4.1数学期望（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第四章知识结构图

随机变量的数字特征

数学期望方差矩与协方差

矩阵

一维随机二维随机一维随二维随

变量的数变量的数机变量的机变量的相关

学期望学期望方差方差系数

与协

方差

离散型连续型

离散型连续型

第四章随机变量的数字特征

第一节数学期望

问题的引出

引例.某车间对工人的生产情况进行考察。车工小

张每天生产的废品数X是一个随机变量。

问：如何定义X的平均值？

解：现若统计100天得：

32天没有出废品;30天每天出一件废品；17

天每天出两件废品；21天每天出三件废品;

于是，可以得到这100天中每天的平均废品数为：

32301721这个数能否

01231.27

100100100100作为X的平

均值呢？

显然：

若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二

件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相

同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.

一般，若统计n天,(假定小张每天至多出三件废品)

得：n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天

出两3件2天废没品有;出n废3天品每;天30出天三每件天废出品一.件废品；17

天每天出两件废品；21天每天出三件废品;

可以得到n天中每天的平均废品数为：

nnnn

00112233这是以频率为

nnnn这权是的频加率权平均

由频率和概率的关系

在求废品数X的平均值时，用

概率代替频率，得平均值(一这是以概率为

个确定的数)为：权的加权平均

0p01p12p23p3

现问：用这个数作为随机变量X

的平均值是否合理？

注意到：对于一个随机变量X，若它可能取的值是：

相应的概率为

x1,x2,xn,p1,p2,…,

则对X作一系列观察(试验)，所得X的试

验值的平均值也是随机的。

但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率

会接近于pk，于是可期望试验值的平均值

接近于：

xkpk

k1

由此：以概率为权的加权平均值作为

随机变量X的平均值是合理的

一.离散型随机变量的数学期望

1.定义1设X是离散型随机变量，它的分布律为:

P(X=Xk)=pk,k=1,2,…

则称此级数

如果级数xkpk绝对收敛，

k1

的和为随机变量X的数学期望，记为：

E(X)xkpk

k1

离散型随机变量的数学期望

是一个绝对收敛的级数的和

注▲E(X)是个(实)数。形式上是X的可能取值的

加权平均值；本质上体现了X的真正的平均，

故常称E(X)为X的均值；物理上表示了一

个质点系的重心坐标。

▲E(X)的计算：当X的可能取值为有限时，

则计算有穷和；当X的可能取值为无限时，

则计算级数的和。

▲若不绝对收敛，

xkpk则称E(X)不存在

k1

▲推广到E(X)xp

iijpij为联

i1j1

二维：合分布律

E(Y)yjpij

j1i1

例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能

打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的

某一把去开门，若每把钥匙试开一次后除去。

求：打开门时试开次数的数学期望.

解:设试开次数为X，则：

1

P(X=k)=,k1,2,,n

n

于是，由数学期望的定义得：

n11(1n)nn1

E(X)k

k1nn22

2.几种常见分布的数学期望

(1)(01)分布

若随机变量X只能取0与1两个值，它的分布

律为:

P(Xk)pk(1p)(1k)k0,1.0p1

则：E(X)0q1pp即:E(X)p

(2)二项分布

设随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布，

即X~B(n,p),它的分布律为:

kknk

P(Xk)cnpq,k1,2,,n

k时kp0

则：0k

nn

kknkn!knk

E(X)=kcnpqkpq

k0k1k!(nk)!

n

n!

pkqnk

k1(k1)!(nk)!

n(n1)!

nppk1q(n1)(k1)

令:

k1(k1)!(n1)(k1)!

k1k

n1

(n1)!

nppkq(n1)k

k0k![(n1)k]!

n1

kk(n1)kn1

npCpqnp(pg)

n1

g1pk0

n1即EXnp

np[p(1p)]np:()

(3)泊松分布

若随机变量X的所有可能取值为：0,1,2,

而它的分布律(它所取值的各个概率)为：

ke

P(Xk)k0,1,2,即:X～P()

k!

kk1

则:E(X)kee

k0k!k1(k1)!

ee

x

即:E(X)e展开式

例2.某银行信贷部门对前来申请贷款的两个企业进

行调查，对其产品在市场上畅销、适销和滞销

三种状况的盈利额和相应的概率作了如下估计：

适销滞销

甲企业:产品畅销

盈利额

X15030--20

（万元）

概率0.150.60.25

乙企业:产品畅销适销滞销

盈利额

X260

（万元）36--40

概率0.10.60.3

问:当其它条件均相同时，信贷部门应先批准哪个

企业的贷款更为稳妥？

解：当5其0它条3件0均相同20时，应考6查0两个36企业盈4利0额

,

的0.平15均值0的.6情况0.。250.10.60.3

故分别求其数学期望：

（万元）

E(X1)500.15300.6(20)0.2520.5

（万元）

E(X2)600.1360.6(40)0.315.6

由此可见，甲企业的经济效益高于乙企业，

所以信贷部门应先批准甲企业

的贷款更为稳妥。

二.连续性随机变量的数学期望连续型随机

变量的数学

1.连续型随机变量数学期望的定义期望的引出

设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在

数轴上取很密的分点x0<x1<x2<…，则X落在小

区间[xi,xi+1)的概率是：

阴影面积近似为

x

i1f(x)x

f(x)dxii

xi

f(xi)(xi1xi)

f(xi)xi

小区间[xi,xi+1)

注意到由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)

中的值可以用xi来近似代替.

