2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第一章 空间向量与立体几何 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示

第一章空间向量与立体几何

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系L3.2空间向量运算的坐标表示

基础过关练

题组一空间向量的坐标表示

1.(多选题)(2023湖北黄冈红安一中月考)在空间直角坐标系。盯z中，

以下结论正确的是()

A.点A(1,3,・4)关于x轴的对称点的坐标为(・1,・3,4)

B.点P(-l,2,3)关于。孙平面对称的点的坐标是(-1,2,-3)

C.设i,j,Z分别是x,y,z轴正方向上的单位向量,若m=3i-2j+4k,则

m=(3,-2,4)

1,2),N(l,3,3)两点间的距离为3

2.(2023河南郑州登封月考)已知点P(2,3,-1)关于坐标平面。火)，的对

称点为Pi,点Pi关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的

对称点为P3,则点尸3的坐标为.

3.(2023湖北荆门一中月考)在三棱锥P-A3C中，ZABC=90°,PB_平

面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点，建立如图所示的

空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为.

N

题组二空间向量运算的坐标表示

4.(2023北京首师大附属密云中学月考)已知向量。二(3,5,-

1)"=(2,2,3),则向量2a-3b的坐标为()

A.(0,4,-11)B.(12,16,7)

C.(0,16,-7)D.(12,16,-7)

5.(2022河北任丘第一中学月考)设。为坐标原点,M(5,・

1,2),A(4,2,-1),若丽=荏,则点8的坐标为()

A.(-l,3,-3)B.(9,1,1)

C.(l,-3,3)D.(-9,-l,-l)

6.(2022河北石家庄第四中学月考)已知点A,B,C,D的坐标分别为

(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),6,5,3),且A,8,C,。四点共面，则

x=.

7.若向量。二(1,1,2),〃二(1,2,1),c=(1,1,1),则(c・a),2Z?=.

题组三利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题

8.(2022吉林长春外国语学校月考)如果4(1,5,-

1),B(2,4,1),C(a,3,A+2)三点共线，那么a-b=()

A.lB.2

C.3D.4

9.(多选题)(2023湖南怀化月考)已知空间中三点A(2,1,-

2),C(0,3,・1)加)

A.|AB|=TnB.AB1AC

C.cosZABC=^D.A,B,。三点共线

10.在△ABC中,NC=90°,A(l,2,-3Q,8(-2,1,0),C(4,0,-2%),贝ij"

()

A.VTOB.-VIO

C.2V5D.±A/10

11.(2023辽宁省实验中学月考)已知

OA=(1,2,3),OB=(2,A,3),OC=(4,2,&),若。A_L平面ABC,则2+k

的值是()

A.-B.-C.-D.-

3242

12.(2022天津河东期中)已知而二(-2,3,5),AC=(4,1,加,AD=(6,b,-

2).

⑴若四边形A3CQ为平行四边形，求实数〃,〃的值；

⑵若四边形ABCD的对角线互相垂直,求实数a,b满足的关系式.

题组四利用空间向量的坐标运算求夹角和模

13.若向量〃=(1,-2,3),b=(-2,3,-1),则|〃+2勿=()

A.2V7B.5

C.V26D.4企

14.(2023河南郑州中学月考)若△ABC的三个顶点分别为

A(0,0,&)，⑹,C(-l,0,a),则角4的大小为.

能力提升练

题组一空间向量的坐标运算

1.(2023广东佛山南海中学月考)已知空间向量斫(2,・1,2),氏(1,・

2,1),则向量。在向量。上的投影向量是()

B.(2,-1,2)

D.d,-2,1)

2.(2023河南许昌高级中学月考)已知a-(cosa,-1,sina),b=(sina,-

1,cosa),则向量与〃./?的夹角为()

A.90°B.60°C.30°D,O°

3.(2022河南濮阳范县一中月考)已知向量〃二(1,1,0)"=(-1,0,2),若

向量a+kb与2ci+b所成的角为锐角，则实数k的取值范围

为.

