2026中考数学题型专练02 方程与不等式分类解法（原卷版+教师版合并）

专题02方程与不等式分类解法内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01二元一次方程组的解法题型02二元一次方程组中含参数问题题型03一元二次方程的解法题型04一元二次方程中含参数问题题型05分式方程的解法题型06分式方程中含参数问题题型07不等式（组）的解法题型08实数与数轴的综合应用第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01二元一次方程组的解法典例引领【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：【典例02】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：．方法透视考向解读1.基本解法：主要考查代入消元法和加减消元法，要求学生能够根据方程组特点灵活选择方法求解。2.含参方程组：常考已知方程组的解满足某种关系（如互为相反数、和为定值），求参数的值，考查方程思想。3.同解问题：两个方程组有相同的解，或解满足另一个方程，通过建立联系求解未知系数。4.实际应用：常结合实际问题（如行程、分配问题）列方程组，考查建模能力和运算准确性。方法技能1.观察定法：若某个未知数系数简单或为1，优先用代入法；若同一未知数系数绝对值相等或成倍数，优先用加减法。2.化简先行：解方程组前先将方程去分母、去括号、移项合并，化为标准形式\(ax+by=c\)，避免后续运算出错。3.整体代入：当方程组中出现相同代数式时，可将其视为整体代入，简化计算过程。4.验算保分：解完后将结果代入原方程组检验，确保满足所有方程，避免计算失误丢分。变式演练【变式01】（2024·浙江·中考真题）解方程组：【变式02】（2024·广西·中考真题）解方程组：【变式03】（2025·山西·中考真题）（1）计算：

（2）解方程组：题型02二元一次方程组中含参数问题典例引领【典例01】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（

）A． B．2 C．3 D．【典例02】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（

）A． B． C．3 D．方法透视考向解读1.解的关系定参：已知方程组的解满足某种条件（如互为相反数、满足某个二元一次方程），通过代入或构造方程求参数值。2.同解方程问题：两个方程组有相同的解，或方程组解与另一个方程同解，建立联系求解参数。3.解的符号讨论：结合字母系数讨论解的正负性、整数解问题，考查分类讨论思想。4.错解复原类：给出看错系数得到的错误解，利用解的定义反推原方程组或参数值。方法技能1.解代入法：若知道解的关系，先解方程组（用参数表示解），再代入条件列方程求解参数。2.整体构造法：对于同解问题，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参方程求参数。3.解的定义应用：对于错解问题，将错误解代入看错的方程，正确解代入原方程，列方程组求参数。4.消参简化：遇到多个参数时，先消去未知数得到参数关系式，再结合条件逐个求解。变式演练【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式02】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．题型03一元二次方程的解法典例引领【典例01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：【典例02】（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：．方法透视考向解读1.基本解法：主要考查直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，要求学生根据方程特征灵活选择最优解法。2.判别式应用：常考利用根的判别式△=b2-4ac判断根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）。3.根与系数关系：结合韦达定理（x1+x2=−ba，x1x2=4.实际应用：常与增长率问题、面积问题、动态几何结合，考查建模能力和解的合理性检验。方法技能1.观察选法：缺常数项或可因式分解的优先用因式分解法；缺一次项用直接开平方法；一般形式且系数简单用公式法。2.公式法规范：用公式法时先将方程化为一般式，准确找出a,b,c的值，计算△后再代入求根公式。3.配方熟练：配方法关键是二次项系数化为1，加上一次项系数一半的平方，注意等式两边同时加。4.验根不可少：求出解后代入原方程检验，特别在实际问题中要舍去不符合实际意义的根。变式演练【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；