因此与以概率取值的离散型随机

Xf(xi)xixi

变量近似，该离散型随机变量

的数学期望为：阴影面积近似为

f(xi)xi

xif(xi)xi

i

这正是xf(x)dx

的渐近和式.

小区间[xi,xi+1)

由此启发引进如下定义2.

定义2设X是连续型随机变量，其概率密度函数

为f(x)，如果积分:

xf(x)dx绝对收敛，则称此积分的值

为连续型随机变量X的数学期望，记为：

E(X)xf(x)dx

连续型随机变量的数学期望

是一个绝对收敛的积分.

注▲连续型随机变量的数学期望的相关注记同

离散型随机变量(略)

▲推广到二维:

E(X)xfX(x)dxxf(x,y)dxdy

E(Y)yfY(y)dyyf(x,y)dxdy

f(x,y)为联合概率密度

例3.设某系统L有三种联接方式，其寿命Z是随机

变量，现已知这三种联接方式各自寿命的概率

密度分别为：

Z串联()z

1()()ez0

fmin

0z0

Z2(并联)

ezez()e()zz0

fmax

0z0

Z3(备用)

[ezez]z0

f(z)

0z0

求：这三种联接方式中哪种方式的平均寿命最长

(0,0)

解：依题意，当时其数学期望分别为：

zz0zz

ee()e()z0

()z1

fmEa(xZ)()zedz

10z0

0

()z

zz()z

()ez0

E(Z2)zedzzzfedzzz()edz

[emine]z0

f(0z)000z0

111

0z0

11

zz

E(Z3)z[(ee)]dz

0

22

显然：E(Z)E(Z),E(Z)E(Z)0

3221()

所以得：在备用的联接方式下其寿命最长

2.几种常见分布的数学期望

(1).均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：

1

axb

f(x)ba即X~U[a,b]

0其它

b1

则：E(X)xf(x)dx

xdx

aba

ab

2ab

即:E(X)

2

(2).指数分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：

x

1

ex0

f(x)其中0为常数

0其它

x

1

则:E(X)xf(x)dxxedx

0

xx

1

xedxxde

00

由分部积分

即:E(X)

(3).正态分布

若随机变量X的概率密度为：

(x)2

12

f(x)e2,x

2

即:X~N(,2)

(x)2

12

则:E(X)xf(x)dxxe2dx

2

y2

x1

令:y(y)e2dy

22

y2y

ye2dye2dy

22

02

2

即:E(X)

结论：正态分布中密度函数的参数恰好就是

随机变量X的数学期望.

三.随机变量函数的数学期望

1.问题的提出：

设已知随机变量X的分布，且Y=g(X),

如何计算Y=g(X)的数学期望？

即如何计算随机变量的函数的数学期望?

一种方法是:

由已知的X的分布求出随机变量g(X)

的概率分布，当知道了g(X)的分布后，

按照数学期望的定义计算E[g(X)]

这种方法的缺点:

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)

的分布，而实际中一般其计算是比较复杂的.

问题：是否可以不先求g(X)的分布

而只根据X的分布求得E[g(X)]

定理.设Y是随机变量X的函数：Yg(X)（g是连续

函数）则：

(1)X是离散型随机变量，它的分布律为：

pkP(Xxk),k1,2,,

若绝对收敛，则有：

g(xk)pk

k1

E(Y)E[g(X)]g(xk)pk

k1

(2)X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)

若g(x)f(x)dx绝对收敛，则有：

E(Y)E[g(X)]g(x)f(x)dx

证明：(略)，此定理特殊情况的证明见浙大教材P116

注

▲定理的意义：

给出了求随机变量函数的数学期望时，

可以直接利用原来随机变量的分布，

而不必先求随机变量函数的分布。

▲此定理可以推广到二个或二个以上随机变量

的情形：

例如，设Z是随机变量X，Y的函数

Zg(X,Y),g是连续的函数，则有：

(1)若(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为：

P(Xxi,Yyj)Pij,i,j1,2,

则有：

E(Z)E[g(X,Y)]g(xi,yj)pij

j1i1

这里设上式右边的级数绝对收敛.

(2)若(X,Y)为连续型随机变量，其联合概率密度为

f(x,y),则有：

E(Z)E[g(X,Y)]g(x,y)f(x,y)dxdy,

这里设右边的积分绝对收敛.

例4.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

3x0yx1

f(x,y)

0其它

求：ZXY的数学期望

解：E(Z)E(XY)xyf(x,y)dxdy

显然，由题设f(x,y)0的区域如图中的阴影部分

y

因此有：yx

1

1x3

E(Z)dxxy3xdy

0010

o1x

例5设国际市场对我国某出口商品的年需求量是一

个随机变量X（单位:吨）,它在[2000,4000]

上服从均匀分布。设每售出这种商品一吨，可

为国家挣外汇3万元，若售不出，则每吨需花费

仓储费1万元.

问：需组织多少货源,才能使国家的收益最大

解：设y:准备某年出口此种商品的量.

由题设可知：y2000,4000

设收益为Y，则有：

3yxy

Yg(X)

3x(yx)1xy

而随机变量X的概率密度为：

1

2000x4000

f(x)2000

其它

所以：0

E(Y)E[g(X)]g(x)f(x)dx

14000

g(x)dx

20002000

1y4000

[(4xy)dx3ydx]

20002000y

1

[y27000y4000000]

1000

注意到：E(Y)是变量y的函数

所以，对