题组二利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题

4.(2022福建A佳大联考)已知空间向量m=(-l,x,2),n=(1,3,y),其中

x>0,)>0,若m±/2,则孙的最大值是()

V61p.1

AA.一BD.-C.—D.—

661224

5.如图,在正方体ABCD-AiBiC^中,MN分别是CD,CCi的中点,则

直线4M与。N的位置关系是()

A.平行B.垂直

C.异面垂直D.异面不垂直

6.（2022广东东莞四中期中）已知棱长为1的正方体ABCQ-AliGQ

中,M为3C的中点,N为侧面DCCiDi内的动点（包括边界），若MN

±A）C,则三极锥N-AA^D的体积的最小值为()

B号C号

7.（多选题）（2022湖北黄冈麻城二中期中）如图所示,在正方体ABCD-

A.BiCiOi中,48=1,点P在侧面8CG8上运动（包括边界），并且总是

保持APlBDh则以下结论正确的是()

A.Vp-4410=-

B.点P必在线段BiC±

CAP.LBCi

D.AP〃平面4G。

题组三空间向量的夹角和模的问题

8.⑵）23广东肇庆鼎湖中学月考）如图，在棱长为1的正方体A5CD

AiBiCiDi中,M是侧面ADDxAx上的一个动点（包括边界），满足西•

前=1,则竭与丽的夹角的最大值为（）

A.30°B.45°C.60°D.75

9.（2022山东省实验中学月考）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，Z

AB=AC=AAi=\tG,E分别为CG的中点,D,产分别为线

段ACA8上的动点（不包括端点），若GD上EF,则线段DF的长度的

取值范围为（）

A.殍1）B卷,1]

C.律/）D管,1）

10.（2022河北石家庄十七中月考）设全体空间向量组成的集合为

V,。二（«1,。2,。3）为V中的一个单位向量,现建立一个"自变量''是向

量「因变量”也是向量的“向量函数'了⑴：/（X）二-1+2（»〃）xeV.

⑴设〃二（1,0,0）,u二（一1,0,若/（〃）二匕求向量。；

⑵对于V中的任意单位向量x,求|/（x）*的最大值和此时x和a的夹

角.

11.（2020山西太原五中月考,）如图，以棱长为1的正方体的三条共顶

点的棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段

A3上，点。在线段。。上.

⑴当|P5|二2|AP|,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|；

⑵当点尸是A5的中点，点。在OC上运动时，探究|PQ|的最小值.

答案与分层梯度式解析

第一章空间向量与立体几何

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系

1.3.2空间向量运算的坐标表示

基础过关练

l.BCD4.A5.B8.B9.AB10.Dll.D13.C

1.BCD点A(l,3,-4)关于大轴的对称点的坐标为(1,・3,4),故A错

误；

点产(-1,2,3)关于。。平面对称的点的坐标为(-1,2,-3),故B正确；

易知C正确；

M(-l,1,2),/V(1,3,3)两点间的距离为

J(1+1)2+(3-1)2+(3-2)2=3,故D正确.

故选BCD.

2.答案(2,-3,1)

解析点P(2,3,-1)关于坐标平面。孙的对称点外的坐标为⑵3,1),

点Pi关于坐标平面0户的对称点P2的坐标为(-2,3,1),所以点P2关

于z轴的对称点尸3的坐标为(2,-3,1).

3.答案&局

解析由题意可得A（2,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,

所以M（0,1,1）,N（1,1,0）,

则线段MN的中点坐标为弓,1,：).

4.A由题意可得2a-3b=(6,10,-2)-(6,6,9)=(0,4,-11).故选A.

5.B设5(qz),由丽=荏得(5,-l,2)=(x-4,y-2,z+l),，

x—4=5,(x=9,

y-2==l/・点8的坐标为(9,1,1).

z+1=2,\z-1.

