2025年北京航空航天大学高等代数押题卷（历年真题分类汇编）

2025年北京航空航天大学高等代数押题卷（历年真题分类汇编）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设V是实数域R上的三维线性空间，β={α₁,α₂,α₃}是V的一个基，α=2α₁-α₂+α₃。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎦，则T(α)在基β下的坐标为（）A.(4,-2,3)B.(2,-1,1)C.(6,-3,4)D.(3,-1,2)2.设A是n阶矩阵，若存在正整数k使得A^k=0，则称A为幂零矩阵。下列命题正确的是（）A.幂零矩阵的行列式一定为0B.幂零矩阵的特征值一定为0C.幂零矩阵一定可对角化D.幂零矩阵的秩一定小于n3.设V是实数域R上的四维线性空间，β={β₁,β₂,β₃,β₄}是V的一个基，α=β₁+β₂+β₃+β₄。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎢1000100010001⎤⎥⎥⎥⎦，则T(α)在基β下的坐标为（）A.(4,3,2,1)B.(1,2,3,4)C.(3,2,1,4)D.(2,3,4,1)4.设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，若A²=A，则B⁻¹AB一定满足（）A.B⁻¹AB=IB.B⁻¹AB=AC.B⁻¹AB=0D.B⁻¹AB=B5.设V是实数域R上的三维线性空间，β={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，α₁=β₁+β₂，α₂=β₂+β₃，α₃=β₃+β₁。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎦，则T(α₁+α₂+α₃)在基β下的坐标为（）A.(6,4,2)B.(2,4,6)C.(4,2,6)D.(2,6,4)6.设A是n阶矩阵，若A的特征值全为0，则下列结论正确的是（）A.A一定可对角化B.A一定为幂零矩阵C.A的秩一定小于nD.A一定为对称矩阵7.设V是实数域R上的三维线性空间，β={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，α=β₁+β₂+β₃。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎦，则T²(α)在基β下的坐标为（）A.(-2,1,1)B.(1,-2,1)C.(1,1,-2)D.(1,1,1)8.设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，若A²=A，则B⁻¹AB+B⁻¹A一定满足（）A.B⁻¹AB+B⁻¹A=IB.B⁻¹AB+B⁻¹A=AC.B⁻¹AB+B⁻¹A=0D.B⁻¹AB+B⁻¹A=B9.设V是实数域R上的四维线性空间，β={β₁,β₂,β₃,β₄}是V的一个基，α=β₁+β₂+β₃+β₄。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎢1000100010001⎤⎥⎥⎥⎦，则T³(α)在基β下的坐标为（）A.(0,0,0,0)B.(4,3,2,1)C.(1,2,3,4)D.(3,2,1,4)10.设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，若A²=A，则B⁻¹AB-B⁻¹A一定满足（）A.B⁻¹AB-B⁻¹A=IB.B⁻¹AB-B⁻¹A=AC.B⁻¹AB-B⁻¹A=0D.B⁻¹AB-B⁻¹A=B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在题中横线上。）1.设V是实数域R上的三维线性空间，β={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，α₁=β₁+β₂，α₂=β₂+β₃，α₃=β₃+β₁。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎥⎦，则T(α₁)在基β下的坐标为________。2.设A是n阶矩阵，若A的特征值全为0，则A的秩的最大值为________。3.设V是实数域R上的四维线性空间，β={β₁,β₂,β₃,β₄}是V的一个基，α=β₁+β₂+β₃+β₄。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎢1000100010001⎤⎥⎥⎥⎦，则T(α)在基β下的坐标为________。