第六章必刷大题12数列的综合问题

必刷大题12数列的综合问题[分值：60分]1.(13分)(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40.(1)求{an}的通项公式；(5分)(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(8分)解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a即a1+所以an=13-2(n-1)=15-2n.(2)因为Sn=n(13+15−2n)2=14n令an=15-2n>0，解得n<152，且n∈N*则当n≤7时，an>0，可得Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=14n-n2；当n≥8时，an<0，可得Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a7)-(a8+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=2×(14×7-72)-(14n-n2)=n2-14n+98.综上所述，Tn=142.(15分)(2025·全国Ⅰ卷)已知数列{an}中，a1=3，an+1n=a(1)证明：数列{nan}为等差数列；(6分)(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm，求f'(-2).(9分)(1)证明在数列{an}中，a1=3，an+1n=ann+1+1∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，又当n=1时，1×a1=3，∴数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，nan=3+(n-1)×1=n+2，由题意得f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1， ①又xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+1)xm-1+(m+2)xm， ②①-②得(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm，令x=-2，得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)(-2)m=3+−2[1−(−2)m−1]1−(−2)-(m+2)(-2)m=7故f'(-2)=79-m3+793.(15分)已知数列{an}满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+1-2an.(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(6分)(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列1dn的前n项和T(1)证明因为an+2=3an+1-2an，所以an+2-an+1=2(an+1-an)，又因为a1=2，a2=4，所以a2-a1=2≠0，所以an+2所以数列{an+1-an}是首项为2，公比为2的等比数列.所以an+1-an=2×2n-1=2n，当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+21+2=2(1−2n−1当n=1时，a1=2也满足上式，故数列{an}的通项公式为an=2n.(2)解由题意可知an+1-an=(n+2-1)dn，所以(n+1)dn=an+1-an=2n，所以1dn=所以Tn=221+322+423+将①式两边同时乘以12，得12Tn=222+323+424+①-②得12Tn=1+122+123+12=1+141−12n−11−所以Tn=3-n+3故数列1dn的前n项和Tn=3-4.(17分)(2025·济宁模拟)将所有正整数按照如下规律形成数阵：第1行123……789第2行101112……979899第3行100101102……997998999第4行100010011002……999799989999……(1)将数列3n+1与数列2n的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列{an}，试确定(2)将数阵中所有相邻两个数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第n行中正整数的个数为bn.①求b1，b2，b3；(4分)②求bn.(8分)解(1)设3m+1=2n，因为2n=(3-1)n=Cn0·3n+Cn1·3n-1·(-1)+Cn2·3n-2·(-1)2+…+Cnn−1·3·(-1)n所以m=[Cn0·3n+Cn1·3n-1·(-1)+Cn2·3n-2·(-1)2+…+Cnn−1·3·(-1)n-1+Cn所以当且仅当n为偶数时，m可以取得正整数，即当且仅当n为偶数时，两个数列有公共项，所以an=22n，故a6=212=4096，所以a6是数阵第4行，第3097个数.(2)①当n=1时，显然b1=9.当n=2时，第2行2位数有90个，其中只去掉12，故b2=89.当n=3时，第3行3位数有900个，其中去掉两种出现12的情况：百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个.故b3=900-19=881.②当n>2时，将第n+1行bn+1个符合条件的n+1位正整数分为两类：(ⅰ)当个位数字不为2时，个位数字有9种取法，前面n位数有bn种取法，这时n+1位正整数中有9bn个；(ⅱ)当个位数字为2时，前面n位数有bn种取法，但这bn个n+1位正整数中十位数字为1的bn-1个正整数要去掉.故个位数字为2且十位数字不为1的n+1位正整数有(bn-bn-1)个.综上，bn+1=10bn-bn-1.设bn+1-xbn=(10-x)bn所以x=110−x，即x2-10x解得x=5±26，所以bn+1−(5+26)bn是首项为b2-(5+26)bbn+1−(5−26)bn是首项为b2-(5-26)b1所以bn+1-(5+26)bn=(44-186)(5-26)n-1，bn+1-(5-26)bn=(44+186)(5+26)n-1，所以当n>2时，bn=(116经检验，当n