2022考研数学一习题集｜可打印版

2022考研数学一习题集｜可打印版1.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论不一定成立的是（）A.存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0B.存在c∈(a,b)，使得f''(c)=0C.对任意x1,x2∈(a,b)，存在λ∈(0,1)，使得f(x1)-f(x2)=f'((1-λ)x1+λx2)D.对任意x∈(a,b)，曲线y=f(x)的切线与直线y=0有公共点2.设函数f(x)二阶连续可导，且满足f(x+h)-f(x)=hf'(x+θh)，其中0<θ<1，则下列极限中存在且等于f''(x)的是（）A.limh→0+θ^2/hB.limh→0+(θ-1)/h^2C.limh→0+θ(θ-1)/h^2D.limh→0+θ(2θ-1)/h^23.已知函数f(x)在x=0处三阶可导，且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=3，f'''(0)=-2，则下列关于x^3f(x)的麦克劳林展开式系数正确的是（）A.x^3的系数为-1/6B.x^5的系数为-1/4C.x^6的系数为-1/3D.x^7的系数为-1/24.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|，其中M为正常数，则下列命题错误的是（）A.f(x)在[a,b]上必为线性函数B.f(x)在[a,b]上一致连续C.f(x)在[a,b]上的拉格朗日中值定理必成立D.f(x)在[a,b]上的柯西中值定理必成立5.设函数f(x)在x=0处可导，且limx→0(f(x)-f(0))/x=2，则下列极限中存在且不等于1的是（）A.limx→0+(f(2x)-f(x))/xB.limx→0+(f(x^2)-f(0))/xC.limx→0+(f(1/x)-f(0))/xD.limx→0+(f(2x)-f(0))/2x6.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意n∈N，有∫[a,b]f(x)cos(nx)dx=0，则下列结论正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x)在[a,b]上必为常数D.f(x)在[a,b]上的拉格朗日余项为07.已知函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则下列极限中等于1的是（）A.limx→0+(e^x-1-x)/f(x)B.limx→0+(sinx-x)/f(x)C.limx→0+(ln(1+x)-x)/f(x)D.limx→0+(tanx-x)/f(x)8.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则下列命题正确的是（）A.f(x)在[a,b]上必为单调函数B.f(x)在[a,b]上必为常数C.f(x)在[a,b]上的费马定理必成立D.f(x)在[a,b]上的罗尔定理必成立9.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论不一定成立的是（）A.存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0B.存在c∈(a,b)，使得f''(c)=0C.对任意x1,x2∈(a,b)，存在λ∈(0,1)，使得f(x1)-f(x2)=f'((1-λ)x1+λx2)D.对任意x∈(a,b)，曲线y=f(x)的切线与直线y=0有公共点10.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论一定成立的是（）A.存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0B.存在c∈(a,b)，使得f''(c)=0C.对任意x1,x2∈(a,b)，存在λ∈(0,1)，使得f(x1)-f(x2)=f'((1-λ)x1+λx2)D.对任意x∈(a,b)，曲线y=f(x)的切线与直线y=0有公共点1.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则limx→0(e^f(x)-e)/x=________。2.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意n∈N，有∫[a,b]f(x)sin(nx)dx=0，则f(x)在[a,b]上的平均值等于________。3.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则函数g(x)=x^2f(x)在x=0处的二阶导数g''(0)等于________。4.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|，则f(x)在[a,b]上的拉格朗日余项为________。5.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f'(0)=1，则函数h(x)=e^xf(x)在x=0处的三阶导数h'''(0)等于________。6.设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|^2，则f(x)在[a,b]上的柯西中值定理不成立的充分必要条件是________。