4.设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，若A²=A，则B⁻¹AB-B⁻¹I一定满足________。5.设V是实数域R上的三维线性空间，β={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，α₁=β₁+β₂，α₂=β₂+β₃，α₃=β₃+β₁。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎥⎦，则T(α₂)在基β下的坐标为________。6.设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，若A²=A，则B⁻¹AB+B⁻¹I一定满足________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设V是实数域R上的三维线性空间，β={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，α₁=β₁+β₂，α₂=β₂+β₃，α₃=β₃+β₁。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎥⎦，求T在基α={α₁,α₂,α₃}下的矩阵。2.（10分）设A是n阶矩阵，若A的特征值全为0，证明A的秩一定小于n。3.（10分）设V是实数域R上的四维线性空间，β={β₁,β₂,β₃,β₄}是V的一个基，α=β₁+β₂+β₃+β₄。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎢1000100010001⎤⎥⎥⎥⎦，求T的值域和核的维数。4.（10分）设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，若A²=A，证明B⁻¹AB=B⁻¹A。5.（10分）设V是实数域R上的三维线性空间，β={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，α₁=β₁+β₂，α₂=β₂+β₃，α₃=β₃+β₁。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎥⎦，求T²在基β下的矩阵。6.（20分）设A是n阶矩阵，B是n阶可逆矩阵，若A²=A，证明存在可逆矩阵P使得P⁻¹AP=diag(I_m,0)其中m为A的非零特征值的个数。四、证明题（本大题共2小题，共20分。证明题需写出详细的证明过程。）1.（10分）设V是实数域R上的三维线性空间，β={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，α₁=β₁+β₂，α₂=β₂+β₃，α₃=β₃+β₁。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎣100-101-110-101-1⎤⎥⎥⎦，证明T是可逆的。2.（10分）设A是n阶矩阵，若A的特征值全为0，证明存在非零向量x使得Ax=0。五、综合应用题（本大题共1小题，共20分。综合应用题需结合多个知识点进行解答。）设V是实数域R上的四维线性空间，β={β₁,β₂,β₃,β₄}是V的一个基，α=β₁+β₂+β₃+β₄。若线性变换T在基β下的矩阵为A=⎡⎢⎢⎢1000100010001⎤⎥⎥⎥⎦，求T的值域和核的维数，并给出具体的证明过程。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：α在基β下的坐标为(1,-1,1)，T(α)=2T(α₁)-T(α₂)+T(α₃)=2(2α₁-α₂+α₃)-(-α₁+α₂+α₃)+(α₁-α₂+α₃)=4α₁+α₂-2α₃=4(β₁+β₂)-2(β₂+β₃)+2(β₃+β₁)=6β₁+2β₂=4β₁-2β₂+3β₃=(4,-2,3)2.B解析：若A的特征值全为0，则A的特征多项式为λⁿ，因此A的特征值全为0，根据特征值的性质，A的特征值之和为tr(A)=0，因此A的秩小于n。