（2）解不等式组【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【变式03】（2026·江苏南京·一模）解方程：(1)(2)(3)题型04一元二次方程中含参数问题典例引领【典例01】（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．【典例02】（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．方法透视考向解读1.判别式定参：已知方程根的情况（有两个实根、无实根、有实数根），利用△≥0或△<0求参数取值范围。2.根与系数关系：已知两根满足某种关系（如互为相反数、倒数、平方和等），结合韦达定理构造方程求参数值。3.解的定义应用：已知方程的一个根或方程的解满足某个条件，直接代入原方程求参数。4.几何背景结合：常与三角形边长、面积等问题结合，需考虑根的合理性及隐含条件（如边长正数）。方法技能1.判别式先行：凡是涉及实数根的问题，首先考虑△≥0这一前提条件，再结合其他要求求解参数。2.韦达定理整体代入：遇到两根对称式（如x12+x22、1x1+3.分类讨论全面：当二次项系数含参时，需分情况讨论（系数为零时是否为一元一次方程，系数不为零时为一元二次方程）。4.检验不可遗漏：求出参数后，务必验证是否满足原方程成立条件及实际问题中的隐含限制。变式演练【变式01】（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________．【变式02】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________．【变式03】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________题型05分式方程的解法典例引领【典例01】（2025·陕西·中考真题）解方程：．【典例02】（2025·西藏·中考真题）解分式方程：．方法透视考向解读1.基本解法：主要考查去分母法将分式方程转化为整式方程求解，要求学生准确找到最简公分母。2.增根问题：常考增根产生的原因（使最简公分母为零），以及已知方程有增根或无解时求参数的值。3.验根必要性：强调解分式方程必须验根，将整式方程的解代入最简公分母检验是否为增根。4.实际应用：常与工程问题、行程问题结合，列分式方程解决实际问题，检验解的合理性。方法技能1.找准最简公分母：先将各分母因式分解，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。2.去分母要全面：方程两边同时乘以最简公分母，注意常数项也要乘，避免漏乘出错。3.验根步骤规范：解出整式方程后，务必代入最简公分母检验，若分母为零则为增根需舍去。4.无解问题分类：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解或整式方程的解均为增根，需分类讨论。变式演练【变式01】（2025·浙江·中考真题）解分式方程：．【变式02】（2025·上海·中考真题）解方程：．【变式03】（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：检验：当时，．第六步：原分式方程的解为．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．题型06分式方程中含参数问题典例引领【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则______．【典例02】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．方法透视考向解读1.增根定参：已知分式方程有增根，令最简公分母为零求出增根，代入去分母后的整式方程求参数值。2.无解问题：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解，或整式方程的解均是增根，需分类讨论求参数范围。3.解的范围定参：已知分式方程的解为正数、负数或非负数，先解方程用参数表示解，再结合解的范围及增根条件列不等式组求解。4.解的符号讨论：常结合参数讨论解的符号，考查学生综合考虑方程有解、解非增根、解满足符号要求的能力。方法技能1.增根必代回：遇到增根问题，先由最简公分母为零确定增根可能值，再代入去分母后的整式方程求参数。2.无解双情况：分析无解问题时，既要考虑整式方程无解（如0x=k且k≠0），也要考虑整式方程的解使公分母为零。3.解的范围需双检：当解满足某范围（如为正数）时，求出参数范围后，必须剔除使解为增根的参数值。4.最简公分母先分解：无论何种题型，先将分母因式分解，准确找出最简公分母是正确解题的前提。变式演练【变式01】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．【变式02】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．题型07不等式（组）的解法典例引领【典例01】（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上．【典例02】（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．方法透视考向解读1.基本解法：主要考查一元一次不等式（组）的求解，要求学生熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。2.数轴表示：常考在数轴上表示不等式的解集，要求能够准确判断空心点与实心点的使用，以及不等式组解集的公共部分。3.整数解问题：已知不等式（组）的解集，求满足条件的整数解，或根据整数解的个数确定参数的取值范围。4.实际应用：常与方案设计、最值问题结合，列不等式解决实际问题，考查建模能力。方法技能1.系数化1要变号：解不等式时，当两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向必须改变，这是易错点。2.数轴辅助定解集：解不等式组时，借助数轴画出各不等式的解集，直观找出公共部分，避免出错。3.整数解边界检验：求整数解个数确定参数范围时，需验证边界值是否满足条件，常采用“取整代入法”检验。4.实际问题取整：解决实际问题时，若结果为不等式，需结合实际情况取符合题意的整数解（如人数、车辆数）。变式演练【变式01】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．【变式02】（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．解：由不等式①得：__________，由不等式②得：__________，在数轴上表示为：所以，原不等式组的解集为__________．【变式03】（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；（2）解分式方程．题型08不等式（组）中含参数问题典例引领【典例01】（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________．【典例02】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．方法透视考向解读1.解集定参：已知不等式（组）的解集，利用数轴表示解集，根据解集的端点关系确定参数的取值或范围。2.整数解个数定参：已知不等式组有有限个整数解，根据整数解的个数反推参数的取值范围，常需结合数轴分析端点取舍。3.有解无解问题：判断含参不等式组是否有解，或已知有解、无解求参数范围，考查数形结合思想。4.解与方程结合：常与方程的解结合，如方程的解满足某不等式，或不等式解集与方程解的关系，综合考查。方法技能1.数轴分析端点：遇到含参不等式组，先在数轴上表示已知不等式的解集，移动参数界点分析公共部分变化。2.边界值要检验：确定参数范围时，对临界值需单独检验是否满足题意，常采用“等号代入验证法”。3.整数解画图法：求整数解个数时，在数轴上标出整数点，根据解集包含哪些整数点反推参数范围。4.分类讨论思想：当参数系数含未知数时，需分正负讨论不等号方向，避免漏解或错解。变式演练【变式01】（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________．【变式02】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______．【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．题●型●训●练一、单选题1．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（