6.答案3

解析由A,8,C,。四点共面,知勤,〃£R,使得荏=AAC+〃而，

易得通二(1,1,1),m二(1,2,-1),而=(x,4,1),

X=3,

A=~2f

{/Z=|.

7.答案-2

解析易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),A[c-a)•20=0+0-2=2.

8.BVA(1,5,-1),B(2,4,1),C(〃,3"+2)三点共线，，荏=入说，即

M=L0=L

(1,-1,2)=A(«-2,/.<A(a-2)==3,故a-b=2,故选B.

U(&+1)=2,\b—1,

9.AB根据题意，可得标=(-l,-1,3),前二(-2,2,0),fiC=(-l,3,-3).对

于A,|海|=V1+1+9=Vil,A正确；对于B,AB•前=2-2+0=0,则

ABJ_AC,B正确；对于C,cosZABC=cos<四，前>==

\BA\\BC\

盛法二啜N胃,C错误;对于D,由B中的结论知A3J_AC,所以

A,B,C三点不共线,D错误.故选AB.

10.D由题意得而二(-6,1,2%),CA=(-3,2,-Q.

VZC=90",：.~CB-CA=-6X(-3)+lX2+2ZX(-jt)=-2^+2(M),：.k=±

“U.故选D.

11.D易得何=(1,Z-2,0),AC=(3,0,k-3).

若OAJL平面ABC则瓦?，彳瓦OXJ■尼，

^OA•AB=1+2G-2)=0,OA-元=3+3(Z-3)=0,所以z=-,k=2,故；^k=-.

22

故选D.

12.解析⑴因为四=(-2,3,5),AD=(6,"-2),且秘Hj所以四,AD

6—2

不共线.由四边形ABCD为平行四边形，知元=荏+而，所以

(4,1,«)=(-2,3,5)+(6,4-2),所以a=3,b=-2.

(2)由题意得丽=AD-AB=(8,b-3,-7).

因为四边形ABCD的对角线互相垂直，所以丽•前=0,即32+儿3-

7。二(),故7。■629=().

13.CV6Z=(1,-2,3),/?=(-2,3,-1),

/.«+2/?=(-3,4,1),

・・・|。+2例=/9+16+1=V26,由攵选C.

14.答案3()。

解析由题得说=(-y,p0),^C=(-l,0,0),所以|而|=1,|而|二1,所

叵r

以cosA=-ABAC六=当故角A的大小为30。

I函函I1.XA/

15.答案经

解析设P(x,y,z),则方二(无・1,y-2,z-1),PF=(-1-x,3・y,4-z).

由存=2而，得(x-1,y-2,z-l)=2(-l-x,3-y,4-z),Ax=--,y=-,z=3,:.

33

哈谭，叫

故方=(%-1,-2),.•.丽=栏+系+4=铝

16.解析(1)因为a〃c,所以存在实数幺使得c=ka,又a-(2,4,-

2),c=(x,2,-1),

x=2k,r,_1

所以2=4k,解得『二7

-1=-2k,(%=L

则|C|=J12+22+(-1)2=V6.

⑵因为江c,，且b=(-l,0,2),c=(x,2,-l),所以"c=x+0-2=0,解得

x=-2,所以c=(-2,2,-1),

ac2x(-2)+4x2+(-2)x(-l)遍

故cos<6/,c>-=—=T

17.解析(1)设正三棱柱的侧棱长为h.

由题意得A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),Bi(V3,0,h),C\(0,1,h),

贝ij丽二(遮，1,/?),gq=(-V3,1").因为所以福•西二-

3+1+〃2=(),所以〃二岭(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为VI

(2)由⑴可知福=(V5,1,&)，瓦?=(-",1,0),

所以福•BC=-3+l=-2,\AB1\=V6,|5C|=2,

所以cos44BpBC>==——.

