2.3 随机变量的分布函数及其性质（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

§2.3、随机变量的分布函数及其性质

一、定义设X为r.v.,x是任意实数,称函数

F(x)P(Xx),x

为X的分布函数(c.d.f.).也常记为FX(x)

用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：

P(aXb)P(Xb)P(Xa)

F(b)F(a)

（（]]]

ab

定理1.（分布函数的特征性质）

(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即

x1x2,F(x1)F(x2)

(2)(有界性)limF(x)1,

0F(x)1,x

limF(x)0,即

xF(+)=1,F(-)=0.

(3)(右连续性)F(x)右连续，即

F(x0)limF(t)F(x)

tx0

证明（1）x1x2

F(x2)F(x1)P{x1Xx2}0F(x1)F(x2)

（2）F(x)P{Xx},0F(x)1

P{X}P{nXn1}

n

{P(Xn1)P(Xn)}{F(n1)F(n)}

nn

limF(n)limF(n)1

nn

limF(x)1,limF(x)0

xx

（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一

列单调下降的数列x1x2xnx*成立

limF(xn)F(x*)

n

F(x1)F(x*)P{x*Xx1}

P{(xi1Xxi)}[F(xi)F(xi1)]

i1i1

F(x1)limF(xn)

nlimF(xn)F(x*)

n

用分布函数表示概率

P(aXb)F(b)F(a)

P(Xa)1P(Xa)1F(a)

P(Xa)F(a)F(a0)

F(b)F(a0)

请P(aXb)

填P(aXb)F(b0)F(a)

空P(aXb)F(b0)F(a0)

注1分布函数也可定义为F(x)PXx

这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3

应改为左连续性。

注2任一函数F(x)为分布函数的充分必要条件

为：F(x)满足上述三条性质。

例F(x),G(x)为两个分布函数,01,

证明F(x)(1)G(x)为一分布函数。

二、举例

例1设离散型随机变量X的概率分布为

X01２

P0.20.50.3

（1）求X的分布函数F(x),并画出F(x)的图形；

（2）求P1X1,P{X3}

解(1)由于X只可能取,0,1,2,故

当x<0时,Xx,F(x)P{Xx}0

当0≤x<1时,XxX0,F(x)0.2

当1≤x<2时,XxX0或1X0X1

F(x)PXx0.7

当2≤x时,Xx,F(x)PXx1

从而归纳上述结果得

0,x0

0.2,0x1

0,x0

F(x)P{Xx}U(x)

0.7,1x21,x0

1,x2

0.2U(x)0.5U(x1)0.3U(x2)

(2)P1X1F(1)F(10)0.7

P{X3}1

或P1X1P{X0or1}0.7

1

0.7

0.2

从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数，

满足分布函数的三条基本性质。

一般地，若离散型随机变量X的分布律为

P(Xxk)pk,k1,2,

Xx1x2…xk…

Pp1p2…pk…

则其分布函数为

F(x)P{Xx}pipiU(xxi)

xixi1

其中表示对满足的xx一切下标求和。

xixii

0x0

U(x)称为单位阶梯函数，

1x0

也称为Heavyside函数。

值得注意的是,F(x)是(-,+)上的分段阶梯函数,

间断点就是随机变量X的取值点,除最左边那段是

开区间外,其余各段都是左闭右开的区间.

特别地，若随机变量以概率1取常数，即

P(XC)1

则称这个分布为单点分布或退化分布，它的

分布函数为

0xc

F(x)U(xc)

1xc

例2向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点,

以X表示该质点到圆心的距离.设这个质点落在D中

任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比,

试求X的分布函数.

解当x<0时,XxF(x)PXx0

当0≤x≤1,可得Xx0Xx

F(x)PXxkx2

其中k为比例常数,又因为P{0X1}=1,故k=1.

当x>1时,Xx,F(x)PXx1

综上所述,X的分布函数为

0x0

F(x)x20x1

1x1

1

1

总结

一、定义

二、举例

若离散型随机变量X的分布律为

P(Xxk