步骤求解，做完必须执行双重检验，先检验是不是增根，再检验数值是否贴合生活实际场景，确认无误后规范写全答句。中考头号扣分点：解题结束**直接忘检验增根**；忽略分式天然限制条件分母不能为0；算出负数、小数等不符合实际场景的结果不舍去；题目前后单位不统一直接列式计算。1．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已克．2．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．3．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km(1)一部分师生乘大巴车先行，出发36min(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？4．（2026·重庆·模拟预测）列方程解下列问题：重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项．(1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？(2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了10%，求第十五届有多少支参赛队伍？5．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？题型十：一元二次方程实际应用问题识别增长率、面积、利润、传染等模型，套用公式列方程；解方程后对根合理取舍，舍去负数、超范围等不符合题意的根，按要求作答。增长率公式用反；根的取舍错误；面积问题边长为负不舍去；计算错误。1．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率．2．（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25(1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？4．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．题型十一：不等式（组）实际应用与方案选择找准“至少、至多、不超过、不少于”等不等关系列不等式（组）；解出解集后取整数解确定方案，逐一列举并比较最优方案。不等号方向错误；端点值是否取等判断失误；整数解漏找；方案列举不全。1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？2．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？3．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A、B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．(1)求A、B两款机器人的单价分别是多少万元？(2)如果购买A、B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．4．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．(1)求A型、B型两种机器人的单价；(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．5．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方案？1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（

）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天2．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（

）A．101+2x=16.9 C．101+x23．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（

A．－1 B．7 C．1 D．24．（2025·四川宜宾·模拟预测）若方程组2x+y=k+1x+2y=3的解x，y满足0<x+y<1，则k的取值范围是（

A．−1<k<0 B．−4<k<−1 C．0<k<1 D．k>−45．（2025·山东东营·中考真题）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2−25x−1=0的两个实数根，则代数式A．0 B．25 C．26 D．−16．（2026·安徽合肥·一模）已知关于x的分式方程x+kx+1−11+x=2A．k<3 B．k>3 C．k<3且k≠2 D．k>3且k≠47．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组3x−12≤x+2x+1≥−x+a至少有两个正整数解，且关于x的分式方程a−1x−1=2−A．8 B．14 C．18 D．387．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为_____．8．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程x2+2x−3=0的两根，则1a9．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程x2−2024x−2025=0的两个根分别是m、n，则10．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个．(1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？(2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率；(3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单．11．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？(2)若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．12．（2026·河南周口·模拟预测）背景校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品．素材1某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元．素材2该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮．问题解决：(1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？(2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（0<t<40），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示）(3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？13．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人．材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆．材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少100m元；租用B型客车，租车费用打七折．材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆．任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?任务二：求m的取值范围；任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少?

查漏补缺02方程不等式含参与实际应用内容导航漏洞扫描通法锤炼能力强化考点查缺漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础题型突破考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁融会贯通实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合考点01一次方程（组）含参问题1.一元一次方程标准形式：ax2.a≠0，唯一解；a=0,b≠0，无解；a=0,3.含参核心：先看系数，再分类讨论。4.二元一次方程组：同解、错解先联立无参方程，再代入求参。题型一：一元一次方程含参求解先将方程化为ax=b的标准形式，根据一次项系数a是否为0分类讨论，确定解的情况；求解后检验解是否符合题意。忽略一次项系数为0的特殊情况；解出参数后未回代检验；符号计算错误。1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a=__________．【答案】4【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把x=1代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解．【详解】解：∵关于x的方程x+a=5的解为x=1，∴1+a=5，解得：a=4，故答案为：4．2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知x=2是方程3a−2x=2的解，则a=______．【答案】2【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把x=2代入3a−2x=2，解得a=2，即可作答．【详解】解：∵x=2是方程3a−2x=2的解，∴把x=2代入3a−2x=2，得3a−2×2=2，∴3a=6，∴a=2，故答案为：23．（2026·四川南充·一模）若m，n互为倒数，且满足m(n+1)=3，则n的值为（

）A．12 B．14 C．−【答案】A【分析】根据倒数的性质得到mn=1，展开已知等式后代入1求出m的值，再根据倒数定义即可得到n的值．【详解】解：∵m,n互为倒数，∴mn=1，∵m(n+1)=3，展开等式得mn+m=3，把mn=1代入得1+m=3，∴m=2，又∵m,n互为倒数，∴n=14．若方程3x+1=4和方程2x+a=0的解相同，则a=（

