数学一专项训练（2022考研全国统考·历年真题分类汇编）

数学一专项训练（2022考研全国统考·历年真题分类汇编）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内二阶可导，且$f''(x)>0$，则下列命题正确的是：（1）$f(x)$在$(a,b)$内单调递增（2）若$f(a)=f(b)$，则$x\in(a,b)$时$f(x)<0$（3）曲线$y=f(x)$在$(a,b)$内为凹弧（4）存在唯一的$\xi\in(a,b)$，使$f''(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^2}$A．（1）（3）B．（2）（4）C．（1）（4）D．（3）（4）2.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}$条件收敛，则$p$的取值范围是：A．$0<p\leq1$B．$1<p\leq2$C．$2<p\leq3$D．$p>1$3.设函数$z=f(x,y)$满足$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}+\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=0$，且$f(1,1)=0$，$f_x(1,1)=1$，则$f(2,2)$的值为：A．$\frac{1}{2}$B．$1$C．$2$D．$0$4.设$A$为$3\times3$矩阵，且$|A|=2$，则$\left|\frac{1}{2}A^{-1}\right|$等于：A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$1$D．$2$5.设随机变量$X$的密度函数为$f(x)=\begin{cases}2x&0\leqx\leq1\\0&\text{其他}\end{cases}$，则$P(X>\frac{1}{2})$等于：A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{3}{4}$D．$1$6.设$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$与$\vec{a}\times\vec{b}$的模长之比为：A．$\frac{1}{\sqrt{6}}$B．$\frac{1}{\sqrt{3}}$C．$\sqrt{2}$D．$2$7.已知$y=\ln(\sinx)$，则$y''$等于：A．$\cotx$B．$-\cotx$C．$\csc^2x$D．$-\csc^2x$8.设$F(x)=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t$，其中$f(x)$连续，且$f(0)=1$，则$F'(0)$等于：A．$0$B．$1$C．$2$D．$-1$9.已知直线$L:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{2}$与平面$\Pi:x-2y+3z=4$，则$L$与$\Pi$的位置关系是：A．平行B．相交C．垂直D．直线在平面上10.设事件$A$与$B$互斥，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.3$，则$P(A\cupB)$等于：A．$0.3$B．$0.6$C．$0.9$D．$1$二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^n}{1+x^n}+\frac{1}{n}\right)$，则$f(x)$的连续区间为________。2.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$的前$n$项和$S_n$等于________。3.设$z=x^2y+y^2$，则$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$在点$(1,2)$的值为________。4.已知向量组$\vec{\alpha}_1=(1,1,1)$，$\vec{\alpha}_2=(1,2,3)$，$\vec{\alpha}_3=(1,3,5)$的秩为2，则$\vec{\alpha}_3$可以由$\vec{\alpha}_1$和$\vec{\alpha}_2$线性表示为________。5.设$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为________。6.设随机变量$X$的期望$E(X)=2$，方差$D(X)=1$，则$E(X^2)$等于________。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）计算不定积分$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\arctan\sqrt{x^2+1}\mathrm{d}x$。2.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=f(1)$，证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xif(\xi)$。3.（10分）计算二重积分$\iint_D\frac{x^2}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由$x=1$，$x=2$，$y=x$，$y=\frac{x}{2}$围成的区域。4.（10分）已知$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩阵$A^{-1}$。5.（15分）设线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+3x_2+ax_3=3\\x_1+2x_2+3x_3=b\end{cases}$有解，求$a$和$b$的取值范围。6.（15分）设随机变量$X$和$Y$的联合密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)}&x\geq0,y\geq0\\0&\text{其他}\end{cases}$，求$Z=X+Y$的密度函数。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.A3.A4.B5.C6.C7.B8.B9.B10.C二、填空题1.$(-1,1]$2.$2-\frac{1}{2^n}$3.$8$4.$\vec{\alpha}_1-\vec{\alpha}_2$5.$1,3$6.$5$三、解答题1.解：令$t=\sqrt{x^2+1}$，则$\mathrm{d}t=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x$，原式$=\int\arctant\cdott\mathrm{d}t=\frac{1}{2}t^2\arctant-\frac{1}{2}\int\frac{t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t$$=\frac{1}{2}t^2\arctant-\frac{1}{2}(t-\arctant)+C$$=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+1}\arctan\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2}(\sqrt{x^2+1}-\arctan\sqrt{x^2+1})+C$。2.证明：构造辅助函数$F(x)=f(x)-x^2f(x)$，则$F(0)=f(0)-0=f(0)$，$F(1)=f(1)-1^2f(1)=f(1)$，由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使$F'(\xi)=0$，即$f'(\xi)-2\xif(\xi)-\xi^2f'(\xi)=0$，化简得$f'(\xi)=2\xif(\xi)$。3.解：积分区域$D$可表示为$\frac{x}{2}\leqy\leqx$，$1\leqx\leq2$，$\iint_D\frac{x^2}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_1^2\mathrm{d}x\int_{\frac{x}{2}}^x\frac{x^2}{y^2}\mathrm{d}y=\int_1^2x^2\left(-\frac{1}{y}\right)\bigg|_{\frac{x}{2}}^x\mathrm{d}x$$=\int_1^2x^2\left(-\frac{1}{x}+\frac{2}{x}\right)\mathrm{d}x=\int_1^2x\mathrm{d}x=\frac{4}{3}$。4.解：增广矩阵$\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&2&1&3\\0&1&1&b\end{pmatrix}$，初等行变换$\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&1&1&2\\0&1&1&b\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&1&1&2\\0&0&0&b-2\end{pmatrix}$，为使方程组有解，需$b-2=0$，即$b=2$，此时$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。5.解：增广矩阵$\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&3&a&3\\1&2&3&b\end{pmatrix}$，初等行变换$\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-2&1\\0&1&2&b-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-2&1\\0&0&4-a&b-2\end{pmatrix