4.2 方差（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

4.2方差

一、方差的定义

上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，

它体现了随机变量取值的平均水平，是随机

变量的一个重要的数字特征.

但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.

例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙

两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的

点表示如图：

a

测量结甲仪器测量结果

果的均

值都是

aa较好

乙仪器测量结果

若让你就上述结果评价一下两台仪器的优

劣，你认为哪台仪器好一些呢？

因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，

其落点距目标的位置如图：

乙较好

甲炮射击结果乙炮射击结果

你认为哪门炮射击效果好一些呢?

因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.

为此需要引进另一个数字特征,用它

来度量随机变量取值在其中心附近的离

散程度.

这个数字特征就是我们这一讲要介绍的

----方差

引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发

子弹击中的环数分别为：

有

甲10,7,9,8,10,6,

五

乙8,7,10,9,8,8,有个

四不

问哪一个射手的技术较好？个同

解首先比较平均环数不数

同

甲=8.3,乙=8.3数

再比较稳定程度

甲：2(108.3)2(98.3)2(88.3)2

(78.3)2(68.3)213.34

乙：(108.3)2(98.3)23(88.3)2

(78.3)25.34

乙比甲技术稳定，故乙技术较好.

进一步比较平均偏离平均值的程度

1

甲[2(108.3)2(98.3)2(88.3)2

6

(78.3)2(68.3)2]

5

2

13.34/62.22xkEXpk

k1

1

乙[(108.3)2(98.3)2

6E[X-EX]2

3(88.3)2(78.3)2]

4

2

5.34/60.89xkEXpk

k1

定义若E[(X–EX)2]存在,则称其为随机

变量X的方差,记为DX或Var(X)

即DX=E{(X–EX)2}

DX称为X的均方差或标准差.

两者量纲相同

DX——描述r.v.X的取值偏离平均值

的平均偏离程度——数

若X为离散型r.v.，分布律为

P(Xxk)pk,k1,2,

2

DXxkE(X)pk

k1

若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)

2

DXxEXf(x)dx

计算方差的常用公式：

2

D(X)E(X2)EX

证明:DXE(XEX)2E{X22XEX[EX]2}

2

E(X2)2EXEXEX

2

E(X2)EX

几何解释

x1x2x3x4x5x6x7xn

EX

1234567n

r.v.X的取值为xi,P{X=xi}=1/n

nn

12

EXxk/n,DX(xiEX)

k1nk1

1.方差非负，即DX0；

2.EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有

的点均匀分布在直线的两边。

3.DX的取值相当于平均误差；

4.DX=0的充分必要条件为r.v.X的取值为常数。

二、几个重要r.v.的方差

1.二项分布B(n,p)：EXnp

kknk

P{Xk}Cnp(1p)k0.1,...n

E(X2)E[X(X1)]EX

nn!

E[X(X1)]k(k1)pk(1p)nk

k0k!(nk)!2

nE(X)np

2(n2)!k2nk

n(n1)pp(1p)n(n1)p2

k2(k2)!(nk)!

n

2k2k2nk2

n(n1)pCn2p(1p)n(n1)p

k2

DXEX2(EX)2npn(n1)p2n2p2

np(1p)

解法二:

设1第i次试验事件A发生

Xi

0第i次试验事件A不发生

则2n

DXE(X2)EX

iiiXXi

pp2p(1p)i1

nn

DXDXip(1p)np(1p)

i1i1

2.泊松分布P()：

kek1

EXke

k0k!k1(k1)!

E(X2)EX(X1)EX

ke

EX(X1)k(k1)E(X2)2

k0k!

k2

2e2

k2(k2)!

2

DXE(X2)EX

3.均匀分布U(a,b)：EX(ab)/2

2

1bx1

f(x)I(axb)EX2dx(a2abb2)

baaba3

(ba)2

DXEX2(EX)2.

12

f(x)exI(x0)

EX1

DX2

5.正态分布N(,2)

(x)2

12

D(X)(x)2e2dx

2

x

令tt2

1

2t2e2dt

2

t2

1

2tde2

2

t2

1

2e2dt2

2

常见随机变量的方差

分布概率分布方差

参数为p的P(X1)p

p(1-p)

0-1分布P(X0)1p

P(Xk)Ckpk(1p)nk

B(n,p)nnp(1-p)

k0,1,2,,n

ke

P()P(Xk)

k!

k0,1,2,

分布概率密度方差

1

区间上2

(a,b),axb,(ba)

的均匀分布f(x)ba

0,其它12

ex,x0,

Exp()f(x)2

0,其它

(x)2

12

N(,2)f(x)e22

2

三、方差的性质

qD(c)=0

2

D(c1X+c2)=c1D(X)

qD(cX)=c2D(X)

q22

D(c1Xc2Y)c1D(X)c2D(Y)

