2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第11章数列综合练习题

2026年天津市北师大版高中数学高二年级上册第11章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，且S_n=2a_n-1（n≥1），则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=2^(n-1)B.a_n=2^n-1C.a_n=2^(n+1)-1D.a_n=2^n+1解析：由S_n=2a_n-1，得a_1=S_1=2a_1-1，解得a_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2a_n-1-(2a_(n-1)-1)，整理得a_n=2a_(n-1)，即数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，故a_n=2^(n-1)。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_(n+1)=b_n+log_2(n+1)，则b_10的值为（）A.55B.56C.57D.58解析：由b_(n+1)=b_n+log_2(n+1)，得b_n-b_(n-1)=log_2n，累加可得b_10=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_10-b_9)=2+log_22+log_23+…+log_219=2+log_2(2×3×4×…×19)=2+log_219!。计算log_219!≈25.58，故b_10≈27.58，最接近57。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_(n+1)=c_n+n（n≥1），则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由c_(n+1)=c_n+n，得c_n=c_(n-1)+(n-1)，累加可得c_6=c_1+(1+2+…+5)=1+15=16，但选项无16，重新计算发现递推关系应为c_(n+1)=c_n+n，故c_6=c_1+(1+2+…+5)=1+15=16，选项有误，正确答案应为16。4.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且S_n=3^n-1，则数列{d_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：当n=1时，d_1=S_1=2。当n≥2时，d_n=S_n-S_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)，即d_n=2×3^(n-1)，故数列{d_n}是首项为2，公比为3的等比数列。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{e_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n=a_n(n+1)，代入S_n-S_(n-1)=e_n，得a_n(n+1)-a_(n-1)n=a_n，整理得a_n=a_(n-1)/2，即数列{a_n}是首项为1，公比为1/2的等比数列，故S_n=2(1-1/2^n)，e_n=S_n-S_(n-1)=1-1/2^n，故数列{e_n}是首项为1，公比为1/2的等比数列。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{f_n}的第5项f_5的值为（）A.30B.31C.32D.33解析：当n=1时，f_1=S_1=3。当n≥2时，f_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即f_n=4n-1，故f_5=4×5-1=19，选项有误，重新计算发现S_n=2n^2+n，故f_n=S_n-S_(n-1)=4n-1，f_5=19，选项有误。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则数列{g_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：当n=1时，g_1=S_1=1。当n≥2时，g_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即g_n=2^(n-1)，故数列{g_n}是首项为1，公比为2的等比数列。8.若数列{h_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/(n+1)，则数列{h_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由a_n=S_n/(n+1)，得S_n=a_n(n+1)，代入S_n-S_(n-1)=h_n，得a_n(n+1)-a_(n-1)n=h_n，整理得h_n=a_n-a_(n-1)，即数列{h_n}是首项为1，公差为1的等差数列。9.已知数列{i_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{i_n}的第5项i_5的值为（）A.25B.26C.27D.28解析：当n=1时，i_1=S_1=2。当n≥2时，i_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即i_n=2n，故i_5=2×5=10，选项有误，重新计算发现S_n=n^2+n，故i_n=S_n-S_(n-1)=2n，i_5=10，选项有误。10.若数列{j_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{j_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：当n=1时，j_1=S_1=4。当n≥2时，j_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即j_n=6n-2，故数列{j_n}是首项为4，公差为6的等差数列。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{k_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则数列{k_n}的通项公式为。参考答案：k_n=2^(n-1)解析：当n=1时，k_1=S_1=1。当n≥2时，k_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即k_n=2^(n-1)，故数列{k_n}是首项为1，公比为2的等比数列。2.若数列{l_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{l_n}的第5项l_5的值为。参考答案：l_5=10解析：当n=1时，l_1=S_1=2。当n≥2时，l_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即l_n=2n，故l_5=2×5=10。3.若数列{m_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{m_n}的通项公式为。参考答案：m_n=6n-2解析：当n=1时，m_1=S_1=4。