）A．1 B．2 C．−1 D．−2【答案】D【分析】先求出3x+1=4的解，再代入到2x+a=0得到关于a的一元一次方程，即可求解．【详解】解：解3x+1=4得x=1，将x=1代入2x+a=0，得2+a=0，解得a=−2．故选D．【点睛】本题考查解一元一次方程与一元一次方程的解，正确理解一元一次方程的解是解题的关键．5．若关于x的方程3x+6=0的解是关于x的方程3x+3k=1的解的2倍，则k=（

）A．133 B．34 C．43【答案】C【分析】求出3x+6=0的解为x=−2，即可得到方程3x+3k=1的解为x=−1，把x=−1代入方程3x+3k=1中求出k的值即可．【详解】解：3x+6=0，移项得：3x=−6，系数化为1得：x=−2，∵关于x的方程3x+6=0的解是关于x的方程3x+3k=1的解的2倍，∴方程3x+3k=1的解为x=−1，∴−3+3k=1，解得k=4故选C．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，正确求出方程3x+3k=1的解为x=−1是解题的关键．题型二：方程组同解/错解问题同解问题：先联立不含参数的方程求出公共解，再将解代入含参方程求参数；错解问题：将错解代入未看错的方程构建等式求参。方程代入错误；解与方程对应混乱；计算粗心导致结果错误。1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．【详解】解：3x−y=4m+1①①−②得∴x−y=m+3，代入x−y=4，可得m+3=4，解得m=1，故选：B．【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．2．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与y=1nx+my=−7有相同的解，则m+n的值为（A．−5 B．−1 C．3 D．−2【答案】D【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为x=2和y=1，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于m和n的方程组，通过加减消元法直接求解m+n的值．【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为x=2y=1将x=2,y=1代入第一个方程组的mx+ny=1，得：2m+n=1①，代入第二个方程组的nx+my=−7，得：2n+m=−7②，将①和②相加：(2m+n)+(2n+m)=1+(−7)，整理得：3m+3n=−6，则m+n=−2．故选：D．3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组x+2y=m+12x+y=2m+5，若x+y=4，则m的值为（

