初三数学 圆的性质定理

初三数学圆得性质定理

1、圆得对称性：圆就就是轴对称图形，任一条直径所在得直线都就就是她得对称轴、

2、垂径定理:垂直于弦得直径平分弦，并且平分弦所对得两条弧、

3、垂径定理得推论:平分弦(不就就是直径)得直径垂直于弦,并且平分弦所对得两条弧、

4、垂径定理得应用：

①用直尺和圆规平分一条弧、作法就就是过圆心作弧所对弦得垂线，理由就就是垂径

定理；

②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形得边和角，这个

特殊直角三角形得三边分别就就是半径、弦得一半和U心到弦得垂线段、

洌1、如图，已知以点。为公共圆心得两个同心圆，大圆得弦AD交小圆于B、C、

(1)求证：AB=CD

(2)如果AD=6cm,BC=4cm,求圆环得面积、

1＞圆周角定义:顶点在圆周上，并且两边都和圆相交得角叫做圆周角、

2、圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对得圆周角相等,都等于这条弧所对得

圆心角得一半、

3、推论①同圆或等圆中，相等得圆周角所对得弧一定相等、

②半圆(或直径)所对圆周角就就是直角，90°得圆周角所对得弦就就是直径、

③如果三角形一边上得中线等于这条边得一半，那么这个三角形就就是直角三角形、

4、回得内接四边形：

①定义:如果一个多边形得所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个

圆叫做这个多边形得外接圆、

②圆内接四边形得性质：圆内接四边形得对角互补、

洌2、如图,AB就就是。。得直径,BC就就是弦,OD1BC于E,交BC于D、若BC=8,

ED=2,求OO得半径、

A

D

解:

1、如图，已知AB就就是0O得直径，弦CD1AB于点P,CD=1Ocm,AP:PB=1:5,那么0O得半径

就就是()

A.6cmB.3^/5cmC.8cmD.575cm

2、圆得半径为13cm，两弦AB//CD,AB=24cm,CD=l()cm,则丙弦AB、CD得距离就就是()

A、7cm

B、17cm

C、12cm

D^7cm或17cm

3、如下图所示,AB就就是OQ得一条固定直径，她把O。分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作

弦CDJLAB,/OCD得平分线交QO于点P,当点C在上半圆(不包括A、B两点)移动时，点P()

A、到CD得距离保持不变

B、位置不变

C、平分防

D、随点C得移动而移动

cA

D

4、如上中图,BD就就是0()得直径，弦AC、BD相交于点E,则下列结论不成立得就就是()

A、ZABD=ZACD

AABD^-ZAOD

B、

C、ZBAE=ZBDC

D、ZABD=ZBDC

5、如上右图,O。得直径CD过弦EF得中点G,/EQD=40°,则/DCF等于（）

A、80°

B、50

C、40°

D、20°

6、如下图,A、B、C就就是OO上三点,/ACB=40‘，则/ABO等于度、

7、如上左二图,/XABC得顶点都在。。上，NC=30°,AB=2cm,则。。得半径为cm、

8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P就就是经过0(0,0),A((),2),B(2,0)得圆上得一个动点(P与O、

A、B不重合)，则ZO,ZOPB=—、

9、如右上图,△ABC内接于OO,ZB=ZOAC,OA=8cmAC=cm>

10、如图,ZXABC内接于OO,/BAC=120°,AB=AC,BD为。。得直径,AD=6,则BC=

11、如图,0。中得弦AB、CD互相垂直于E,AE=5cm,BE=13cm,0到AB得距离为2亚61、

求。。得半径及。到CD得距离、

12、如图,某地有一座圆弧形得拱桥，桥下水面宽为7、2m,拱顶高出水面2、4m,现有一艘宽3m,

船舱顶部为正方形并高出水面2m得货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗?请说明理由、

13、如图,AB为。。得直径，BD就就是O。得弦，延长到C,使BD=DC,连接AC交。。于点F,

点F不与点A重合、

(1)AB与AC得大小有什么关系？为什么？

(2)按角得大小分类，请您判断AABC属于哪一类三角形，并说明理由、

一、确定圆得条件

(1)因为作圆实质上就就是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随

之确定了下来、所以以点A以外再任意一点为圆心,以这一点与点A所连得线段为半径就可以作一个

圆、由于圆心就就是任意得、因此这样得圆有无数个、如图(1)、

提到过得线段得垂直平分线得性质可知，线段得垂直平分线上得点到线段两端点得距离相等，则圆心应

在线段AB得垂直平分线上、在AB得垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点得距离相等，所

以在AB得垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A得距离即为半径，圆就确定下来了、由

于线段AB得垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出得圆有无数个、如图(2)、

(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就就就是要确定一个点作为圆心，使她到三点得距离相等、

因为到A、B两点距离相等得点得集合就就是线段AB得垂直平分线，到B、C两点距离相等得点得

集合就就是线段BC得垂直平分线，这两条垂直平分线得交点满足到A、B、C三点得距离相等，就就

就是所作圆得圆心、

因为两条直线得交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件得圆、

过不在同一条直线上得三点确定一个圆

2、经过三角形三个顶点得圆，叫做三角形得外接圆，外接圆得圆心就就是三角形三边垂直平分线得交

点，叫做三角形得外心，这个三角形叫做这个圆得内接三角形、

因为画圆得关键就就是确定圆心和半径，所以作三角形得外接圆时，只要找三边垂直平分线得交点，

这就就就是圆心,以这点到三角形任一顶点间得距离为半径就可作出三角形得外接圆、

3、利用尺规过不在同一条直线上得三个点作圆得方法

作法图示

A

1、连结AB、BC

2、分别作AB、BC得垂直A

£\Z

平分线DE和FG,DE和

D"%_C

FG相交于点。(

3、以。为圆心，0A为半径h

作圆

tv

OO就就就是所要求作得圆(

例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出她们得外接圆，她们外心得位置有怎样得

特点?

(1)(3)

A

■

BC

例3、如图，点ANB、C表示三个对庄，现雯建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条榆水管

线长度相同,水泵站应建在何处?请画出图，并说明理由、

1、下列关于外心得说法正确得就就是（）

A、外心就就是三个角得平分线得交点

B、外心就就是三条高得交点

C、外心就就是三条中线得交点

D、外心就就是三边得垂直平分线得交点

2、下列条件中不能确定一个圆得就就是（）

A、圆心和半径

B、直径

c、三角形得三个顶点

D、平面上得三个已知点

3、三角形得外心具有得性质就就是（）

A、到三边得距离枸等

B、到三个顶点得距离相等

C、外心在三角形外

D、外心在三角形内

4、等腰三角形底边上得中线所在得直线与