平抛运动典型例题

题型一:

例42（）1正在水平匀

速飞行的飞机，每隔1s释放一个小球，先后共释放5个，不计

空气阻力，则（）

A.这5个小球在空中处在同一条直线上

B.这5个小球在空中处在同一条抛物线上

C.在空中，第1、2两球间的距离保持不变

D.相邻两球的落地间距相等

解析:释放的每个小球都做平抛运动,水平分速度与飞机的

飞行速度相等，所以，每个小球落地前都位于飞机的正下方，即处

在同一条竖直线上，如图5-2-16所示.

图5-2-16

第1、2两球在空中的间矩：

励=与（计1）2-4■屋二枭（2什1）,

可见,A/i随时间的增加而增大.

相邻两球落地时的间距：

A%二%（什1）-卬=%,可见A#与时间无关.

综上所述，本题正确选项为A、D.

答案:AD

6.Point4,例2上海虹口区2013二模］某同学设计一个测

U及平抛运动初速度的实验装置，如图5-3-24所示，。点是小

球抛出点，在。点有一个频闪的点光源，闪光频率为30Hz,

在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃.在小球抛出后，当

光源闪光时，在毛玻璃上有一个小球的投影点，在毛玻璃右

边用照相机多次曝光的方法，拍摄小球在毛玻璃上的投影照

片.已知图中。点与毛玻璃水平距离乙=1.2m,两个相邻小

球投影点的实际距离加，=5cm,则小球在毛玻璃上的投影像

点做运动，小球平抛运动的初速度是

•m/s.(g取10m/s2)

图5-3-24

题型二:

Point4,:.圜画I、年浙江省嘉兴

如图5-3-22所

示，某同学为「找出做平抛运动的物

体初速度之间的关系，用一个小球在0

点对准前方的一块竖直放置的挡板,0

与4在同一高度，小球的水平初速度

图5-3-22

分别是以上、内，打在挡板上的位置分

别是B、C、。,且48：BC：CD=1：3：5,则以、%、%之间的

正确关系是()

A.%:%%=3：2：1B.叫：与：%=5：3：1

C.vt：%；%=6：3：2D.%:%%=9：4：1

题型三:

a

解平抛运动

图3如图5-

Z2-6所示，墙壁上落有两只飞镖,它们是从同一位置水平射出

的，飞镖甲与竖直墙壁成。=53。角，飞镖乙与竖直墙壁成乃=

37。角，两者相距为，.假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点

肉墙壁的水平距离为多少.(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

甲

乙

图5-Z2-6

解析：设射出点P离墙壁的水平距离为乙,飞镖甲下降的

高度儿，飞镖乙下降的高度%,根据平抛运动的重要推论可

知，两长镖速度的反向延长线•定通过水平位移的中点。，如

图5-Z2-7所示，由此得：

9卷-失六=WRA数值得入罕

答案警

题型四:

/(2)巳知轨迹不知抛出点

；①曲线上取三点力、3、。，使打〃=

he三“，如图5-3-4所示，用刻度尺分

别测出九、y八九，则有7AR=»-八，

yBc=Ye，平抛运动在水'F*方向上为

匀速直线运动，则物体从4到b和从

8到C运动时间相等，设为八竖直方

向由自由落体运动推论得YBC-YAH=gr,且v0T=x.

Hl上式彳导Vo="人/—4■

一^_________Ya

②利用上述条件还可求当理世史史他首，具体方法如F：

先求方金直分速度N=在赞，故8点距抛出点的竖直距

W空出点落到B点所用时间为吟，故B点距抛

出看的水平赢力产为勿，从而找出抛出点的位置・

例2i1)1r如国5-3-

9所示是“研究做平抛运动的物体”的实验装置图.图5-3-10

是实验后记录的数据，其中。点为抛出点，则此小球做平抛运

动的初速度为m/s.(重力加速度g取9.8m/s?)

图5-3-9图5-3-10

解析：由平抛运动的规律得水平方向上小球做匀速直线运

动，则%=%£①

竖直方向上小球做自由落体运动，则下十城②

将其中一组数值如欠=32.0cm、y=19.6cm代入①②式得

%=1・6m/s.