A．53 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得x+y=m+2，结合x+y=4，即可求解．【详解】解：方程组的两个方程相加，得3x+3y=3m+6，∴x+y=m+2，∵x+y=4，∴m+2=4，∴m=2．故选：B．4．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组3x+y=32x−y=2的解为x=ay=b则a+b的值为【答案】1【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．【详解】解：3x+y=3①+②得，解得x=1，将x=1代入①得，3+y=3，解得y=0，∴该方程组的解为x=1y=0∴a=1，b=0，∴a+b=1+0=1，故答案为：1．5．甲、乙两人共同解方程组ax+by=2①cx−3y=4②，甲将①中的b看成了它的相反数解得x=1y=−1，乙抄错②中的c解得x=2【答案】5【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键．【详解】解：甲将①中的b看成了它的相反数解得x=1y=−1∴a+b=2，且c+3=4，解得c=1；乙抄错②中的c解得x=2y=4即2a+4b=2，∴a+2b=1；联立a+b=2a+2b=1，解得a=3∴a−b+c=3−−1故答案为：5．考点02一元二次方程含参问题1.一元二次方程定义：只含一个未知数，最高次数为2，二次项系数≠0。2.根的判别式：Δ=b3.韦达定理：x1+x4.含参热点：整数根、公共根、定根、有实根求参数范围。题型三：一元二次方程含参问题满足两个条件：①二次项系数≠0；②Δ≥0忘记二次项系数≠0；Δ计算错误；不等号方向写错。1．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程m−3x2+6x+3=0有两个实数根，则mA．m>6 B．m≤6且m≠3 C．m≥6 D．m<6且m≠3【答案】B【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式Δ≥0【详解】解：∵关于x的一元二次方程m−3x∴Δ=∴m≤6且m≠3．2．（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【答案】C【分析】根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果．【详解】解：由条件可知m≠0且Δ＞0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4•m•1＝4﹣4m，∴4﹣4m＞0，解得：m＜1，综上，m＜1且m≠0，只有C选项符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．3．（2024·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A．k≥4 B．k>4 C．k≤4 D．k<4【答案】D【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到Δ>0【详解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=−42故选D．4．（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实根，则m=【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实根，可得【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ解得m=4，故答案为：4．5．（2025·江苏镇江·中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m=【答案】±2【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的Δ=0【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=0即m2解得：m=±2．故答案为：±2．题型四：根与系数的关系（韦达定理）含参先保证方程是一元二次方程，满足二次项系数不为0、有实数根优先算Δ≥0；再直接套用韦达定理公式，表示出两根和、两根积；整体代入代数式变形求值，最后回代检验参数合规。忘记先判Δ≥0，直接乱用韦达定理；记错两根和、两根积符号；忽略二次项系数不为0；代数式不会整体变形代入。1．（2026·安徽淮南·一模）关于x的一元二次方程3x2+2x−m=0有两实数根，其中一根为x=1A．−13 B．−23 C．【答案】C【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数m的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案．【详解】解：∵x=1是一元二次方程3x∴将x=1代入方程得3×1解得m=5，∴关于x的一元二次方程为3x∴两根之积为ca2．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程x2+mx+m−1=0的两根之积为2m+2，则m的值为（A．−2 B．−13 C．−3 【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的表达式，结合题干给出的条件列方程求解m，再验证方程有实根即可得到结果．【详解】解：x2由一元二次方程根与系数的关系可得，x1∵两根之积为2m+2，∴m−1=2m+2，解得m=−3，∴原方程为x2解得x1=−1，∴m=−3．3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则A．−1 B．1 C．−2 D．2【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为x1和x2，则x1【详解】解：∵x1和x2是方程∴x1+x∴x1故选：C4．（2026·江苏南京·模拟预测）设x1，x2是方程x2−4x+m=0的两个根，且x【答案】2【分析】根据根与系数的关系得出关于m的一元一次方程，即可求解．【详解】解：∵x1，x2是方程则x1+x∴x1解得：m=2．5．（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；(2)已知实数m，n满足m2−mb=1，4n2−2nb=1【答案】(1)证明见解析(2)mn=−【分析】（1）求出Δ=（2）得出m和2n是方程x2−bx−1=0的两个根，且【详解】（1）证明：由题意可得：Δ=∵b∴b2+4>0∴方程必有两个不相等的实数根．（2）解：由m2−mb=1得由4n2−2nb=1∴m和2n是方程x2−bx−1=0的两个根，且由根与系数的关系得m⋅2n∴mn=−1考点03分式方程含参问题1.分式方程含参核心：先正常去分母化成整式方程，再讨论参数。2.3.常见考法：分式方程有解、无解、解为正数/负数、整数解含参求值。4.