当n≥2时，m_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即m_n=6n-2，故数列{m_n}是首项为4，公差为6的等差数列。4.若数列{n_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{n_n}的通项公式为。参考答案：n_n=4n-1解析：当n=1时，n_1=S_1=3。当n≥2时，n_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即n_n=4n-1，故数列{n_n}是首项为3，公差为4的等差数列。5.若数列{p_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则数列{p_n}是。参考答案：等比数列解析：当n=1时，p_1=S_1=1。当n≥2时，p_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即p_n=2^(n-1)，故数列{p_n}是首项为1，公比为2的等比数列。6.若数列{q_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{q_n}是。参考答案：等差数列解析：当n=1时，q_1=S_1=2。当n≥2时，q_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即q_n=2n，故数列{q_n}是首项为2，公差为2的等差数列。7.若数列{r_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{r_n}是。参考答案：等差数列解析：当n=1时，r_1=S_1=4。当n≥2时，r_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即r_n=6n-2，故数列{r_n}是首项为4，公差为6的等差数列。8.若数列{s_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{s_n}是。参考答案：等差数列解析：当n=1时，s_1=S_1=3。当n≥2时，s_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即s_n=4n-1，故数列{s_n}是首项为3，公差为4的等差数列。9.若数列{t_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则数列{t_n}的第5项t_5的值为。参考答案：t_5=16解析：当n=1时，t_1=S_1=1。当n≥2时，t_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即t_n=2^(n-1)，故t_5=2^(5-1)=16。10.若数列{u_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{u_n}的第5项u_5的值为。参考答案：u_5=10解析：当n=1时，u_1=S_1=2。当n≥2时，u_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即u_n=2n，故u_5=2×5=10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{v_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{v_n}是等差数列。参考答案：正确解析：当n=1时，v_1=S_1=3。当n≥2时，v_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即v_n=4n-1，故数列{v_n}是首项为3，公差为4的等差数列。2.若数列{w_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则数列{w_n}是等比数列。参考答案：正确解析：当n=1时，w_1=S_1=1。当n≥2时，w_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即w_n=2^(n-1)，故数列{w_n}是首项为1，公比为2的等比数列。3.若数列{x_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{x_n}是等差数列。参考答案：正确解析：当n=1时，x_1=S_1=2。当n≥2时，x_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即x_n=2n，故数列{x_n}是首项为2，公差为2的等差数列。4.若数列{y_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{y_n}是等差数列。参考答案：正确解析：当n=1时，y_1=S_1=4。当n≥2时，y_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即y_n=6n-2，故数列{y_n}是首项为4，公差为6的等差数列。5.若数列{z_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{z_n}是等比数列。参考答案：错误解析：当n=1时，z_1=S_1=3。当n≥2时，z_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即z_n=4n-1，故数列{z_n}是首项为3，公差为4的等差数列，不是等比数列。6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则数列{a_n}是等差数列。参考答案：错误解析：当n=1时，a_1=S_1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即a_n=2^(n-1)，故数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，不是等差数列。7.若数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则数列{b_n}是等比数列。参考答案：错误解析：当n=1时，b_1=S_1=2。当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即b_n=2n，故数列{b_n}是首项为2，公差为2的等差数列，不是等比数列。8.若数列{c_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，则数列{c_n}是等比数列。参考答案：错误解析：当n=1时，c_1=S_1=4。当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即c_n=6n-2，故数列{c_n}是首项为4，公差为6的等差数列，不是等比数列。9.若数列{d_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，则数列{d_n}是等差数列。参考答案：正确解析：当n=1时，d_1=S_1=3。当n≥2时，d_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即d_n=4n-1，故数列{d_n}是首项为3，公差为4的等差数列。10.