2022数学一期末试卷（历年真题分类汇编）

2022数学一期末试卷（历年真题分类汇编）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=2$，则当$h\to0$时，$f(x_0+h)-f(x_0)$与$h$是同阶无穷小，但不是等价无穷小。下列说法正确的是：（A）$f(x_0)$必为极值点（B）$f(x)$在$x_0$处必单调递增（C）$f(x)$在$x_0$处不可微（D）$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{\sqrt{h}}$存在2.已知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-1)^n$的收敛域为$[0,2)$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-1)^{n-1}$的收敛域为：（A）$[0,2]$（B）$(0,2)$（C）$[0,2)$（D）$(0,2]$3.设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1,\frac{\partialf}{\partialx}(1,1)=2,\frac{\partialf}{\partialy}(1,1)=-1$，则$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)+(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}$的值为：（A）1（B）0（C）-1（D）不存在4.设函数$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，则$y^{(2019)}(0)$的值为：（A）$(-1)^{2019}\cdot\frac{2019!}{2}$（B）$(-1)^{2018}\cdot\frac{2018!}{2}$（C）$(-1)^{2019}\cdot\frac{2018!}{2}$（D）$(-1)^{2018}\cdot\frac{2019!}{2}$5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。下列说法正确的是：（A）若$f(x)\neq0$，则$f'(x)\equiv0$（B）若$f(x)\neq0$，则必存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)\neq0$（C）若$f(x)\equiv0$，则$f'(x)\equiv0$（D）若$f(x)\equiv0$，则必存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)\neq0$6.设函数$y=x^3-3x^2+2$，则其拐点的个数为：（A）0（B）1（C）2（D）37.已知函数$y=\frac{x^2}{x-1}$，则其渐近线的条数为：（A）1（B）2（C）3（D）48.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)$等于：（A）$\sin(x^2)$（B）$x\sin(x^2)$（C）$\cos(x^2)$（D）$x\cos(x^2)$9.已知函数$y=\ln(x+1)$，则其$n$阶导数$y^{(n)}(x)$在$x=0$处的值为：（A）$(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!$（B）$(-1)^{n}\cdotn!$（C）$(-1)^{n-1}\cdotn!$（D）$(-1)^{n}\cdot(n-1)!$10.设函数$y=\frac{\sinx}{x}$，则其原函数不可积。下列说法正确的是：（A）$\int\frac{\sinx}{x}dx$存在（B）$\int\frac{\sinx}{x}dx$不存在（C）$\int_0^1\frac{\sinx}{x}dx$存在（D）$\int_0^1\frac{\sinx}{x}dx$不存在二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）1.设函数$y=\ln(\sinx)$，则$y'=\frac{\cosx}{\sinx}$，$y''=-\frac{\sinx}{\sin^2x}$。2.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则$f'(x)=\sin(x^2)$，$f''(x)=2x\cos(x^2)$。3.设函数$y=x^3-3x^2+2$，则其极值点为$x=1$，$y=0$，$x=2$，$y=-2$。4.设函数$y=\frac{x^2}{x-1}$，则其铅直渐近线为$x=1$，水平渐近线为$y=1$。5.设函数$y=\ln(x+1)$，则其$n$阶导数$y^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(x+1)^n}$，$y^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!$。6.设函数$y=\frac{\sinx}{x}$，则其原函数不可积，因为$\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处不连续。三、解答题（共6小题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，证明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。2.（10分）设函数$y=x^3-3x^2+2$，求其极值点、拐点、单调区间和凹凸区间。3.（10分）设函数$y=\frac{x^2}{x-1}$，求其渐近线方程。4.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，求$f'(x)$和$f''(x)$。5.（10分）设函数$y=\ln(x+1)$，求其$n$阶导数$y^{(n)}(x)$，并计算$y^{(2019)}(0)$的值。6.（10分）设函数$y=\frac{\sinx}{x}$，讨论其原函数是否可积，并说明理由。【标准答案及解析】一、单项选择题1（D）解析：由题意知$f(x)$在$x_0$处可导，且$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=2$，因此$f'(x_0)=2$。选项（A）错误，因为$f'(x_0)=2\neq0$，不能说明$f(x_0)$为极值点；选项（B）错误，因为$f'(x_0)=2>0$，只能说明$f(x)$在$x_0$处单调递增，但不能说明在整个区间上单调递增；选项（C）错误，因为$f(x)$在$x_0$处可导，必可微；选项（D）正确，因为$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{\sqrt{h}}=\lim_{h\to0}\frac{2h}{\sqrt{h}}=2\sqrt{2}$存在。2（D）解析：由题意知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-1)^n$的收敛域为$[0,2)$，因此收敛半径$R=1$，中心点为$x=1$。级数$\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-1)^{n-1}$是原级数的导数，其收敛半径与原级数相同，但收敛域可能发生变化。当$x=0$时，$(x-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}$，级数变为$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n$，发散；当$x=2$时，$(x-1)^{n-1}=1$，级数变为$\sum_{n=1}^{\infty}n$，发散；当$x=1$时，级数为0，收敛；因此收敛域为$(0,2]$。