答案J6

已知平抛运动的部分轨迹求初速度

例3[-T013i某同学在做研究平

抛运动实验时，未记下斜槽末端点的位置，记下了重垂线方向

九只描出如图5-3-11所示的一段轨迹，依此图加一把刻度

尺,如何计算出平抛物体的初速度%?

图5-3-11图5-3-12

解析：平抛物体在水平方向上做匀速出线运动，竖直方向

I二做自由落体运动，找出水平方向[二的相邻两段等距位移，再

找出相对应的下落位移，列出相应的关系式即可求解.为了求

出平抛物体的初速度，要画出三条等距（AO、平行于y轴的竖

直线与轨迹交于A、8、C三点，如图5-3-12所示，然后分别过

zl、8、C三点作出三条水平线，4、5两点间的竖宜距阕为以、/1、

。两点间的竖直距离为左，根据以上数据就可计算出小

设t为相邻两个点的时间间隔，则有

YBC-YAB=g『，即（%f）-%="•

又Ax=%小。=华，解得%=J,.^^一.

ORISiflS【答案见173页］

1.某同学在做研究平抛运动的实

验时,忘记记下斜槽末端位置,

图5-3-13中的4点为小球运

动一段时间后的位置，他便以

4点为坐标原点，建立了水平

方向和竖直方向的坐标轴，得

到如图5-3-13所示的图象，试根据图象求出小球做

平抛运动的初速度（g取10m/s2）.

例5在研究物体平抛运动的实验中,某同学记录了4、8、

C三点，并以4点为坐标原点建立了坐标系，各点的坐标如图

5-3-15所示,求平抛运动的初始位置坐标（g取10m/s?）

解析：由图5-3-15可知,在水平方向上,48和3c距离相

等,则时间间隔也相等，设为£,在竖直方向上有力c-y加二，

水平方向上有力=*

由此求得f=0.ls,初速度%=1m/s.

又设小球在B点时竖直分速度为必八则

AC0.4/c/

%=五Y二疝1nMs=2m/s.

又设小球从开始运动到B点所用时间为功，则

〃=%=看8=0.2s.

g10,

这说明小球到达4点之前已下落的时间

%T=0.1s.设下落的高度为A/i,则

=-y-xl0x0.I2m=0.05m.

小球到达4点之前水平方向上的距离

Sx=votA=1x0.1m=0.1m.

则抛出点在A点的上方5cm,左侧10cm处,

即抛出点的坐标为（-10,-5）.

答案:（-10,-5）’

8.二Poin,t阴4,va某同学通过实・商O4080120

25P>J；

平抛运动进行研究，他在竖直墙上记

录了抛物线轨迹的一部分,如”3-

26所示.0点不是抛出点,X轴沿水平

方向，由图中所给的数据可求出平抛

运动的初速度是_____皿“走出点图5-3-2

的坐标“=rn,>=m.（g取10m/s2）

类型六:

例题6中难题一2011•烟台检测

据统计我国每年死于交通事故的人数至少有10万・在发生的交通事

故中，碰撞占了相当大的比例，事故发生散落

时，车体上的部分物体（例如油漆碎片、车物B_

散落卜［

灯、玻璃等）会因碰撞而脱离车体，位于车

辆上不同高度的两个物体散落在地面上的物4/））

位置是不同的，据此可以测定碰撞瞬间汽

车的速度，这对于事故责任的认定具有重

要的作用.《中国汽车驾驶员》杂志第163图5-2-15

期发表了一篇文章，文章给出了一个计算碰撞前的瞬间车辆速度的公式,

=在式中AL是事故现场散落在路面上的两物体沿

公路方向上的水平距离,%、%是散落物在车上时的离地高度，如图5-

2-15所示.只要用米尺量出事故现场的V八八三个埴，根据上述公式

就能够计算出碰撞瞬间车辆的速度（g取9.8m/s?）.请用所学的物理知

识说明这一公式的正确性.

【解析】根据平抛运动知识，散落物4的落地时间八=

散落物3的落地时间”=

散落物4的水平位移距=

散落物8的水平位移％2=

且/-X2;AL,根据以上公式可得&=，49x—.

Vh\-Vh2

这说明题述关系正确.