3.A解析：α在基β下的坐标为(1,1,1,1)，T(α)=T(β₁+β₂+β₃+β₄)=T(β₁)+T(β₂)+T(β₃)+T(β₄)=A(1,1,1,1)T=4(1,1,1,1)=(4,3,2,1)4.B解析：A²=A，则A(A-I)=0，B⁻¹AB(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹A-I)=0，因此B⁻¹AB=B5.C解析：α₁+α₂+α₃=3β₁+3β₂+3β₃=3(β₁+β₂+β₃)=3α，T(α₁+α₂+α₃)=3T(α)=3(2α₁-α₂+α₃)=6α₁-3α₂+3α₃=6(β₁+β₂)-3(β₂+β₃)+3(β₃+β₁)=4β₁+2β₂+2β₃=(4,2,6)6.B解析：若A的特征值全为0，则A的特征多项式为λⁿ，因此A的特征值全为0，根据特征值的性质，A的特征值之和为tr(A)=0，因此A的秩小于n。7.A解析：α在基β下的坐标为(1,1,1)，T²(α)=T(T(α))=T(2α₁-α₂+α₃)=2T(α₁)-T(α₂)+T(α₃)=2(2α₁-α₂+α₃)-(-α₁+α₂+α₃)+(α₁-α₂+α₃)=-2α₁+α₂-2α₃=-2(β₁+β₂)+2(β₂+β₃)-2(β₃+β₁)=(-2,1,1)8.C解析：A²=A，则A(A-I)=0，B⁻¹AB(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹A-I)=0，因此B⁻¹AB+B⁻¹A=09.A解析：α在基β下的坐标为(1,1,1,1)，T³(α)=T²(T(α))=T²(T(α₁+α₂+α₃))=T²(3α)=9T²(α)=9T(3α)=9T(3α₁-3α₂+3α₃)=27T(α₁)-27T(α₂)+27T(α₃)=27(2α₁-α₂+α₃)-27(-α₁+α₂+α₃)+27(α₁-α₂+α₃)=010.D解析：A²=A，则A(A-I)=0，B⁻¹AB-B⁻¹A=B⁻¹A(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹A-I)=0，因此B⁻¹AB-B⁻¹A=B二、填空题1.(2,-1,1)解析：α₁在基β下的坐标为(1,1,0)，T(α₁)=A(1,1,0)T=(2,-1,1)2.n-1解析：若A的特征值全为0，则A的秩的最大值为n-13.(1,1,1,1)解析：α在基β下的坐标为(1,1,1,1)，T(α)=A(1,1,1,1)T=(1,1,1,1)4.0解析：A²=A，则A(A-I)=0，B⁻¹AB-B⁻¹I=B⁻¹A(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹A-I)=0，因此B⁻¹AB-B⁻¹I=05.(1,-1,1)解析：α₂在基β下的坐标为(0,1,1)，T(α₂)=A(0,1,1)T=(1,-1,1)6.I解析：A²=A，则A(A-I)=0，B⁻¹AB+B⁻¹I=B⁻¹A(B⁻¹AB+I)=B⁻¹A(B⁻¹A+I)=I三、解答题1.解：设T在基α={α₁,α₂,α₃}下的矩阵为B，则有[T(α₁),T(α₂),T(α₃)]=B[α₁,α₂,α₃]=B[β₁,β₂,β₃]A⁻¹即[T(α₁),T(α₂),T(α₃)]=B[α₁,α₂,α₃]=B[β₁,β₂,β₃]A⁻¹其中[α₁,α₂,α₃]=P[β₁,β₂,β₃]，P为过渡矩阵P=[α₁,α₂,α₃][β₁,β₂,β₃]⁻¹P=[β₁+β₂,β₂+β₃,β₃+β₁][β₁,β₂,β₃]⁻¹P=[1,0,1;1,1,0;0,1,1]A⁻¹=([100;-1,0,1;-1,1,-1]⁻¹=[1,-1,1;1,0,-1;1,1,0]B=PAP⁻¹B=[1,0,1;1,1,0;0,1,1][100;-1,0,1;-1,1,-1][1,-1,1;1,0,-1;1,1,0]⁻¹B=[1,1,1;1,2,1;1,1,2]故T在基α={α₁,α₂,α₃}下的矩阵为B=[1,1,1;1,2,1;1,1,2]2.证明：设A的特征值全为0，则A的特征多项式为λⁿ，因此A的特征值全为0，根据特征值的性质，A的特征值之和为tr(A)=0，因此A的秩小于n。3.解：T的值域为{T(α)|α∈V}，T的核为{α∈V|T(α)=0}T(α)=T(β₁+β₂+β₃+β₄)=T(β₁)+T(β₂)+T(β₃)+T(β₄)=A(1,1,1,1)T=(1,2,1,0)值域为1维子空间，核为3维子空间4.证明：A²=A，则A(A-I)=0，B⁻¹AB(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹AB-I)=B⁻¹A(B⁻¹A-I)=0，因此B⁻¹AB=B⁻¹A5.解：T²在基β下的矩阵为A²=([100;-1,0,1;-1,1,-1]²=[1,-1,1;1,0,-1;1,1,0]²=[2,-2,2;-2,1,-1;-2,-1,1])6.证明：A²=A，则A(A-I)=0，设A的非零特征值为λ₁,λ₂,...,λ_m，则存在可逆矩阵P使得P⁻¹AP=diag(λ₁,λ₂,...,