6.1抽样分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第六章----第八章知识结构图

数理统计

抽样分布统计推断

常用的四个重参数估计正态总体假设检验

统计量要分布

均值的方差的

点估计区间估计

正态总体的检验检验

样本均值与

方差的分布

矩极大均值方差单个两个

(重要统计量

估似然的区的区总体总体

的分布)计估计间估间估

法法计计

第二节抽样分布

问题的提出

在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统

计推断的依据。但在实际应用时，往往不是直接

使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适

当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。

亦即用样本去推断总体情况，需要对样本进行

一定的“加工”，这就要构造一些样本的适当函数

，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来

。

这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量

它是完全由样本所决定的量

一.统计量的定义

定义设是来自总体的一个样本，

1.X1,X2XnX

g(X1,X2Xn)是X1,X2Xn的函数。

若g是连续函数且g中不含任何未知参数,

则称g(X1,X2Xn)是一个统计量。

注▲统计量是样本的函数，它是一个随机变量。

▲称为的观察值

g(x1,x2,xn)g(X1,X2,Xn)

其中是的样本值

:x1,x2,xnX1,X2Xn

2.几个常用的统计量它反映了总体

1n均值的信息

(1).样本均值：XX

i它反映

ni1

1n了总体

(2).样本方差：22方差的

S(XiX)

n1i1信息

1n

(3).样本标准差：S2(XX)2

i它反映了

n1i1总体k阶

n矩的信息

样本阶原点矩：1k

(4).kAkXik=1,2,…

ni1

1n它反映了

(5).样本k阶中心矩：k总体k阶

Bk(XiX)中心矩的

ni1信息

注▲(1)~(5)均是随机变量，实质上它们是样本函数

的数字特征；它们的观察值是具体的实数值，

仍称为样本均值、样本方差、样本k阶原点

距与样本k阶中心距。

▲若总体的阶原点距k存在，

XkE(X)k

则当时有：

np

证明见

浙大教Akk,k1,2,

材P161这个结论表明：样本的k阶距依概率收敛到

总体的k阶距。矩估计法的

▲关于与总体分布函数相应的统计量理论根据

—---经验分布函数的概念与作法

请见浙大教材P161--P162

3.抽样分布

统计量作为随机变量，因而就有一定的分布，这

个分布就称为统计量的“抽样分布”。故有：

统计量的分布称为抽样分布

二.几个重要的分布

1.2分布

定义设是来自正态分布

.X1,X2,,XnN(0,1)

的样本，则称统计量：

2222

X1X2Xn为服从自由度为

2

n的分布.记为：2~2(n)

2

注▲自由度n是指中所包含独立变量的个数

▲2分布的密度函数为：

nx

11

x2e2x0

f(x;n)2n2(n2)

0x0

其中：伽玛函数(x)通过积分：

(x)ettx1dt,x0来定义。

0

其密度函数的图形如下：

f(x)

n=2

n=1n=4

n=6

n=11

x

0

（参见教材P171图6.1）

22

▲若~(n)，则E(2)n,D(2)2n

▲2分布的可加性：

2222

若1~(n1),2~(n2)且

22222

1,2相互独立，则12~(n1n2)

2

▲分布的上分位点：

对于给定的(01),称满足：

P(22(n))fxdx的点2(n)

2

(n)

2

为分布的上分位点。

其图形如下：

f(x)

面积=

x

02

(n)

2

对于不同的与n，(n)有表可查

（见教材P265的附表4）

一般:(a)当n45时可直接查表

(b)当n45时可用近似公式：

1费歇R.AFisher

2(n)(z2n1)2

2证明

或：

2z是正态分布的上

(n)n2nz

分位点

例如：

22

0.1(25)34.382P((25)34.382)0.1

22

0.95(40)26.509P((40)26.509)0.95

212

0.05(50)(z2501)

20.05

1

(1.64599)267.221

2

2.t分布

定义.设X～N(0,1),Y～2(n),且X与Y相互

独立，则称随机变量：

X

T

Yn

为服从自由度为n的t分布.记为T～t(n)

注▲t分布是英国统计学家哥塞特（G0sset）

首先发现的，并以学生(student)的笔名

在英国的《Bi0metrike》杂志上发表的

一篇文章中提出了他的研究结果.