隐形陷阱：参数算完，一定要回头检验会不会产生增根。题型五：分式方程含参：有解、无解、正负解第一步：去分母，把分式方程化成整式方程；第二步：分类讨论参数取值；第三步：强制排除增根，保证分母不为0；第四步：结合题目要求（有解/无解/正数解）锁定参数范围，规范写答案。只看整式方程，忘记排除增根；正负解题目漏掉不等号限制；参数算出来不回代检验；分母为0的情况直接忽略，中考直接扣分。1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程mx1−x+xx−1=2A．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 D．m≠1且m≠−1【答案】C【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．【详解】解：方程去分母，得：mx−x=21−x整理，得：m+1x=2∵原方程无解，∴①整式方程无解，则：m+1=0，解得：m=−1；②分式方程有增根，则：x−1=0，解得：x=1；把x=1代入m+1x=2，得：m+1=2，解得：m=1综上：m=1或m=−1故选C．2．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−43 D．k>−4【答案】A【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围．【详解】解：x+kx−4得x+3kx−4得x+3k=3x−12，解得：x=3k+12根据题意，解x=3k+12即3k+12<0，解得：k<−4，∵分母x−4≠0，即x≠4，即3k+122解得：k≠−4∴k<−4，故选：A．3．（2026·四川达州·一模）关于x的方程x+kx−2+4k2−x=3A．k≤2 B．k≥2C．k≤2且k≠23 D．k≥2【答案】C【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为0，列不等式求解得到k的取值范围．【详解】解：原方程可变形为x+kx−2方程两边同乘x−2去分母得：x+k−4k=3(x−2)，整理得，x−3k=3x−6，移项合并得，2x=6−3k，解得：x=6−3k∵方程的解为非负数，且分式分母不为0，∴6−3k2解不等式6−3k2≥0得，解不等式6−3k2≠2得，∴k的取值范围是k≤2且k≠24．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程5+xx−2=m2−xA．0 B．−2 C．2 D．2或−2【答案】B【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解m的值．先确定分式方程的分母为x−2和2−x，令分母为零得增根x=2；再将分式方程两边同乘最简公分母x−2化为整式方程；最后把增根x=2代入整式方程，计算得出m的值，进而判断选项．【详解】解：分式方程5+xx−2=m2−x令分母为零，得增根x=2．方程两边同乘x−2去分母，得：5(x−2)+x=−m．将增根x=2代入整式方程：5×(2−2)+2=−m，即0+2=−m，解得m=−2．故选：B．5．（2025·江苏南京·中考真题）已知x=2是方程1x−a+2aa−x=1【答案】−1【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把x=2代入解得a的值即可．【详解】解：原方程去分母得：1−2a=x−a，∵x=2是该方程的解，∴1−2a=2−a，解得：a=−1，当x=2,a=−1时，原分式方程有意义，故答案为：−1．考点04不等式（组）含参问题1.不等式性质：两边乘除负数，不等号方向必须改变。2.不等式组解集：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。3.热点考法：有解、无解、整数解求参数范围。题型六：不等式含参问题先化简不等式，未知数系数含参时，按正、负、0三类讨论；注意乘除负数时不等号变向。系数为负时未变号；分类讨论不全面；解集书写不规范。1．（2025·广东广州·一模）关于x的不等式解集在数轴上表示如图，设m=3x+1，则mA．0<m≤4 B．0≤m≤4 C．m<0或m≥4 D．m≤0或m≥4【答案】C【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出3x【详解】解：由数轴可知关于x的不等式解集为−3<x≤1，∵3x中x≠0∴分段讨论：①当−3<x<0时，1x∴3x∴3x+1<0，即②当0<x≤1时，1x∴3x∴3x+1≥4，即综上，m的取值范围是m<0或m≥4．2．（2024•河北二模）m的3倍与−12m+1的差不大于13，则A．9 B．6 C．5 D．3【答案】D【分析】根据文字表述得到题中存在的关系为：3m﹣（−1【详解】解：根据题意，得3m﹣（−1解得m≤4，故选：D．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．3．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜15，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣A．x＞−23 B．x＜−23 C．【答案】B【分析】根据已知不等式的解集确定出m与n的关系式，代入所求不等式计算即可求出解集．【详解】解：关于x的不等式mx﹣n＞0，移项得：mx＞n，由已知解集为x＜15，得到即x＜n∴nm=15，即m＝5n（代入不等式（m+n）x＞n﹣m得：6nx＞﹣4n（n＜0），整理得：6x＜﹣4，解得：x＜−2故选：B．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．4．若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2＜m≤﹣1【答案】C【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围．【详解】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，根据题意得：3＜2﹣m≤4，解得：﹣2≤m＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．5．（2024·江苏无锡·三模）已知关于x的不等式a+2x<1的解集为x>1a+2，则a【答案】a<−2【分析】根据不等式的基本性质，由不等式a+2x<1的解集为x>1a+2，可得：a+2<0【详解】解：∵不等式a+2x<1的解集为∴a+2<0∴a的取值范围为：a<−2故答案为：a<−2．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．题型七：不等式组含参问题先解出已知不等式，再借助数轴判断参数范围，重点确定端点是否取等号，最后写出整数解。端点等号判断错误；整数解漏找；数轴方向画反。1．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组2x−1<5x<m+1的解集为x<3，则m的取值范围是（