2c1c2E(XEX)(YEY)

22

c1D(X)c2D(Y)2c1c2[E(XY)EXEY]

特别地，若X,Y相互独立，则

22

D(C1XC2Y)C1D(X)C2D(Y)

若相互独立，

X1,,Xna1,a2,,an,b为常数

nn

则2

DaiXibaiD(Xi)

i1i1

若X,Y相互独立D(XY)D(X)D(Y)

E(XY)E(X)E(Y)

q对任意常数C,D(X)E(X–C)2,

当且仅当C=E(X)时等号成立

qD(X)=0P(X=EX)=1

称为X依概率1等于常数E(X)

性质1的证明：

2

D(C)ECEC0

性质2的证明：

2

D(C1XC2)EC1XC2)E(C1XC2)

2

EC1(XEX)(C2EC2)

22

EC1(XEX)

2

C1D(X)

性质3的证明：

2

D(XY)E(XY)E(XY)

E(XEX)2E(YEY)22E(XEX)(YEY)

DXDY2E(XEX)(YEY)

注意到，

E(XEX)(YEY)E(XY)EXEY

当X,Y相互独立时，

D(XY)D(X)D(Y)

性质4的证明：

22

EXCE(XEX)(CEX)

E(XEX)2(CEX)2

D(X)(CEX)2

当C=EX时，显然等号成立；

2

当CEX时，(CEX)0

EXC2D(X)

q2独立，为常数，

Xi~N(i,i),i1,2,,nci

nnn

则22

ciXi~N(cii,cii)

i1i1i1

正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，

nnnn

22

EciXicii,DciXicii

i1i1i1i1

nnn

22

ciXi~N(cii,cii)

i1i1i1

在已知某些分布类型时,若知道其

期望和方差,便常能确定分布.

例4已知X服从正态分布,E(X)=1.7,

D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.

解E(Y)121.72.4,

D(Y)4312

(y2.4)2

124

fY(y)e,y

26

例5已知X,Y相互独立,且都服从

N(0,0.5),求E(|X–Y|).

解

X~N(0,0.5),Y~N(0,0.5)

E(XY)0,D(XY)1

故XY~N(0,1)

z2

1

E(|XY|)|z|e2dz

2

z2

22

ze2dz

20

例6设X表示独立射击直到击中目标n次

为止所需射击的次数,已知每次射击中靶

的概率为p,求E(X),D(X).

解令Xi表示击中目标i-1次后到第i次

击中目标所需射击的次数，i=1,2,…,n

n

相互独立，且

X1,X2,,XnXXi

k1i1

P(Xik)pq,k1,2,

pq1

k1k111

E(Xi)kpqpkqp2

k1k1(1q)p

2k1k1

E(Xi)k(k1)pqkpq

k1k1

1

pqk(k1)qk2

k2p

2

dk1

pq2x

dxk0xqp

21

2p

pq32

(1x)xqpp

2p11p

D(X)

ip2p2p2

n

故n

E(X)E(Xi)

i1p

nn(1p)

D(X)D(Xi)2

i1p

本例给出了几何分布与巴斯卡

(Pascal)分布的期望与方差

例7将编号分别为1~n的n个球随机

地放入编号分别为1~n的n只盒子中,

每盒一球.若球的号码与盒子的号码一

致，则称为一个配对.求配对个数X的

期望与方差.

号球放入号盒

解1,ii

Xii1,2,,n

0,其它

则n

XXi

i1

但

X1,X2,,Xn不相互独立，

10

Xi

i1,2,,n

11

P1

nn

n1

E(X)E(Xi)n1

i1n

n2nn

22

E(X)EXiEXi2XiXj

i1i11ijn

nn

2

E(Xi)2E(XiXj)

i11ijn

2

Xi10

11

P1

nn

1

E(X2)i1,2,,n

in

XiXj10

11

P1

n(n1)n(n1)

1

E(XX)i,j1,2,,n

ijn(n1)

nn

22

E(X)E(Xi)2E(XiXj)

i11ijn

n1n1

2

i1n1ijnn(n1)

11

n2C2

nnn(n1)

2

D(X)E(X2)E2(X)1

标准化随机变量

设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)

都存在,且D(X)0,则称

XE(X)

X

D(X)

为X的标准化随机变量.显然，

E(X)0,D(X)1

仅知r.v.的期望与方差

并不能确定其分布

例如X-101

P0.10.80.1有相同的

E(X)0,D(X)0.2期望方差

与但是分布

Y-202却不相同

P0.0250.950.025

E(Y)0,D(Y)0.2

附例在[0,1]中随机地取两个数X,Y,

求D(min{X,Y})

解1,0x1,0y1

f(x,y)

0,其它

E(min{X,Y})min{x,y}dxdy

0x1

0y11

111