）A． B．且 C． D．且2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（）A．且 B．且 C．且 D．且3．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（

）A．8 B．14 C．18 D．38二、填空题4．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______．5．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______．6．（2026·四川雅安·二模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______．三、解答题7．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：．8．（2026·陕西西安·二模）解方程：．9．（2026·甘肃·模拟预测）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．10．（2026·重庆·模拟预测）求不等式组所有整数解的积．11．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组：(1)；(2)．12．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：；（2）解方程：．13．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：；（2）若关于x的方程无解，则a的值是．14．（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：解：方程两边同乘，得，第一步整理，得第二步当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．15．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．

专题02方程与不等式分类解法内●容●导●航第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练题型01二元一次方程组的解法题型02二元一次方程组中含参数问题题型03一元二次方程的解法题型04一元二次方程中含参数问题题型05分式方程的解法题型06分式方程中含参数问题题型07不等式（组）的解法题型08实数与数轴的综合应用第二部分题型训练整合应用，模拟实战题●型●破●译题型01二元一次方程组的解法典例引领【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：得：，解得，把代入②得：，∴方程的解为．【典例02】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：．【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解．【详解】解：原方程组可化为，即，得，，解得：．得，，解得：．所以原方程组的解为．方法透视考向解读1.基本解法：主要考查代入消元法和加减消元法，要求学生能够根据方程组特点灵活选择方法求解。2.含参方程组：常考已知方程组的解满足某种关系（如互为相反数、和为定值），求参数的值，考查方程思想。3.同解问题：两个方程组有相同的解，或解满足另一个方程，通过建立联系求解未知系数。4.实际应用：常结合实际问题（如行程、分配问题）列方程组，考查建模能力和运算准确性。方法技能1.观察定法：若某个未知数系数简单或为1，优先用代入法；若同一未知数系数绝对值相等或成倍数，优先用加减法。2.化简先行：解方程组前先将方程去分母、去括号、移项合并，化为标准形式\(ax+by=c\)，避免后续运算出错。3.整体代入：当方程组中出现相同代数式时，可将其视为整体代入，简化计算过程。4.验算保分：解完后将结果代入原方程组检验，确保满足所有方程，避免计算失误丢分。变式演练【变式01】（2024·浙江·中考真题）解方程组：【答案】【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可.【详解】解：①×3＋②得，解得，把代入①得，解得∴【变式02】（2024·广西·中考真题）解方程组：【答案】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：，得：，解得：，把代入①得：，∴方程组的解为：.【变式03】（2025·山西·中考真题）（1）计算：

（2）解方程组：【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键；（1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可；（2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可．【详解】解：（1）原式

