数学(解析版)【福建双百强校联考】福建厦门一中、泉州五中2026年8月2027届高三年级上开学联考(8.27-8.29)

2026泉州五中高三开学数学试题动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案与在正考写在本试卷n-a--l，则A.B.C.D.【答案】B【解析】得x=-l或x=0，因此B={-1,0},所以AnB=f-1,0}.2.已知z=l-2i，且，其中a，b为实数，则a+b=()A.-1B.1C.3D.-3【答案】A【解析】【详解】z=l-2i，则三=1+2i,由，得l-2i+a(l+2i)+b=0，所以(1+a+b)+(2a-2)i=0，因此l+a+b=0且2a-2=0，解得a=l，b=-2，因此a+b=l+(-2)=-l.3.已知数列{a}为等差数列，且，则A4=()A.-4B.-2C.0D.2【答案】C【解析】【详解】可知(a+2d)-2(a+4ad)=aq,，化简得a+3d=0，即a=0.4.一组不全相等的数据，将其去掉一个最小的数据后，则下列数字特征一定改变的是()A.众数B.中位数C.平均数D.极差【答案】C【解析】【详解】一组不全相等的数据，最小的数据可能不唯一，所以去掉一个最小的数据后，众数，中位数和极差并不一定改变，但平均数一定变大.5.若圆c:x"+y2+2x=0与圆无公共点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围．【详解】圆c:x2+y2+2x=0化为标准式：(x+1+y2=l,圆心c(-l,0)，半径r=l,圆c2:x2+(y-m)=1，圆心c(0,m两圆无公共点，即外离或内含，圆心距，若两圆外离，则d>r+r=2，即，解得m>F或；若两圆内含，则d<r-r]=0，无解．因此两圆无公共点的条件是．6.已知某圆锥的母线长为2，且其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥内切球的表面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】设圆锥底面半径为，因为其侧面展开图为一个半圆，所以r-1.所以圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形.所以圆锥的内切球半径为：，所以内切球的表面积为：.7.已知定义在R上的偶函数f(x)，当xe[l,2]时，f(x)=a2+b，若f(x+1)为奇函数，且f(2)+f(5)=6，则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用偶函数和f(x+1)是奇函数的性质推导函数周期为4，结合已知条件求出解析式的系数，再利用周期性和对称性转化到已知解析式的区间内计算即可。【详解】已知f(x)是定义在R上的偶函数，故f(-x)=f(x).又f(x+1)是奇函数，对任意xeR有f(-x+1)=-f(x+1)，且g(x)=f(x+1)在x=0处有定义，故g(0)=(1)=0.将f(-x+1)=-f(x+1)中的x替换为x-1，得f(-x+2)=-f(x),结合偶函数性质f(-x+2)=f(x-2)，故f(x-2)=-(x).再将x替换为x+2，得(x)=-f(x+2)，进一步得f(x+4)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数；当xe[1,2]时，f(x)=a2+b，所以f(5)=f(1+4)=f(1)=a+b=0，又因为f(2)+f(5)=6，所以f(2)=4a+b=6,解得a=2,b=-2，由周期性得代入解析式：.8.已知函数f(x)=2sin(ax+p)-1(w>0)的最小正周期大于，若存在唯一的，使得A.[1,2)B.(0,2)C.(0,2]W[3,4)D.(0,1]⃞[2,4)【答案】D【解析】【分析】根据函数的最小正周期求出。的范围，再由φ的范围得到的范围，从而判断出的所有可能取值，最后根据的唯一性列出不等式即可求解．【详解】由得<<4，由得，由得，而。<<4，所以，故要使，只能或，又因为存在唯一的满足条件，所以再结合<<4，解得ne(0,1]w[2,4)．9.已知向量a=(1,2)，b=(x,x-1)，则()B.若，则x=-lD.若x-2，则a在方向上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】利用向量坐标运算，垂直则点积为0，平行则坐标交叉相乘相等，夹角余弦等于点积除以两向量模的乘积，投影向量套对应公式，逐个代入计算判断对错.【详解】选项A：若，则点积为0，即l-x+2·(x-1)=3x-2=0，解得，故A错误.选项B：若āIl，满足交叉项相等：l(x-I)=2·x，解得x=-1，故B正确.选项C：若x=2，则b=(2,1)因此，故C正确.选项D：若，在方向上的投影向量公式为，代入数据得，故D正确.10.在直角坐标系xoy中，双曲线的左、右焦点分别为过的直线与c的两条渐近线的交点分别记为M，N，且丽=丽，则()A.OM/IFNB.C.D.LFNF=90'【答案】AC【解析】【分析】根据丽=丽得M为线段FN的中点，再结合过F的直线与C的两条渐近线的交点分别记为M，N，联立方程求出点M，N的坐标后借助向量知识求解.