.1

类型七:

三、落点在斜面上的平抛运动

在斜面上以不同的初速度水平抛出的物体.若落点仍在

斜面上，则存在以下规律：

（1）物隹的竖直位移与水平位移之比息同=二个常数■.汝小

常楚堇狰面倾角的fl沏鱼；

（2）物体的J运动日寸间与初速度成正比；Zg，"二斗二沙

（3）您便落在斜面上•位移方向相同,都沿斜面型1；:..

（4）物佐送在型回上时速度与回邨平行；七二ZE-J

典例7如图所示，从倾角为。的斜面

上的某点先后将同一小球以不同的初

速度水平抛出，均落到斜面上.当抛出

的初速度为灯时,小球到达斜面时速度

方向与斜面的夹角为仇；当抛出的初速度为以时，小球到达

斜面时速度方向与斜面的夹角为名.不考虑空气阻力的影

响，则有

A.ex可能大于必

B.d可能小于当

C.仇一定等于名

0.仇、夕2的大小关系与斜面的倾角a有关

(5)啰些速度为血与斜国垩立时豳体亶斜面的奥那

最远.

方法二:对于物体在斜面上的平抛，

可把平抛运动分解为垂直斜面的匀减建

直线运动和平行斜而I勺方加速直线运动

=VQCOSO「Q〃=gsin。，

进行分析，则《

二％sin。，lax=gcos^o

例5如图所示，46为斜面，倾角为

30。，小球从4点以初速度与水平抛

出，恰好落到8点。求：

(1)4、5间的距离；

(2)物体在空中飞行的时间；

(3)从抛出开始，经多长时间小球与斜面间的距离最大？

最大距禽多大？

.解析,(1)(2)设飞行时间为£,则：水平方向位移：如COS30。=

叫竖直方向位移33。。=+",解得,二曾3„30。=签

(3)设抛出〃时间后小球与斜面间距

离最大，可知此时的速度。'与斜面平行,

由如图所示的速度三角形可知区=

力。

――粤。

上面的方法是从常规的分解运动的方法来研究斜面上的

平抛运动的，还可以变换一个角度去研究。

如图所示，把切速度与、重力加

速度g都分解成沿着斜面和垂直斜

面的两个分量。在垂直斜面方向上，

小球做的是以％为初速度、呢为加

速度的“竖直上抛”运动。

小球到达离斜面被远处时，速度外

%_%sin-

得W

gygCOSj

4_Wsi/30。_73t;o

小球离斜面的最大距离

2g>2^cos30°—12g

典例8如图所示，在倾角为。的

斜面顶端,4处以速度为水平抛出

一小球，小球落到斜面上B处时的

速度方向与水平方向的夹角为

劭•设空气阻力不计，我们分析下

面的儿个问题.

问题1:求小球从4处运动到B处所需的时间、小球落到B处

时的速度大小及4、8间的距离.--

问题2：从小球抛出时开始计时,经过多长时间小球陶斜面的

距点汰弱I情大？离斜面的最大距离是多少？

问题3：若将此球改为用2%的水平速度抛出，与斜面接触时

速度方向与水平方向的夹角为牝，则下列关系正确的是

（）

A.6>（p2B.3］<

C.（px-（p2D・2夕］=（P2

问题4：在斜面上同一点先后以％和2%的速度水平抛出甲、

乙两个小球，则从抛出至第一次落到斜面上（或水平面上），

两小球的水平位移大小之比可能为（）

A,l：2B.l：3C.l：4D.1：5

类型八：

2.平抛运动的两个重要推论

推论I:做平抛（或类平抛）运动的物体，若在任一时刻、

任一位置处其末速度方向与水平方向的夹角为。，位移与水平

方向的夹角为3,则tan^=2tan^?o

推论n:做平抛（或类平抛）运动的物体，任意时刻的瞬时

速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A

点和B点。

2、从分解速度的角度进行解题

对于一个做平抛运动的物体来说，假如知道了某一时刻的速度方向，

则我们经常是“从分解速度”的角度来探讨问题。

［例2］如图2甲所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段

时间后，垂直地撞在倾角防30°的斜面上。可知物体完成这段飞行的时

间是

A.2sC.43sD.2s

3

v

・o

0

甲

［例3］在倾角为。的斜面上的P点,以水平速度％向斜面下方抛出一

个物体，落在斜面上的Q点，证明落在Q点物体速度P=%后3o

2.如图5-Z2-14所示，两个相对

的斜面，倾角分别为仪=37。和8=53。.