；

（2）解：①+②，得，

．

将代入②，得，

．

所以原方程组的解是．题型02二元一次方程组中含参数问题典例引领【典例01】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解．【详解】解：方程组的两个方程相加，得，∴，∵，∴，∴．故选：B．【典例02】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值．【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为，将代入第一个方程组的，得：①，代入第二个方程组的，得：②，将①和②相加：，整理得：，则．故选：D．方法透视考向解读1.解的关系定参：已知方程组的解满足某种条件（如互为相反数、满足某个二元一次方程），通过代入或构造方程求参数值。2.同解方程问题：两个方程组有相同的解，或方程组解与另一个方程同解，建立联系求解参数。3.解的符号讨论：结合字母系数讨论解的正负性、整数解问题，考查分类讨论思想。4.错解复原类：给出看错系数得到的错误解，利用解的定义反推原方程组或参数值。方法技能1.解代入法：若知道解的关系，先解方程组（用参数表示解），再代入条件列方程求解参数。2.整体构造法：对于同解问题，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参方程求参数。3.解的定义应用：对于错解问题，将错误解代入看错的方程，正确解代入原方程，列方程组求参数。4.消参简化：遇到多个参数时，先消去未知数得到参数关系式，再结合条件逐个求解。变式演练【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于的不等式组．①②求出，根据已知得出不等式，求出即可．【详解】解：，②得：，，关于x，y的方程组的解满足，，．的取值范围为：．故选：B．【变式02】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．【答案】3【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键．两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可．【详解】解：，可得：∵，∴，解得：．故答案为：3．题型03一元二次方程的解法典例引领【典例01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：【答案】，【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．【详解】解：，，，或，∴，【典例02】（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：．【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．先移项，再用直接开平方法求解即可．【详解】解：，，或，解得：或，∴原方程的根为：，．方法透视考向解读1.基本解法：主要考查直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，要求学生根据方程特征灵活选择最优解法。2.判别式应用：常考利用根的判别式△=b2-4ac判断根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）。3.根与系数关系：结合韦达定理（x1+x2=−ba，x1x2=4.实际应用：常与增长率问题、面积问题、动态几何结合，考查建模能力和解的合理性检验。方法技能1.观察选法：缺常数项或可因式分解的优先用因式分解法；缺一次项用直接开平方法；一般形式且系数简单用公式法。2.公式法规范：用公式法时先将方程化为一般式，准确找出a,b,c的值，计算△后再代入求根公式。3.配方熟练：配方法关键是二次项系数化为1，加上一次项系数一半的平方，注意等式两边同时加。4.验根不可少：求出解后代入原方程检验，特别在实际问题中要舍去不符合实际意义的根。变式演练【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；