所以异面直线4囱与BC所成角的余弦值为裳

6

能力提升练

1.A2.A4.D5.C6.B7.BD8.C9.A

1.A由题可知0斤6,间=3,故向量b在向量a上的投影向量是

徵“上(2,一1,2)=信-|,)故选从

2.A根据题意，〃+/?=(cosa+sina,-2,sina+cosa),a-b-(cosa-sin

a,0,sina-cosa),

则(a+b).(.-/?)=(cos%-sin2a)+(sin2a-cos2a)=0,故向量a+b与a-b垂

直,即它们的夹角为90°,故选A.

3.答案｛网上>一1且女工?

解析易得a+kb=(1«1,2k),2a+b=(1,2,2).

由题意得(a+kb)♦(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线，

・,.1-&+2+4Q0,且”=-=如不成立，

122

解得k»l且

：.实数k的取值范围为色%>—1且k。号

4.D由题意得nvn--\Xl+3x+2y=0,即3x+2)=l.

因为x>(),)〉0,所以I=3x+2y22j3%x2y,解得当且仅当

342)=；,即)—时取等号.故选D.

264

5.C以。为原点，丽，反，西的方向分别为龙轴,y轴,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系Dxyzy设正方体ABCD-AIBICIDI的棱长为2,则

Ai(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),/V(0,2,1),，A^M=(-2,1,-

2),~DN=(0,2,1),AA^M-DAf=0,Z.AM±DN,又DNu平面

QCGOi,4MC平面OCGOi,例£平面OCGOi,且二直线

4M与ON异面垂直.故选C.

6.B以。为坐标原点，市,万己西的方向分别为x轴,)，轴,z轴的正

方向，建立空间直角坐标系Dxyzf

则4(1,0,l),C(0,1,0),MG，1,0).

设N(0,〃,b),0WoW1,0WbW1,易得碇=(-l,1,-1),~MN=

(-i,a-1,b).VMN1AiC,：.MN-A^C=-+a-\-b=0,即a-b=-,：.

\2/22

氏易知点N到平面AAyD的距离等于其纵坐标，，

—AO=1♦S△…・a=/故选B.

7.BD,:P在侧面BCJBT上运动(包括边界)，平面5CGB〃平面

AAiDiD,：.P到平面A40Q的距离即为C到平面A4QQ的距离，

此距离等于正方体的棱长，，VP_AA1D=.CD=lxlxiXl

义1=3故A中结论错误.

6

以。为坐标原点，万?，反，西的方向分别为X轴,y轴,Z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，

则A(l,(),0),P(x,l,z)(()WxW1,0<zW

1),B(1,1,0),Di(0,0,l),Bi(l,1,l),C(0,1,0),・♦・AP=(x-

1,l),^C=(-l,0,-l).

VAP±BDi,-BD1=l-x-l+z=0,/.x=z,

AP(x,l,x),：.CP=(x,0,x),ACP=-x即,即Bi,P,C三点共线，，

。必在线段8C上，故B中结论正确.

易知G(0,1,1),・••跖=(-1,0,1),又标=6-1,l,x),・••丽•西=1-

x+x=lWO,・・・AP与BG不垂直，故C中结论错误.

易知4(1,0,1),。(0,0,0),・••不瓦=(-1,1,0),西二(1,0,1),又

AP=(x-l,l,x),・・・AP=XDA[4-(其中0WxW1),

万，西，宿共面,又AH平面ACD・"尸〃平面4G。,故D中结

论正确.

故选BD.

8.C以D为坐标原点,万不，灰，西的方向分别为x轴,)，轴,z轴的正

方向，建立空间直角坐标系.

IM是侧面AOD14上的一个动点，.••可设点M(x,0,z),其中04W

l,0WzWl,易得B(l,l,0),Ci=(0,1,1),，跖=(/,(),1),前二(41,・

l,z),・•・斯•前=bx+z=l,即x=z,IBQI=V2,1~BM\=

J(%―1)2+(—1)2+z2=V2%2—2x+