A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2【答案】B【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．【详解】解：解2x−1<5x<m+1，得：x<3∵不等式组的解集为：x<3，∴m+1≥3，∴m≥2；故选B．2．若关于x的不等式组−12(x−a)>0x−1≥2x+1A．a≥4 B．a≤4 C．a>4 D．a<4【答案】B【分析】此题主要考查不等式组无解的情况，解题的关键是熟知不等式组的解集．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解．【详解】解：−解不等式①得：x<a解不等式②得：x≥4∵该不等式组无解，∴a≤4，故选：B．3．若关于x的不等式组x≥mx<−3有解，则（

A．m≥−3 B．m>−3 C．m≤−3 D．m<−3【答案】D【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解．【详解】解：关于x的不等式组x≥mx<−3∴m<−3，故选：D．4．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组2x−1>5x<m+1的整数解是4和5，则mA．5<m≤6 B．3<m<6 C．4≤m<5 D．4<m≤5【答案】D【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组2x−1>5x<m+1的整数解是4和5，即可得到m【详解】解：2x−1>5①解不等式①，得：x>3，∵不等式组2x−1>5x<m+1∴5<m+1≤6，解得4<m≤5，故选：D．5．若关于x的不等式组x−a>3b−3x>0的解集为−1<x<1，则(a+b)2025【答案】−1【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，根据不等式组的解集求出a,b的值是解题的关键．首先求出含有a和b的不等式组解集，再根据不等式组的解集为−1<x<1，求出a和b的值，即可得解．【详解】解：解关于x的不等式组x−a>3b−3x>0得3+a<x<∵关于x的不等式组x−a>3b−3x>0的解集为−1<x<1∴3+a=−1,b∴a=−4,b=3，∴a+b故答案为：−1．考点04方程不等式实际应用问题1.方程应用：找等量关系列式，注意检验合理性。2.不等式应用：找至少、至多、不超过、不少于等不等关系。3.分式方程必须双重检验（增根+实际意义）。4.方案问题：先求范围，再取整数方案，确定最优。题型八：方程（组）实际应用问题认真审题圈画关键词，根据和、差、倍、分、配套、总和相等等等量关系设未知数，列二元一次方程组；求解后验证是否符合实际，规范作答。单位不统一；设未知数不写文字；结果为负、小数等不合实际；作答不完整。1．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．【答案】客人共有30位，盘子共有13个．【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可．【详解】解：设共有x位客人．依题意，得12x−2=1所以12答：客人共有30位，盘子共有13个．2．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长:榫头长=7:3，榫头长:榫头宽=3:1，榫身宽:榫头宽=3:1，榫身长与榫头长之和为20cm【答案】96cm【分析】设榫头长为xcm，则榫身长为73xcm，根据榫身长与榫头长之和为【详解】解：设榫头长为xcm∵榫身长:榫头长=7:3，∴榫身长为73∵榫身长与榫头长之和为20cm∴7解得x=6，∴榫头长为6cm，则榫身长为14cm，∵榫头长:榫头宽=3:1，∴榫头宽为63∵榫身宽:榫头宽=3:1，∴榫身宽为2×3=6cm∴此面的表面积为：14×6+6×2=96cm3．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？【答案】A饮料每杯12元，B饮料每杯8元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元，根据“小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设每杯A饮料x元，每杯B饮料y元，根据题意得：x+y=202x+5×0.8y=56解得：x=12y=8答：每杯A饮料12元，每杯B饮料8元．4．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为2x+y=113x+2y=7，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y【答案】2x+3y=13x+2y=8，【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可．【详解】解：由题意，得方程组2x+3y=13,②×2，得2x+4y=16③−①，得把y=3代入②，得x+6=8，x=2．∴这个方程组的解是x=2,5．（2026·吉林白山·模拟预测）列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？【答案】上等禾谷每捆重3526斗，下等禾谷每捆重41【详解】解：设：上等禾谷每捆重x斗，下等禾谷每捆重y斗．根据题意得：7x−1+2y=10解得：x=答：上等禾谷每捆重3526斗，下等禾谷每捆重41题型九：分式方程实际应用问题精准梳理工程效率、行程速度、商品单价数量三类核心等量关系，规范列出分式方程；严格按照解题步骤求解，做完必须执行双重检验，先检验是不是增根，再检验数值是否贴合生活实际场景，确认无误后规范写全答句。中考头号扣分点：解题结束**直接忘检验增根**；忽略分式天然限制条件分母不能为0；算出负数、小数等不符合实际场景的结果不舍去；题目前后单位不统一直接列式计算。1．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已克．【答案】(1)0.7a元(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%（2）设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可．【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%∴用智能机器人采摘的成本是1−30%（2）解：设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；∴40005x解得：x=200，经检验x=200是原方程的解且符合题意；∴5x=1000（千克），答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．2．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运x+20千克化工原料，根据机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运x+20千克化工原料，由题意得，800x解得x=80，经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，∴x+20=100，答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．3．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km(1)一部分师生乘大巴车先行，出发36min(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？【答案】(1)80(2)190【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程．（1）设大巴车的速度为x千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解；（2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解．【详解】（1）设大巴车的速度为x千米/小时，则中巴车速度为1.25x千米/小时．根据题意，可列方程：240x解得x=80．经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．答：大巴车的速度是80千米/小时．（2）设参加本次活动的学生人数是y人，则成人人数为200−y人，根据题意，可列方程：10y+30200−y解得y=190．答：参加本次活动的学生人数是190人．4．（2026·重庆·模拟预测）列方程解下列问题：重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项．