在顶点把两个小球以同样大小的初速

度分别向左、右水平抛出，小球都落在

斜面上.若不计空气阻力，则a、b两个小

球的运动时间之比为

A.1：1B.4：3

C.16：9D,9：16

类型九:

典利用轨迹方程求解平抛运动

yr，同

j?o-►

殳邮图5-Z》二川所示,从高为H

一一~物体,其水平射程为2s,在

4o*

M

点正上方高为的点，向同一方向

42H8N

平抛另一物体，其水平射程为s.两物体轨

图5-Z2-11

迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏

MN的顶端擦过,求屏的高度.

解析:如图5-Z2-12所示，物体从A、

R两点抛出后的运动轨迹都是顶点在y

轴上的抛物线，即可设两轨迹方程分别为

%=七%；+24.

因为C、。在抛物线上,把坐标c（25,0）

和〃（s,0）分别代入以上两方程，从而求图5-Z2-12

出a］、02，进而可得方程组：

y产*4+，

过M点时，乃=力，的二町，

解这个方程组，得力=,2=竽，

即为屏的高度、

答案等/

类型十：临界问题

模型讲解：（排球不触网且不越界问题）

模型简化（运动简化）：将排球看成质点,把排球在空中的运动看成

平抛运动。

问题：标准排球场场总长为L=18m,宽12=9m女排网高h=2.24m如上

图所示。若运动员在3m线上方水平击球，则认为排球做类平抛运动。

分析方法：设击球高度为H,击球后球的速度水平为Vo.当击球点高度为H

肯定时，击球速度为5时恰好触网；击球速度为久时恰好出界。当击球点

高度为h时，击球速度为u时，恰好不会触网，恰好不会出界，其运动轨迹

分别如下图中的（a）、（b）、（c）所示。

U)(c)

如图（a）、（b）当击球点高度为H肯定时，要不越界，需飞行的水平距离

+3m=12m

由于

I=%，

H

因此，1=%后〈12耐,不越界。

结论：

①若H肯定时,则V。越大越易越界,要不越界，需%〈七=12

2HVZH

Vg

②若V。肯定时，则H越大越易越界，越不越界，需

122g_144g_728

11、——

2%2%2vc

如图（c）要不触网，则需

竖直高度：H-h>^gt2

水平距离：v0/=3m

以上二式联立得：

2%

结论：

1）若H肯定（（H一万户定）时，则V。越小，越易触网。要不触网，需

%>3」-~\

2）若V。肯定时，则H越小，越易触网。要不触网，需”>/?+叁

总结论:

①当H肯定时，不触网也不越界的条件是：

（即当H肯定时，速度太大太小均不行，太小会触网，太大又易越界）

②若V。肯定时'且V。在3石与<%〈卷卜12恁）之外

V8

即%>卷或％<3占高则无论初速度多大，结果是或越界或触网。

g

简言之：3恪〉需(也即时,无论初速度多大，结果是或

V21112\H~)\13/

Vg

越界或触网。

例：如图所示，排球场总长为18m,设网的高度为2m,运动员站在离

网3m远的线上正对网前竖直向上跳起把球垂直于网水平击

出。(g=10®)

(1)设击球点的高度为2.5m,问球被水平击出时的速度在

什么范围内才能使球既不触网也不出界。

(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多

大，球不是触网就是出界，试求出此高度。

15抛体运动在各类体育项目中很常见，如乒乓球

发球问题，设球台长2L,网高力•乒乓球反弹前后水平分速

度不变，骁直分速度大小不变，方向相反，且不考虑乒乓球

的旋转和空气阻力.(设重力加速度为g)

(1)若球在球台边缘。点正上方高度为明处以速度

以水平发出，落在球台的P.点(如图4.1-34实线所示)，

求尸］点距。点的距离了.

(2)若球在。点正上方以

速度02水平发出，恰好在最

高点时越过球网落在球台的

P2点(如图4.1-34中虚线所

示)，求露2的大小.

(3)善球在。点正上方水

平发出后，球经反弹恰好越过

球网且刚好落在对方球台边

缘匕处，求发球点距。点的

高度心.

