不等式组练习题

（3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（2）》测试题

一、选择题

*x>0

<x+2『23

1.（2012安徽文）若"满足约束条件3+八3,则z=x-J的最小值是（）.

3

-

OC2

A.-3

1）.3

考查目的:考查线性规划的有关概念和求解方法.考查数形结合思想.

答案:A.

80

解析:约束条件对应的可行域为UBC内部（包括边界），其中'（0，3）,I'

.Z=X-/€[-3,0]

\+3J-3>0

（2x-j-3<0

2.（2010浙江理）若实数“满足不等式组20,且的最大值为9,则实

数四=（）.

A.-2B.-1C.1

D.2

考查目的:考查二元一次不等式组的平面区域，以及简单的转化思想和数形结合的思想.

答案：C.

解析：将最大值转化为目标函数z=x+J表示的直线在J轴上的截距，将m等价为斜率

的倒数，作出前两个不等式表示的平面区域为两条直线的斜上方区域，由题意可知，直线

了-缈+1=°应与此区域围成一个三角形区域，所以必有版>0,且目标函数在直线

（3m+15]

2r-j-3=0与直线xmy+l=0的交点12m-V茄处取得最大值，因此

2w-l2m-1,解得加=1.

3.给出如图所示的平面区域，其中火（53），1），C（L5）.若使目标函数z=〃x+j

取得最大值的最优解有无穷多个，则&的值是（）.

21

--

322

^2

3

I）,2

考查目的：考查线性规划问题、直线的斜率公式等基础知识，考查数形结合和分析判断

能力.

答案：B.

解析：目标函数2="+y表示斜率为的直线，z是该直线在了轴上的截距.因为目

标函数取得最大值的最优解有无穷多个，所以直线2=/+了必经过的鸡边或边

（BC边所在直线斜率不存在）.若经过延边，则z取得最小值，不合题意；该直线经过

__,_£

边时，z取得最大值，此时，线段上的点都是最优解，所以一a-dC--2,a~2.

二、填空题

4.（2009山东文）某公司租赁甲、乙两种设备生产AB两类产品，甲种设备每天能生产力

类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产/类产品6件和B类产品20件.已知

设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产力类

产品50件，B类产品14（）件，则所需租赁费最少为元.

考查目的：考查线性规划问题在实际中的应用.

答案：2300.

解析：设生产甲种设备需要x天，生产乙种设备需要丁天，该公司所需租赁费为z元，

'5x+6y>5Q»+6”50

•10x+2Dj>140<x+2/>14

则z=200x+30叩，根据题意得线性约束条件为I壮0,”0,即：［彳20,”0作出可

+6『=50

行域（图略）.由z的几何意义可知，当z=200r+30叩对应的直线过两直线1x+2j=14的交

点（4,5）时，目标函数z=200x+30叩取得最小值2300元.

5.（2012上海文）满足约束条件卜卜2M«2的目标函数z="x的最小值

是.

考查目的：考行线性规划问题、作图能力和数形结合思想.

x>0

/<0

,或"一2二2,其可行

域为平行四边形圈⑵及其内部区域，如图所示.口标函数表示斜率为1的直线，由z的几

何意义可知，当该直线过点力（Z°）时z有最小值，此时z皿=-2.

b

6.（2012江苏卷）已知正数0，人,满足5c则Z的取值

范围是.

考查目的：考查线性规划问题、直线的斜率概念与公式、导数的几何意义、直线佗方程

等基础知识，以及等价转化思想与数形结合思想.

答案：［%7］.

—2e"x=—y=—

解析：条件5c-3a4844c-a,clnb2a+clnc可化为lc.设c,c,则

y_

题目转化为：已知人尸满足求》的取值范围.

7

作出可行域如图所示（阴影部分），》的几何意义为阴影部分内的点与原点连线的斜率.

求出产小的过原点的切线方程为＞=e"易知切点°，°；位于其8之间，.・.刀的最小值为e.

C（L二］匕7）

•・•2人J；■的最大值为7,因此1的取值范围为网刃，即£的取值范围是［%4

三、解答题

7.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲

产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，

劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过

300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，

才能使利润总额达到最大？

考查目的：考杳线性规划问题、应用数学知识解决实际问题的能力.

答案：20,24.

解析•：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、丁吨，利润总额为z万元，根据题意，

9x+4y<300

4x+5■^<200

3x+10/<300

x>15

得线性约束条件为口之15,目标函数为Z=7X+12J作出可行域如图所示作直线

/o:7x+12/=O）并将其向可行域平移.由z的几何意义可知，当平移至经过点火时，目标

函数z=7r+12j取得最大值.

'4x+5y=200

解方程组i3x+10,=300,可得A点坐标为（20,24）,z»=5x20+12x24=428（万元）.

答：每天应生产甲产品20吨，乙产品24吨，才能使利润总额达到最大，为428万元

8.（2010广东理）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个

单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的

碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中

至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，

并且花费最少，应当为该儿童.分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

考查目的：考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划问题等基础知识和方法,

考查数形结合能力和应用数学知识解决实际问题的能力.

答案：4个单位的午餐、3