(1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？(2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了10%，求第十五届有多少支参赛队伍？【答案】(1)大项目有24个，小项目有182个．(2)第十五届有16支参赛队伍．【分析】（1）设大项目的数量为x个根据题意列方程求解即可；（2）设第十四届有y支参赛队伍，根据题意列分式方程求解即可，注意要验根．【详解】（1）解：设大项目的数量为x个，根据题意得7x+14=8x−10，解得x=24，则7x+14=7×24+14=182，答：大项目有24个，小项目有182个．（2）解：设第十四届有y支参赛队伍．根据题意得176y+4化简得176y+4176y=132y+528，移项并求解y：176y−132y=528，44y=528，y=528y=12，经检验，y=12是分式方程的根，y+4=12+4=16，答：第十五届有16支参赛队伍．5．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？【答案】(1)甲车间每天能生产180件产品乙车；间每天能生产120件产品(2)安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解；（2）设安排甲车间生产m天，则乙车间生产30−m天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于m的一元一次不等式，再设生产总量为w，建立w关于m的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．【详解】（1）解：设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品，由题意得：1500x+1.5x解得：x=120，经检验：x=120是原方程的解，且符合题意，则1.5×120=180（件），答：甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产120件产品（2）解：设安排甲车间生产m天，则乙车间生产30−m天，由题意得：m≤230−m解得：m≤20，设生产总量为w，由题意得：w=180m+12030−m∵m>0，∴w随着m的增大而增大，∴当m=20时，w最大，即这30天的生产总量最大，∴30−m=30−20=10，∴安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天．题型十：一元二次方程实际应用问题识别增长率、面积、利润、传染等模型，套用公式列方程；解方程后对根合理取舍，舍去负数、超范围等不符合题意的根，按要求作答。增长率公式用反；根的取舍错误；面积问题边长为负不舍去；计算错误。1．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率．【答案】30【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可．【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为x，根据题意得48001+x解得x1=0.3，∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为0.3=30%答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为30%2．（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？【答案】这种钥匙扣的售价应定为30元/个或25元/个【分析】通过设钥匙扣的售价应定为x元/个，建立利润与销售量的一元二次方程，求解符合条件的售价．【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，根据题意，得：x−1050−4×解得：x1=30，∴这种钥匙扣的售价应定为30元/个或25元/个．3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25(1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？【答案】(1)三边长分别为10(2)三边长分别为20【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键．（1）设垂直于墙的一边长xm，根据矩形围栏的面积为150（2）设矩形围栏的面积为S．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长xm则x解得：x1当x=5时，40−2x=30>25（不符合题意，舍去）当x=15时，40−2x=10<25（符合题意）∴三边长分别为：10m（2）解：设矩形围栏的面积为S．则有S=x当x=10时．S有最大值S=200当x=10时，40−2x=20<25（符合题意）∴三边长分别为：20m4．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为25%(2)不能实现目标．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可；（2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答．【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，256(1+x)解得x=14=25答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为25%（2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为400×1+25%=500答：不能实现目标．5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为20(2)最少购进甲种商品40件【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品100−m件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，由题意得，1251−x解得x=0.2=20%或x=1.8答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品100−m件，由题意得，125−25×2m+80∴75m+8000−80m≤7800，解得m≥40，∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，答：最少购进甲种商品40件．题型十一：不等式（组）实际应用与方案选择找准“至少、至多、不超过、不少于”等不等关系列不等式（组）；解出解集后取整数解确定方案，逐一列举并比较最优方案。不等号方向错误；端点值是否取等判断失误；整数解漏找；方案列举不全。1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？【答案】(1)甲型6元，乙型8元(2)20盏【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯50−m盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为x元、y元，由题意，得4x+5y=646x+2y=52解得x=6y=8答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．（2）解：设购买m盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯50−m盏，由题意，得6m+8解得，m≥20，答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．2．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需16元和18元(2)至少购买A款材料包35份【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是x元和y元，根据题意列方程组求解即可；（2）设购买A款材料包a份，根据题意列出不等式求解即可．本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需x元和y元，则3x+2y=842x+3y=86，解得x=16答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需16元