图4.1-35

【解析】(1)如图4.1

35所示，设发球高度为3

时•飞行时间为右，根据平抛

运动的规律得

①

工］h②

联立①②解得/=PWY~

(2)如图4.1-35所示•设发球高度为演，飞行时间为

，2，同理得人2=弓-g，，1③

才2=~2.④

且小=人⑤

2X2=L•-⑥

联立③〜⑥得V2h9•

(3)如图4.1-36所示，设发

球高度为h3时，飞行时间为

同理得

刀3=聂4⑦

X3=V3Z3⑧图4.1・36

且3#3=2L.⑨

设球从恰好越过球网到最高点的时间为£,水平距离

为一有/一刀=⑩

乙

$=即⑪

由几何关系知％+s=L⑫

联立⑦〜⑫式，解得力3=4儿

,3•

【答案】⑶下

类型十一：

Q类平抛问题

一般来说,质点受恒力作用具有恒定的加速度，初速

度与恒力垂直，质点的运动就与平抛运动类似，通常我们

把物体的这类运动称做类平抛运动・对于类平抛运动，可

以应用研究平抛运动的方法来研究、处理其运动规律•

如图4.1-37所示，将质量为m的小球从倾角

17

为0的光滑斜面上A点以速度CD

孙水平抛出(即先平行CD),

小球沿斜面运动到8点,已知

八点的高度为人则小球在斜面

上运动的时间为多少？小球到13

达B点时的速度大小为多少？

图4.1・37

【解析】小球在光滑斜面上做类平抛运动，沿斜面向

下的加速度a=gsm。,设由A运动到B的时间为，，则有

小球沿斜面向下的速度

=s=gsin8・焉翼=啰^・

因为，平=%，所以小球在8点的速度为

P=K+耳=+(而:二+2最

【答案】焉，'十2以

0平抛运动中的相遇问题

此类相遇和追及问题,解题思路通常是：

(D分析每个质点做的是什么性质的运动..|

(2)画好草图，并标明已知的物理量.

(3)抓住运动过程中两个质点的时间和空间上的联

系，列出相应的方程.-J

1如图L1~39所小.小球高地血高为H.以速

度4次抛出•此时在地面上另一小球B以速度％竖直

I二就若两小球能在空中相遇,则两小球开始时抛出点间

的水平•距离为多少？

【解析】设A与8相遇时间为，，则A下降高度为

九4=会「,

3上升的高度为/^二匕/一)如。

依题意有人A+M=H，

得v2Z=H,/=—,图4.1・39

-------/

V,H

则A,I3间的水平距离为$=%£=」一,

v2

v}H

【答案】—

%

19亚运会历史匕设项最多的一届射击比费--巨

哈亚运会神枪手的争夺已经收

靶•中国队将全部44枚金牌中

的27枚收入囊中.中国亚运军

团♦•第一金牌大户”的殊荣又将

毫无疑义地属于射击健儿・国

家射击队在进行模拟训练时使

用如图4.1-40所示的装置，

进行训练的运动员站在高"=

20m的塔顶，在地面上距塔顶水平距离为$处有一个电子

抛靶装置，圆形靶以速度％竖直向上抛出，当靶被抛出的

同时•运动员立即用特制手枪沿水平方向射击，子弹速度

%=100m/s.不计人的反应时间、抛处装置的高度及干弹

:在枪膛中的运动时间，且忽略空气阻力及靶的大小.（g取

$10m/s2）

（1）当s取值在什么范围时，无论与为何值都不能击

:中靶？<

（2）若s=100m,o=20m/s,试通过计算说明靶能否

E被击中.

【解析】（1）把抛靶装置放在子弹的射程以外•则不论

抛靶速度为何值,靶都无法被击中.

由H=，7=。1/•得等=20°m.

（2）若靶能被击中，那么击中处应在抛靶装置的正|:

方•设经历的时间为

1001

贝ij§=必［］=>，］=不菽s=1s

vi

5,1X1OXI2m=5m,

---1-^1=20X1m——1-X1OX12m=15m.

因为：Y|+》2=5mr-15m—20m=H,

所以靶恰好被击中.

【答案】（l）s>200m

（2）靶恰好被击中（计算过程见解析〉

有A.8,C三个小B(QA

球,A距地面较高，8其次.C最低.A,CC>TI

两球在同一竖直线上•相距10m,如图、'、、