（2）解不等式组【答案】（1），；（2）【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．（1）利用配方法求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：（1），移项，得，配方，得，即，开平方，得，解得，即，（2）解不等式，得：，解不等式，得：，因此该不等式组的解集为：．【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【答案】（1），；（2）【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法．（1）把方程化为，再进一步解方程即可．（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．【详解】解：（1），方程移项得：，配方得：，即，开方得：，解得：，．（2），由①得：，由②得：，则不等式组的解集为．【变式03】（2026·江苏南京·一模）解方程：(1)(2)(3)【答案】(1)，；(2)，；(3)无实数解【分析】本题考查解一元二次方程．（1）先移项，再系数化为1，最后直接开平方即可．（2）先移项，再利用因式分解法即可求解．（3）利用根的判别式可确定该方程无实数解．【详解】（1）解：，，，∴，；（2）解：，整理得，因式分解得，∴，，∴；（3）解：，整理得，，，，∵，∴该方程无实数解．题型04一元二次方程中含参数问题典例引领【典例01】（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．【答案】【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．【详解】根据题意得，，解得，故答案为：．【典例02】（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．方法透视考向解读1.判别式定参：已知方程根的情况（有两个实根、无实根、有实数根），利用△≥0或△<0求参数取值范围。2.根与系数关系：已知两根满足某种关系（如互为相反数、倒数、平方和等），结合韦达定理构造方程求参数值。3.解的定义应用：已知方程的一个根或方程的解满足某个条件，直接代入原方程求参数。4.几何背景结合：常与三角形边长、面积等问题结合，需考虑根的合理性及隐含条件（如边长正数）。方法技能1.判别式先行：凡是涉及实数根的问题，首先考虑△≥0这一前提条件，再结合其他要求求解参数。2.韦达定理整体代入：遇到两根对称式（如x12+x22、1x1+3.分类讨论全面：当二次项系数含参时，需分情况讨论（系数为零时是否为一元一次方程，系数不为零时为一元二次方程）。4.检验不可遗漏：求出参数后，务必验证是否满足原方程成立条件及实际问题中的隐含限制。变式演练【变式01】（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________．【答案】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根，，，故答案为：．【变式02】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．【详解】解：方程的两根分别为和，，，，．故答案为：．【变式03】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．【详解】解：∵方程的两个根分别是，∴，，∴，，∴，故答案为：．题型05分式方程的解法典例引领【典例01】（2025·陕西·中考真题）解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．利用解分式方程的步骤进行求解即可．【详解】解：，．经检验，是原方程的解．【典例02】（2025·西藏·中考真题）解分式方程：．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．根据解分式方程的步骤求解即可．【详解】解：两边同乘以，得，去括号，得，移项并合并同类项，得，解得，检验：当时，，故原分式方程的解是．方法透视考向解读1.基本解法：主要考查去分母法将分式方程转化为整式方程求解，要求学生准确找到最简公分母。2.增根问题：常考增根产生的原因（使最简公分母为零），以及已知方程有增根或无解时求参数的值。3.验根必要性：强调解分式方程必须验根，将整式方程的解代入最简公分母检验是否为增根。4.实际应用：常与工程问题、行程问题结合，列分式方程解决实际问题，检验解的合理性。方法技能1.找准最简公分母：先将各分母因式分解，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。2.去分母要全面：方程两边同时乘以最简公分母，注意常数项也要乘，避免漏乘出错。3.验根步骤规范：解出整式方程后，务必代入最简公分母检验，若分母为零则为增根需舍去。4.无解问题分类：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解或整式方程的解均为增根，需分类讨论。变式演练【变式01】（2025·浙江·中考真题）解分式方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案．【详解】解：方程两边同时乘以得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，∴是原方程的解．【变式02】（2025·上海·中考真题）解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．【详解】解：方差两边同时乘以得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，∴，∴或，解得或，检验，当时，，此时是原方程的增根，当时，，此时是原方程的解，∴原方程的解为．【变式03】（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：检验：当时，．第六步：原分式方程的解为．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．【答案】见解析【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可．【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立；小李的解答过程不正确，正确解答如下：，，解得：，经检验，是增根，∴原方程无解．题型06分式方程中含参数问题典例引领【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则______．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案．【详解】解：，去分母：方程两边同时乘以，得：，，，，原方程无解，是原方程的增根，由，，，，故答案为：．【典例02】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．【答案】【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．【详解】解：，化简得：，去分母得：，移项合并得：，解得：，由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，解得：或（舍去，会使得分式无意义）．故答案为：．方法透视考向解读1.增根定参：已知分式方程有增根，令最简公分母为零求出增根，代入去分母后的整式方程求参数值。2.无解问题：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解，或整式方程的解均是增根，需分类讨论求参数范围。3.解的范围定参：已知分式方程的解为正数、负数或非负数，先解方程用参数表示解，再结合解的范围及增根条件列不等式组求解。4.解的符号讨论：常结合参数讨论解的符号，考查学生综合考虑方程有解、解非增根、解满足符号要求的能力。方法技能1.增根必代回：遇到增根问题，先由最简公分母为零确定增根可能值，再代入去分母后的整式方程求参数。2.无解双情况：分析无解问题时，既要考虑整式方程无解（如0x=k且k≠0），也要考虑整式方程的解使公分母为零。3.解的范围需双检：当解满足某范围（如为正数）时，求出参数范围后，必须剔除使解为增根的参数值。4.最简公分母先分解：无论何种题型，先将分母因式分解，准确找出最简公分母是正确解题的前提。变式演练【变式01】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．【答案】【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，∴，解得，故答案为：．【变式02】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．【答案】且【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．【详解】解：解，可得，的方程的解为非负数，，解得，，，即，的取值范围是且，故答案为：且．