4.2方差（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第四章知识结构图

随机变量的数字特征

数学期望方差矩与协方差

矩阵

一维随机二维随机一维随二维随

变量的数变量的数机变量的机变量的相关

学期望学期望方差方差系数

与协

方差

离散型连续型

离散型连续型

第二节方差

若需评价两台仪器的优劣，

问题的引出

可认为哪台仪器好一些呢？

引例1某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪

器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点

表示如图：

因为乙仪器的测量结a果集中在均值a附近

测量结果的甲仪器测量结果

均值都是a

a较好

乙仪器测量结果

引例2甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，

其落点距目标的位置如图：

靶心

靶心

乙炮

甲炮射击结果乙炮射击结果

若需评估射击效果，可认为哪门炮射击效果好一些?

因为乙炮的弹着点较集中在靶心附近.

引例3某两个储蓄所，它们的月吸收存款额(万元)

及其概率如下所示：

月吸收存款额

甲储蓄所X甲81012

概率p0.20.60.2

月吸收存款额

乙储蓄所X乙71013

概率p0.30.40.3

问：甲乙两个储蓄所哪个月吸收存款额来得稳定？

解：(1)若计算其数学期望，则：

E(X甲)80.2100.6120.210(万元)

E(X乙)70.3100.4130.310(万元)

必须了解它的取值与平均值的偏离程度。

(2)若用随机变量与其数学期望的偏差的期望值

来表示这偏离程度，则：

E[X甲E(X甲)](810)0.2(1010)0.6

(1210)0.20(万元)

E[X乙E(X乙)](710)0.3(1010)0.4

(1310)0.30(万元)

从计算的结果上看，由于诸偏差的正负抵消，

这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差

的期望值均为“0”，这样就掩盖了实际偏差的大小。

因此，为了克服诸偏差的正负抵消，真正反映出实际

偏差的大小程度，通常采用偏差平方的数学期望来

描述随机变量的取值与平均值的偏离程度。

(3)若用随机变量与其数学期望的偏差平方的期望值

来表示这偏离程度，则：

222

E[X甲E(X甲)](810)0.2(1010)0.6

(1210)20.21.6(万元)

222

E[X乙E(X乙)](710)0.3(1010)0.4

(1310)20.35.4(万元)

从计算的结果上看，由于克服了诸偏差的正负抵消，

这两个储蓄所的月吸收存款额与其数学期望的偏差

平方的期望值就真正反映出实际偏差的大小程度：

甲储蓄所的月吸收存款额比乙储蓄所的月吸收存款额来得“稳定”

通常称用偏差平方的数学期望来描述随机变量

的取值与平均值的偏离程度为“方差”.

一.方差的定义

定义.设X是一个随机变量，若E[XE(X)]2存在,

2

则称E[XE(X)]为X的方差.采用平方是为

了保证一切差

记为：D(X)Var(X)值X-E(X)都起

正面的作用

EXEX2

注[()]

▲方差的算术平方根D(X)称为标准差

或均方差。记为:

(X)D(X)

▲D(X)实际上是X的函数g(X)(XE(X))2

的数学期望。

注

▲D(X)是个(实)数.

形式上是X的每一个取值和它们的平均值

的偏差平方与相应概率的乘积之和.

本质上体现了X围绕着“平均值”的偏离程

度，故它是衡量X取值分散程度的

一个标志.

物理上表示了一个质点系通过重心E(X)的

纵轴的转动惯量.

二.离散型随机变量的方差

1.定义.设离散型随机变量X的分布律为:

Xx0x1x2xn

Pkp0p1p2pn

如果级数2

[xkE(X)]pk绝对收敛，则称此

k1

级数为X的方差，记为：

22

D(X)Var(X)[xkE(X)]pkE[XE(X)]

k1

注如果级数2

[xkE(X)]pk不绝对收敛，

k1

则称D(X)不存在.

2.几种常见分布的方差

(1)(01)分布

若随机变量X只能取0与1两个值，它的分布

律为:

P(Xk)pk(1p)(1k)k0,1.0p1

则：D(X)(0p)2q(1p)2ppqE(X)p

(2)二项分布

设随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布，

即X~B(n,p),它的分布律为:

kknk

P(Xk)cnpq,k1,2,,n

则：D(X)npqE(X)np

(3)泊松分布

若随机变量X的所有可能取值为：0,1,2,

而它的分布律(它所取值的各个概率)为：

ke

P(Xk)k0,1,2,即:X～P()

k!

则:D(X)E(X)

三.连续型随机变量的方差

1.定义.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)

如果积分[xE(X)]2f(x)dx绝对收敛，

则称此积分为X的方差，记为：

D(X)Var(X)[xE(X)]2f(x)dx

E[XE(X)]2

2.几种常见分布的方差

(1).均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：

1

axb

f(x)ba即X~U[a,b]

0其它

(ba)2ab

则:D(X)E(X)

122

(2).指数分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：

x

1

ex0

f(x)其中0为常数

0其它

则:D(X)[xE(X)]2f(x)dx

x

1

(x)2edx2

0

即:D(X)2E(X)

(3).正态分布

若随机变量X的概率密度f(x)为：

(x)2

12

f(x)e2,x

2

即:X~N(,2)

则:D(X)(x)2f(x)dx

(x)2

12

(x)2e2dx

2

x

令:z

2

z22z

11

2z2e2dzz2e2dz

22

z2z2

22

[ze2e2dz]22

22

即:D(X)2E(X)

结论：正态分布中密度函数的参数2恰好就是

随机变量X的方差。

正态分布中密度函数的参数恰好就是

随机变量X的数学期望.