4.（本题满分12分）设函数f(x)在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，证明：f(x)在[a,b]上必为单调函数。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由罗尔定理可知A正确；由泰勒公式展开f(x)在x=0处三阶展开式可知C正确；由拉格朗日中值定理可知D正确；B不一定成立，例如f(x)=|x|在[-1,1]上连续可导，且f(-1)=f(1)，但f''(x)不存在。2.D解析：由泰勒公式展开f(x+h)在x处三阶展开式，有f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h^2f''(x)/2+θh^3f'''(ε)，其中ε是某个介于0和h之间的数。代入已知条件可得θ(2θ-1)/2=f'''(x)/f'''(0)，故D正确。3.A解析：由麦克劳林公式可得x^3f(x)的展开式系数为f'''(0)/3!=-1/6，A正确；B、C、D的系数分别为-f'''(0)/5!、f'''(0)/6!、-f'''(0)/7!，均不等于对应选项。4.A解析：由条件可知f(x)在[a,b]上一致连续，B正确；由拉格朗日中值定理可知C正确；由柯西中值定理可知D正确；A不一定成立，例如f(x)=xsin(1/x)在[0,1]上连续，且对任意x1,x2∈[0,1]，有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，但f(x)非线性。5.C解析：由条件可知f(x)=2x+o(x)，故A、B、D的极限分别为2、0、2，均等于1；C的极限为limx→0+(2/x+o(1/x))/x=limx→0+(2/x^2+o(1/x^2))=-∞，不等于1。6.B解析：由傅里叶系数性质可知f(x)为2π周期函数，B正确；A不一定成立，例如f(x)=x在[0,2π]上连续，且对任意n∈N，有∫[0,2π]xcos(nx)dx=0，但f(x)非奇函数；C不一定成立，例如f(x)=x在[0,2π]上连续，且对任意n∈N，有∫[0,2π]xsin(nx)dx=0，但f(x)非常数；D不一定成立，余项与f(x)的导数有关。7.A解析：由条件可知f(x)=x+o(x)，故A的极限为1；B、C、D的极限分别为0、0、0，均不等于1。8.B解析：由条件可知f(x)在[a,b]上必为常数，B正确；A不一定成立，例如f(x)=|x|在[-1,1]上连续，且对任意x1,x2∈[-1,1]，有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，但f(x)非单调；C不一定成立，费马定理要求f(x)在区间内取到最值；D不一定成立，罗尔定理要求f(a)=f(b)。9.B解析：由罗尔定理可知A正确；由柯西中值定理可知C正确；由拉格朗日中值定理可知D正确；B不一定成立，例如f(x)=x^3在[-1,1]上连续可导，且f(-1)=f(1)，但f''(x)≡6x在(-1,1)内不为0。10.A解析：由罗尔定理可知A正确；B不一定成立，例如f(x)=x^3在[-1,1]上连续可导，且f(-1)=f(1)，但f''(x)≡6x在(-1,1)内不为0；C不一定成立，例如f(x)=x在[0,1]上连续可导，且f(0)=f(1)，但不存在λ∈(0,1)，使得f(1)-f(0)=f'((1-λ)0+λ1)；D不一定成立，例如f(x)=x^3在[-1,1]上连续可导，且f(-1)=f(1)，但曲线y=x^3的切线与直线y=0无公共点。二、填空题1.2解析：由条件可知f(x)=1+x+o(x)，故e^f(x)=e^(1+x+o(x))=e•e^x•e^o(x)≈e•(1+x+o(x))，故极限为2。2.0解析：由条件可知f(x)为[a,b]上的平均值，即f(x)=∫[a,b]f(t)dt/(b-a)+o(1)，故f(x)的傅里叶系数a_n=∫[a,b]f(x)cos(nx)dx/(b-a)=0，由唯一性定理可知f(x)为常数。3.1解析：由条件可知f(x)=1+x+o(x)，故g(x)=x^2+x^3+o(x^3)，g'(x)=2x+3x^2+o(x^2)，g''(0)=2。4.0解析：由条件可知f(x)在[a,b]上必为常数，设f(x)=c，故拉格朗日余项为0。5.3解析：由条件可知f(x)=1+x+o(x)，故h(x)=e^x(1+x+o(x))=e^x+e^x•x+o(x)，h'(x)=e^x+e^x(1+x)+o(1)，h''(x)=2e^x+e^x(1+x)+o(1)，h'''(0)=3e^0=3。6.f(a)=f(b)解析：由条件可知f(x)在[a,b]上必为常数，设f(x)=c，故柯西中值定理不成立的充分必要条件是f(a)≠f(b)。三、解答题1.证明：由拉格朗日中值定理可知，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，故(f(b)-f(a))(b-a)=f'(c)(b^2-a^2)。2.证明：由条件可知f(x)的傅里叶系数a_n=∫[a,b]f(x)cos(nx)dx/(b-a)=0，由唯一性定理可知f(x)为常数。3.证明：由条件可知f(x)=x+o(x)，故f(x)-x=x+o(x)-x=o(x)，要证f(x)>x-x^2，即证o(x)>-x^2，即证limx→0+o(x)/(-x^2)=0，由洛必达法则可得该极限为0，故原不等式成立。4.证明：用反证法，假设f(x)在[a,b]上非单调，则存在x1,x2∈