【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．【答案】16【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．【详解】解：，解①得：，解②得：，关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，，解得，解方程，得，关于的分式方程的解为非负整数，且，是偶数，解得且，是偶数，且，是偶数，则所有满足条件的整数的值之和是，故答案为：16．题型07不等式（组）的解法典例引领【典例01】（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上．【答案】，见解析【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键．将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可．【详解】解：去括号得：，移项、合并同类项得：系数化为1得：原不等式的解集在数轴上表示如解图．【典例02】（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【答案】，在数轴上表示见详解【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，所以不等式组的解为．在数轴上表示为：方法透视考向解读1.基本解法：主要考查一元一次不等式（组）的求解，要求学生熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。2.数轴表示：常考在数轴上表示不等式的解集，要求能够准确判断空心点与实心点的使用，以及不等式组解集的公共部分。3.整数解问题：已知不等式（组）的解集，求满足条件的整数解，或根据整数解的个数确定参数的取值范围。4.实际应用：常与方案设计、最值问题结合，列不等式解决实际问题，考查建模能力。方法技能1.系数化1要变号：解不等式时，当两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向必须改变，这是易错点。2.数轴辅助定解集：解不等式组时，借助数轴画出各不等式的解集，直观找出公共部分，避免出错。3.整数解边界检验：求整数解个数确定参数范围时，需验证边界值是否满足条件，常采用“取整代入法”检验。4.实际问题取整：解决实际问题时，若结果为不等式，需结合实际情况取符合题意的整数解（如人数、车辆数）。变式演练【变式01】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．【答案】，整数解为：，0，1，2，3．【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得原不等式组的解集是整数解为，0，1，2，3【变式02】（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．解：由不等式①得：__________，由不等式②得：__________，在数轴上表示为：所以，原不等式组的解集为__________．【答案】；；；见解析【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，【详解】解：，解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示如下：所以不等式组的解集为：，故答案为：；；【变式03】（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；（2）解分式方程．【答案】（1），数轴表示见解析；（2）【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键；（1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可；（2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案．【详解】解：（1），解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式组的解集是，不等式组的解集在数轴上表示为：（2）去分母，得，解得：，经检验：是原方程的解，所以原方程的解是．题型08不等式（组）中含参数问题典例引领【典例01】（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________．【答案】【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵不等式组的解集是，∴，∴．故答案为：【典例02】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．【答案】【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵不等式组恰有3个整数解，∴，故答案为：．方法透视考向解读1.解集定参：已知不等式（组）的解集，利用数轴表示解集，根据解集的端点关系确定参数的取值或范围。2.整数解个数定参：已知不等式组有有限个整数解，根据整数解的个数反推参数的取值范围，常需结合数轴分析端点取舍。3.有解无解问题：判断含参不等式组是否有解，或已知有解、无解求参数范围，考查数形结合思想。4.解与方程结合：常与方程的解结合，如方程的解满足某不等式，或不等式解集与方程解的关系，综合考查。方法技能1.数轴分析端点：遇到含参不等式组，先在数轴上表示已知不等式的解集，移动参数界点分析公共部分变化。2.边界值要检验：确定参数范围时，对临界值需单独检验是否满足题意，常采用“等号代入验证法”。3.整数解画图法：求整数解个数时，在数轴上标出整数点，根据解集包含哪些整数点反推参数范围。4.分类讨论思想：当参数系数含未知数时，需分正负讨论不等号方向，避免漏解或错解。变式演练【变式01】（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________．【答案】【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由，得：，由，得：，不等式组恰有3个整数解，这3个整数解是0，1，2，，解得，故答案为：．【变式02】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解．【详解】解：∵∴关于a的不等式组即解不等式①得：解不等式②得：∵不等式组有3个整数解，∴整数解为，∴解得：故答案为：．【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．【答案】【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组的解集为，∴，∴；解分式方程得，∵关于的分式方程的解均为负整数，∴且是整数且，∴且且a是偶数，∴且且a是偶数，∴满足题意的a的值可以为4或8，∴所有满足条件的整数a的值之和是．故答案为：．题●型●训●练一、单选题1．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，需注意二次项系数不为零的条件．【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴且，∴，解得：，∴k的取值范围且，故选：B．2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围．【详解】解：两边同乘公分母得：，展开整理得：，解得：；由题意，解，即：，由于分子为负，分母需为正，故，即；当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除；当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除；综上，需满足且，故选：B．3．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（

）A．8 B．14 C．18 D．38【答案】B【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．【详解】解：解①得：解②得：，∵关于x的不等式组至少有两个正整数解∴不等式组的解集为．∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．当时，解集包含，此时．分式方程化简为：，解得．要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，即为大于等于6的偶数．∵，∴或8，当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．则所有满足条件的整数之和为，故选：B．二、填空题4．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______．【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．【详解】解：由得：，