故t分布也称为学生分布。

▲t分布的概率密度函数为：

n1

2

[(n1)2]x2

t(x;n)(1)

(n2)nnt

其图形如下：

t(x)

n=2n=

它非常象正态

n=25分布图形,关于

y轴对称

x

0

（参见教材P173图6.3）

x2

1

▲当n充分大时，limt(x;n)e2

n2

即当n充分大时，t分布可以近似看作是标准正

态分布；但当n较小时，t分布与正态分布的差

异是不能忽略的。

▲若T～t(n)，则有：当n1时E(T)0

n

当n2时D(T)

n2

▲T分布的上分位点:对于给定的(01)

称满足条件:

P(tt(n))h(t)dt

t(n)

的点为分布的上分位点。

t(n)t

f(t)

面积=

t

0t(n)

对于不同的与n，t(n)有表可查

（见教材P264的附表3）

一般:(a)当n45时可直接查表

(b)当n45时可用近似公式：

t(n)z(用正态分布近似)

例如：

t0.05(30)1.6973P(t(30)1.6973)0.05

P(t(35)2.4377)0.01

t0.01(35)2.4377

t0.05(50)z0.05z(10.05)z(0.95)1.645

▲由上分位点定义及h(t)对称性得:

t1(n)t(n)

3.F分布

22

定义.设X~(n1),Y~(n2),X与Y相互独立，

则称统计量：Xn

F1

Yn2

为服从自由度n1及n2的F分布，记作：

F~F(n1,n2)

注

▲若F~F(n1,n2)，则F的概率密度为：

nnnnn

121112

()nn2n

21112

nn(n)(nx)1nx,x0

12222

(x;n1,n2)(2)(2)

0x0

其图形如下：

(x)

(n1,n2)(10,40)

(n1,n2)(1,3)

x

0

（参见教材P174图6.5）

1

▲若F~F(n,n)则~F(n,n)

12F21

▲若则：

F~F(n1,n2)

n

当n2时，E(F)2

n22

2n(nn2)

当n时，212

4D(F)2

n1(n22)(n24)

▲F分布的上分位点:对于给定的(01)

称满足条件:

P(FF(n1,n2))(x)dx

F(n1,n2)

的点为分布的上分位点。

F(n1,n2)F

(x)

面积=

x

0

F(n1,n2)

对于不同的与，有表可查

nF(n1,n2)

（见教材P268的附表5）

例如

:F0.05(15,12)2.62

P(F(15,12)2.62)0.05

F0.95(15,12)F10.05(15,12)

11

0.04

F0.05(12,15)2.48

P(F(15,12)0.04)0.95

▲F分布的上分位的性质：

1

F1(n1,n2)

F(n2,n1)

4.正态分布

（请自己复习其图形及性质等）

三.正态分布的样本均值与样本方差的分布

定理1(样本均值和样本方差的分布)

2

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(,)的样本，

X,S2是其样本均值和样本方差

2

则(1)X~N(,)

n

(n1)S2只证（1），

2（）与（）

(2)2~(n1)23

的证明见教材

(3)X和S2相互独立P175—P176

证明:(1)因为若X~N(,2),YaXb

则有：Y~N(ab,a22)

由已知22

X1~N(1,1),X2~N(2,2),

相当于

22

a=1/n,X1X2~N(12,12)

b=0n

代入到2

Xi~N(n,n)

y=ax+bi1

中n

又1

XXi

ni1

1n22

则：即

Xi~N(,)X~N(,)

ni1nn

n取不同值时样本均值X的分布

2

n取不同值时(n1)S的分布

2

推论设是总体2的一个样本，

.X1,X2XnN(,)

X

则~N(0,1)

n

注▲推论的实质是把服从一般正态分布的随

机变量X化为标准正态分布的一个方法。

它类似于把一个随机变量X~N(,2)

X

经线性变换z化为服从标准

正态分布。

▲推论的证明，只需在定理1(1)式的证明中令：

1

X

a,b即可是X的线性函数

.

n

nn

▲对于一般的有：

aXb

P(aXb)P()

由推论nnn

ba

()()

nn

2

定理2.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(,)

的样本,X和S2分别为样本均值和样本方差,

则有：X

~t(n1)

Sn

X2

证明:~N(0,1),(n1)S2

~(n1)

2

n

并且两者相互独立由定理1的结

论与推论

由t分布的定义得：

X

X

n~t(n1)

(n1)S2s

2n

n1

定理2，2，

3.X~N(1,)Y~N(2,)且X与

Y相互独立，X,X,,X是取自的

12n1X

样本，Y,Y,,Y是取自的样本。

12n2Y

X和Y分别是这两个样本的样本均值，

2和2分别是这两个样本的样本方差。

S1S2

则有：XY(12)

~t(n1n22)

11

sW

n1n2

22

(n11)S1(n21)S2

其中：sW

n1n22

22

0

证明:1X~N(,),

1Y~N(2,)

n1n

22

而相当于

(Y)~N(2,)y=ax+b

n2中a=-1,b=0

22

XY~N(12,)

n1n2

XY()

从而12~N(0,1)

11

由定理1推论

n1n2

2

0(n1)S

211~2(n1)

.21

22

(n1)S由分布

22~2(n1)

22的可加性

(n1)S2(n1)S2