第四章必刷小题8解三角形

必刷小题8解三角形[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.在△ABC中，B=π3，AB=8，AC=7，则BCA.5 B.3或5C.4 D.2或4答案B解析由余弦定理，得AB2+BC2-2AB·BCcosB=AC2，即64+BC2-8BC=49，即BC2-8BC+15=0，解得BC=3或BC=5，经检验，均满足题意.2.(苏教版必修第二册P101练习T4)在△ABC中，若A=60°，a=3，则a+A.2 B.12 C.3 D.答案A解析由正弦定理得asinA=bsinB=c所以a+b=2.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=6，b=23，cosC=33，则sinBA.33 B.23 C.63答案A解析在△ABC中，由a=6，b=23，cosC=33及余弦定理，得c=62+(23)2−2×6×23×所以由正弦定理得sinB=bsinCc=24.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为()A.33 B.332 C.3答案C解析由(a+b)2-c2=4，可得a2+b2-c2=4-2ab，由C=120°，可得-12=a所以-12=4−2解得ab=4，所以△ABC的面积为12absinC=12×4×325.(2025·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c-acosB=(2a-b)cosA，则△ABC的形状为()A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形答案D解析由正弦定理，得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA，所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA，故cosA(sinB-sinA)=0，所以sinA=sinB或cosA=0，即A=B或A=π2故△ABC为等腰或直角三角形.6.(2025·南昌模拟)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为tm的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为()A.2tsin(α+β)sin2C.tsin(α+β)sinα答案D解析由题意可得CD=t，∠DAC=β，∠ADB=α+β，则在Rt△ADC中，AD=CDsinβ=在△ABD中，∠ABD=π2-α由正弦定理得ABsin∠ADB=即ABsin(α+所以AB=ADsin(α+β)cos7.在锐角△ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是()A.34，1 C.32，3答案D解析设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h=asinB=32a由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°−C)sin由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°，则tanC>33，所以a=32tanC+1从而h∈34因此AB边上的高的取值范围是348.(2025·江门模拟)在△ABC中，已知∠BAC=2π3，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD=2S△ACD，则tanBA.35 B.315 C.215答案A解析如图所示，因为AD平分∠BAC，由角平分线的性质可知点D到边AB，AC的距离相等，因为S△ABDS△ACD=ABAC=2，设AB=2t(t由S△ABC=S△ABD+S△ACD=3S△ACD可得12AB·ACsin2π3=32AC·AD可得AD=AB3=2在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosπ=4t2+4t29-2×2t×2t3故BD=273由正弦定理可得BDsinπ3所以sinB=ADsinπ3BD=易知B为锐角，则cosB=1−sin2B=1−所以tanB=sinBcosB二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2026·茂名模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.若A=60°，a=b=2，则△ABC有一解B.若A=30°，a=2，b=43，则△ABC无解C.若A=150°，a=3，b=4，则△ABC有一解D.若A=45°，a=2，b=3，则△ABC有两解答案ABD解析A选项，因为A=60°，a=b=2，所以B=A=60°，故C=60°，则△ABC是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确；B选项，若A=30°，a=2，b=43，由正弦定理得asinA=bsinB，即解得sinB=3>1，△ABC无解，故B正确；C选项，若A=150°，a=3，b=4，由大边对大角可知B>A，此时三角形中有2个钝角，不可能，则△ABC无解，故C错误；D选项，若A=45°，a=2，b=3，由正弦定理得asinA=即2sin45°=3sinB，解得sinB=32，因为b>a，所以B=60°所以△ABC有两解，故D正确.10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离126nmile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离83nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是()A.A处与D处之间的距离是24nmileB.灯塔C与D处之间的距离是16nmileC.灯塔C在D处的南偏西30°D.D在灯塔B的北偏西30°答案AC解析由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所以B=180°-60°-75°=45°，AB=126，AC=83，在△ABD中，由正弦定理得ADsinB=所以AD=126×22在△ACD中，由余弦定理得CD=A=(8=83，故B错误；因为CD=AC，所以∠CDA=∠CAD=30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；由∠ADB=60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.11.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=1，BC=3，CD=6，AD=2，B+D=π，则以下说法正确的有()A.AC=10B.B=πC.四边形ABCD的面积为3+26D.A=2C答案AB解析连接AC，如图，对于A，B，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB，即AC2=1+9-2×1×3cosB=10-6cosB，在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD，即AC2=4+6-2×2×6cosD=10-46cos(π-B)=10+46cosB，整理可得4AC2+6AC2=40+106，解得AC=10(负值舍去)，故A正确；可知AB2+BC2=AC2，则B=π2，故B对于C，D，可得D=π2，所以四边形ABCD的面积为12×1×3+12×2×6=32+在△ABC中，可得cos∠BCA=310，sin∠BCA=1在△ACD中，可得cos∠DCA=35，sin∠DCA=2则cos∠BCD=cos(∠BCA+∠DCA)=cos∠BCAcos∠DCA-sin∠BCAsin∠DCA=3610-若∠BAD=2∠BCD，注意到∠BAD+∠BCD=π，则∠BCD=π3，可得cos∠BCD=12≠36不符合题意，故D错误.三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2025·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列.若7sinA=3sinC，则△ABC的面积为.

答案15解析因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以c=a+4.因为7sinA=3sinC，由正弦定理可得7a=3c，解得a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得cosC=a2+b2−因为C∈(0，π)，所以C=2π3所以△ABC的面积为12absinC=12×3×5×sin2π313.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C=sin2A+cos2B-sinAsinC，且b=6，则B=，△ABC外接圆的面积为.

答案π3解析由cos2C=sin2A+cos2B-sinAsinC，可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sinAsinC，即sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC，则由正弦定理得ac=a2+c2-b2，由余弦定理得cosB=a2+c又因为B∈(0，π)，可得B=π3设△ABC外接圆的半径为R，则R=b2sinB=2所以△ABC外接圆的面积为πR2=12π.14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=6，sinBsinA=6a−bb答案12解析由sinBsinA=6a−bb，由正弦定理得