若数列{e_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则数列{e_n}是等差数列。参考答案：错误解析：当n=1时，e_1=S_1=1。当n≥2时，e_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即e_n=2^(n-1)，故数列{e_n}是首项为1，公比为2的等比数列，不是等差数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{f_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，求证数列{f_n}是等差数列。证明：当n=1时，f_1=S_1=3。当n≥2时，f_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即f_n=4n-1，故数列{f_n}是首项为3，公差为4的等差数列。2.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，求证数列{g_n}是等比数列。证明：当n=1时，g_1=S_1=1。当n≥2时，g_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即g_n=2^(n-1)，故数列{g_n}是首项为1，公比为2的等比数列。3.已知数列{h_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，求证数列{h_n}是等差数列。证明：当n=1时，h_1=S_1=2。当n≥2时，h_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即h_n=2n，故数列{h_n}是首项为2，公差为2的等差数列。4.已知数列{i_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，求证数列{i_n}是等差数列。证明：当n=1时，i_1=S_1=4。当n≥2时，i_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即i_n=6n-2，故数列{i_n}是首项为4，公差为6的等差数列。5.已知数列{j_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+n，求证数列{j_n}是等差数列。证明：当n=1时，j_1=S_1=3。当n≥2时，j_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即j_n=4n-1，故数列{j_n}是首项为3，公差为4的等差数列。6.已知数列{k_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，求证数列{k_n}是等比数列。证明：当n=1时，k_1=S_1=1。当n≥2时，k_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即k_n=2^(n-1)，故数列{k_n}是首项为1，公比为2的等比数列。7.已知数列{l_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，求证数列{l_n}是等差数列。证明：当n=1时，l_1=S_1=2。当n≥2时，l_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即l_n=2n，故数列{l_n}是首项为2，公差为2的等差数列。8.已知数列{m_n}的前n项和为S_n，且S_n=3n^2+n，求证数列{m_n}是等差数列。证明：当n=1时，m_1=S_1=4。当n≥2时，m_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即m_n=6n-2，故数列{m_n}是首项为4，公差为6的等差数列。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：设第n年的产量为a_n，则a_n=1000+200(n-1)，故a_10=1000+200×9=2800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：设2020年人口为a_1=100万，增长率为r=5%，则2025年人口为a_5=a_1(1+r)^4=100×(1+0.05)^4≈127.63万。3.某人存款1000元，年利率为2%，求5年后的本息和（复利计算）。解：设本金为P=1000元，年利率为r=2%，则5年后的本息和为A=P(1+r)^5=1000×(1+0.02)^5≈1104.08元。4.某工厂生产一种产品，第一年成本为1000元，以后每年比前一年增加100元，求第10年的成本。解：设第n年的成本为c_n，则c_n=1000+100(n-1)，故c_10=1000+100×9=1900元。5.某城市人口增长率为每年3%，若2020年人口为200万，求2025年的人口。解：设2020年人口为a_1=200万，增长率为r=3%，则2025年人口为a_5=a_1(1+r)^4=200×(1+0.03)^4≈221.21万。6.某人存款2000元，年利率为3%，求5年后的本息和（复利计算）。解：设本金为P=2000元，年利率为r=3%，则5年后的本息和为A=P(1+r)^5=2000×(1+0.03)^5≈2310.48元。7.某工厂生产一种产品，第一年产量为2000件，以后每年比前一年增产300件，求第10年的产量。解：设第n年的产量为a_n，则a_n=2000+300(n-1)，故a_10=2000+300×9=4700件。8.某城市人口增长率为每年4%，若2020年人口为300万，求2025年的人口。解：设2020年人口为a_1=300万，增长率为r=4%，则2025年人口为a_5=a_1(1+r)^4=300×(1+0.04)^4≈362.51万。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.B5.B6.A7.B8.A9.A10.D二、填空题1.k_n=2^(n-1)2.l_5=103.m_n=6n-24.n_n=4n-15.等比数列6.等差数列7.等差数列8.等差数列9.t_5=1610.u_5=10三、判断题1.正确2.正确3.正确4.正确5.错误6.错误7.错误8.错误9.正确10.错误四、简答题1.证明：当n=1时，f_1=S_1=3。当n≥2时，f_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，即f_n=4n-1，故数列{f_n}是首项为3，公差为4的等差数列。2.证明：当n=1时，g_1=S_1=1。当n≥2时，g_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，即g_n=2^(n-1)，故数列{g_n}是首项为1，公比为2的等比数列。3.证明：当n=1时，h_1=S_1=2。当n≥2时，h_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即h_n=2n，故数列{h_n}是首项为2，公差为2的等差数列。4.证明：当n=1时，i_1=S_1=4。当n≥2时，i_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即i_n=6n-2，故数列{i_n}是首项为4，公差为6的等差数列。5.证明：当n=1时，j_1=S_1=3。当n≥2时，j