3（B）解析：由题意知$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，因此$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)+(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$。这是因为可微的定义为$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-\frac{\partialf}{\partialx}(1,1)(x-1)-\frac{\partialf}{\partialy}(1,1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$，代入已知条件得$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)+(-1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$，即$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-2(x-1)+(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$。4（A）解析：由题意知$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，则$y'=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，$y''=-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}$。因此$y^{(2019)}(x)$的通项公式为$y^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(1+x^2)^{n/2}}$，代入$x=0$得$y^{(2019)}(0)=\frac{(-1)^{2018}\cdot2018!}{2}$。5（C）解析：由题意知$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则由罗尔定理知存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。选项（A）错误，因为$f(x)\neq0$不能说明$f'(x)\equiv0$；选项（B）错误，因为$f(x)\neq0$不能说明$f'(\xi)\neq0$；选项（C）正确，因为$f(x)\equiv0$时，$f'(x)\equiv0$；选项（D）错误，因为$f(x)\equiv0$时，$f'(x)\equiv0$，不能说明$f'(\xi)\neq0$。6（C）解析：由题意知$y=x^3-3x^2+2$，则$y'=3x^2-6x$，$y''=6x-6$。令$y''=0$得$x=1$，因此拐点为$(1,-1)$。又当$x>1$时，$y''>0$，$y$凹向上；当$x<1$时，$y''<0$，$y$凹向下。因此拐点为$(1,-1)$，共2个。7（B）解析：由题意知$y=\frac{x^2}{x-1}$，则当$x\to1$时，$y\to\infty$，因此$x=1$为铅直渐近线；当$x\to\infty$时，$y\to1$，因此$y=1$为水平渐近线。因此共有2条渐近线。8（A）解析：由题意知$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则由微积分基本定理得$f'(x)=\sin(x^2)$。9（C）解析：由题意知$y=\ln(x+1)$，则$y'=\frac{1}{x+1}$，$y''=-\frac{1}{(x+1)^2}$，$y'''=\frac{2}{(x+1)^3}$，以此类推，$y^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(x+1)^n}$，代入$x=0$得$y^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!$。10（B）解析：由题意知$y=\frac{\sinx}{x}$，则当$x\to0$时，$\frac{\sinx}{x}\to1$，因此原函数不可积，因为$\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处不连续。二、填空题1.$\frac{\cosx}{\sinx}$，$-\frac{\sinx}{\sin^2x}$解析：由题意知$y=\ln(\sinx)$，则$y'=\frac{1}{\sinx}\cdot\cosx=\frac{\cosx}{\sinx}$，$y''=\frac{-\sinx}{\sinx}-\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{\sinx}{\sin^2x}$。2.$\sin(x^2)$，$2x\cos(x^2)$解析：由题意知$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$，则由微积分基本定理得$f'(x)=\sin(x^2)$，$f''(x)=2x\cos(x^2)$。3.$x=1$，$y=0$，$x=2$，$y=-2$解析：由题意知$y=x^3-3x^2+2$，则$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$得$x=0$，$x=2$，$y(0)=2$，$y(2)=-2$，因此极值点为$x=0$，$y=2$，$x=2$，$y=-2$。4.$x=1$，$y=1$解析：由题意知$y=\frac{x^2}{x-1}$，则当$x\to1$时，$y\to\infty$，因此$x=1$为铅直渐近线；当$x\to\infty$时，$y\to1$，因此$y=1$为水平渐近线。5.$\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(x+1)^n}$，$(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!$解析：由题意知$y=\ln(x+1)$，则$y'=\frac{1}{x+1}$，$y''=-\frac{1}{(x+1)^2}$，$y'''=\frac{2}{(x+1)^3}$，以此类推，$y^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(x+1)^n}$，代入$x=0$得$y^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!$。6.不可积，因为$\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处不连续解析：由题意知$y=\frac{\sinx}{x}$，则当$x\to0$时，$\frac{\sinx}{x}\to1$，因此原函数不可积，因为$\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处不连续。三、解答题1.证明：由题意知$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则由罗尔定理知存在$\xi_1\in(a,b)$，使得$f'(\xi_1)=0$。又由题意知$f(x)$在$(a,b)$内可导，因此$f'(x)$在$(a,b)$内连续，则由介值定理知存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。2.解：由题意知$y=x^3-3x^2+2$，则$y'=3x^2-6x$，$y''=6x-6$。令$y'=0$得$x=0$，$x=2$，$y(0)=2$，$y(2)=-2$，因此极值点为$x=0$，$y=2$，$x=2$，$y=-2$。令$y''=0$得$x=1$，因此拐点为$(1,-1)$。又当$