四方差的性质这是一个重要的经

.常使用的计算公式

1.D(X)E(X2)[E(X)]2

由数学期

证明:D(X)E[XE(X)]2望的性质

22

因为数学E[X2XE(X)(E(X))]

期望E(X)22

是数E(X)E[2XE(X)]E[(E(X))]

E(X2)2E(X)E(X)[E(X)]2

E(X2)[E(X)]2

注

这个公式给出了计算随机变量X的方差的公式，

同时也给出了数学期望与方差之间的关系。

例1.设X~U[a,b],即它的概率密度函数为：

1

,axb

f(x)ba

0,其它

求：X的方差

解：因为：D(X)E(X2)[E(X)]2

ab

E(X)

2

b1ab

所以：D(X)x2dx()2

aba2

(ba)2

12

例2.设随机变量X服随机从几何分布，其分布

律为：

P(xk)p(1p)k1,k1,2,n

其中，0<p<1

求：

D(X)无穷递缩等比

解：记q(1p)级数求和公式

k1

E(X)kpqp(qk)'

k1k1

求和与

求导kq1

p(q)'p()'

交换q

次序k11p

E(X2)k2pqk1

k1

p[k(k1)qk1kqk1]

k1k1

kq1

qp(q)+E(X)qp()

k11qp

212q12p

qp

(1q)3pp2pp2

所以:D(X)E(X2)[E(X)]2

2p11p

p2p2p2

2.若c是常数，则：D(c)0

3.若c是常数，X是随机变量，则：

D(cX)c2D(X)

证明：D(cX)E[(cX)2][E(cX)]2

E(c2X2)[cE(X)]2

c2E(X2)c2[E(X)]2

c2[E(X2)(E(X))2]c2D(X)

4.若X,Y是相互独立的随机变量，则：

D(XY)D(X)D(Y)

证明：D(XY)E[(XY)E(XY)]2

由方差定义

D(XY)E[(XY)E(XY)]2

因为

2X,Y

E{[XE(X)][YE(Y)]}相互独立，

E[XE(X)]2E[YE(Y)]2所以X-

E(X)

2E{[XE(X)][(YE(Y)]}与Y-E(Y)

D(X)D(Y)也相互独

立

2E[XE(X)]E[YE(Y)]

D(X)D(Y)

2[E(X)E(X)][E(Y)E(Y)]

D(X)D(Y)

注此性质可推广到任意有限多个

相互独立的随机变量之和的情形。

5.D(X)0的充分必要条件是X以概率1取常数c

即P(Xc)1

显然，这里cE(X)

6.(切比雪夫不等式)设随机变量X具有数学期望

E(X),方差D(X)2.则对任意正数

不等式：2成立。

P{X}

2

称其为切比雪夫不等式

注

▲切比雪夫不等式(chebysev)的另一形式:

2

P{X}1

2

▲切比雪夫不等式的作用：给出了在随机变量X的

分布未知的情况下,{X}概率下限的一

种估计方法。

如取则:

32

P{|XE(X)|3}0.111

92

2

可见，对任给的分布，只要期望和方差存在,则

随机变量X取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.

▲由切比雪夫不等式可以看出，若2越小，则事件

{|X-E(X)|<}的概率越大,即随机变量X集中在

期望附近的可能性越大.由此得出方差的概率意义：

它刻划了随机变量取值的离散程度

例3已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞

数平均是7300，均方差是700.

试利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在

5200~9400之间的概率.

解：设X：每毫升白细胞数

依题意，E(X)7300,D(X)7002

现求：P(5200X9400)?

P(52007300X730094007300)

P(2100XE(X)2100)

P(XE(X)2100)

由切比雪夫不等式得：

D(X)

P{XE(X)2100}1

(2100)2

700218

1()1

210099

即估计每毫升白细胞数在5200~9400

之间的概率不小于8/9.

例4在每次试验中，事件A发生的概率为0.75

利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使

得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在

0.74~0.76之间的概率至少为0.90?

解：设X：n次试验中，事件A出现的次数.

则：X~B(n,0.75)

E(X)0.75n,D(X)0.750.25n0.1875n

X

所求为满足：P(0.740.76)0.90的最小的n

n事件出现

XA

P(0.740.76)可改写为：的频率在

n0.74~0.76

之间的概率

P(0.74nX0.76n)至少为0.90

P(0.74n0.75nX0.75n0.76n0.75n)

P(0.01nX0.75n0.01n)

P(XE(X)0.01n)

在切比雪夫不等式中取0.01n：

则有：

X

P(0.740.76)P(XE(X)0.01n)

n

D(X)0.1875n1875

111

(0.01n)20.0001n2n

1875

依题意，取：10.9

n

1875

解得：n18750

10.9

结论当n取18750时，可以使得在n次独

立重复试验中,事件A出现的频率在

0.74~0.76之间的概率至少为0.90.

例设相互独立，且服从同一

5X1,X2,,Xn

(01)分布.

证明服从参数为的

1.:XX1X2Xnn,p

二项分布

2.求:E(X