【详解】双曲线的左、右焦点分别为F(-5,0)，F(5,0)，两条渐近线分别为，,因为过F的直线与C的两条渐近线的交点分别记为M，N，且丽=丽，又M在直线上，N在直线上，代入得代入得对于A：因为M为线段FN的中点，o为线段FE的中点，则易得OM/FN，A正确；对于B：向量可页=(-10,0)向量则则B错误；对于C：因为，F(5,0)，所以，C正确；对于D：向量即，D错误.11.已知等差数列{a,}的公差为d，前n项和为s,，等比数列{b,}的公比为，前n项和为T,，记集合A.当q>l时，S,>IB.当d>0时，C.当Q有无数个元素时，S,=T,D.当d<0时，Q至多有3个元素【答案】ABD【解析】【分析】对于A，当q>l时，利用求和公式求出s,作差法比较大小即可，对于B，当d>0时，由a,=a+8d，b,=hq8=aq8，联立得，结合a>0、d>0可得，即可推导的范围，对于C，取特殊值q=-l即可验证选项是否正确，对于D，当d<0时，等差数列单调递减，解方程a+(n-1)d=aq"，结合指数函数与一次函数的交点性质，即可判断正整数解的个数上限，得到元素的最多数量.【详解】设a=h=a>0，由a,=b,，得，整理得核心关系，由题意得等差数列前9项和为.等比数列前9项和为.作差得.对括号内式子分组变形得9q8+9-2-2q-2q2-.-2q8=(q8+1-2q'),∵q>l，∴q8+1-2q'=(q'-12>0，而q8+1-q'-q-*=(q'-1)q-*-1)>0对k=1,2,3均成立，故括号内整体大于0，结合q>0，得S,->0，即S,>I.∴q8-1>0，即q8>1，∵8为偶次幂，故q8>1等价于，故B正确.对于C，当Q有无数个元素时，即存在无穷多正整数n使得a,=b,：取特殊值q=-l，则y'-l，代入得，此时a,=a对所有n成立，b,=a-(-1)".∴当n为正奇数时，a,=b,=a，即Q为全体正奇数，有无穷多个元素，满足条件，但此时s,=a+a,=2a，=h+b,=a-a=0，显然S,*，与选项结论矛盾，故C错误.对于D，设a=h=a>0，由a,=b9得a+8d=aq8，即.当d<0时，q8<1，即lqk1且.方程a,=b,等价于a+(n-1)d=aq"，我们按公比的正负分类讨论解的个数：情况1：对于0<q<l，构造连续函数f(x)=aq*--a-(x-1)d，x2l，我们需要求f(x)=0的正整数解个数，对f(x)求导得f(x)=aq"'Inq-d，,:.Inq<0，且q-随x增大单调递减，故f"(x)是[l,+o)上的单调递增函数，即f(x)在定义域内最多只有1个极值点.∵连续函数最多1个极值点时，零点个数至多为2，已知x=l（对应n=l）、x=9（对应n=9）是f(x)=0的两个解，因此不存在其他正整数解，此时最多有2个元素.情况2：对于-l<q<0，此时q"正负随"的奇偶性交替，当n为奇数时，n-1为偶数此时方程等价于a+(n-1)d=alqI"-，和情况1完全一致，最多只有n=1l、n=9两个解，当"为偶数时，n-1为奇数故b,=aq"'=-alg"<0.∴等差数列fa}单调递减，仅当n>9时a,才会小于0.此时n>9且n为偶数时，单调递减、数值逐渐趋向负无穷；单调递增、数值逐渐趋向0，单调递减函数与单调递增函数至多有1个交点，即最多存在1个偶数n满足a,=b,.综上，两种情况合计最多有2+l=3个正整数解，即d<0时Q至多有3个元素.12.已知函数f(x)=i"+a+1存在极值点，则实数a的取值范围为．【答案】(-c,0)【解析】【详解】因为函数f(x)=x2+a+l存在极值点，所以f"(x)=3x2+a=0有两个不相等的实数根，故a<0.13.记抛物线C:X2=2PY(P>0)的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点D，若丽=2丽，且IAFl=3，则．【答案】【解析】【分析】过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，结合向量条件与相似三角形比例关系求得|FB|，再由中点坐标性质和中位线公式计算p.【详解】抛物线c:x2=2py(p>0)的焦点为，准线方程为，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为A、B，根据抛物线定义得设IFB=m，则IBBI=m，由丽=2丽得，且D,B,F,A四点共线，故IDA⃞BD+IBFI+FA=3m+3，因为，故aDBB~aD44，则，所以，由于m>0，约去m化简得3m+3=6，解得m=l，即，此时IDF=3m=3⃞AFI，故F为线段D4的中点，设准线与轴交点是R，所以FF是aDA4的中位线，14.已知甲、乙两位同学均从9种课外读物中随机选读3种，且甲、乙的选择相互独立，记其中被甲或乙选中的课外读物的种数为随机变量X，则X的数学期望为．【答案】5【解析】【分析】设X,为第i种课外读物是否被选中，利用独立事件乘法公式求解P(X,=1)，再利用数学期望的线性性质求出E(X).【详解】将9种课外读物编号为1,2,3,…,9，设x.为第i种课外读物是否被选中则X=X十X,十X;十…十X,，,15.记raoc的内角，B，C所对的边分别为，b，C，已知，asinc=4、5．（1）求C；（2）若OABC的面积为6、5，求边BC上的高．【解析】【分析】（1）先由同角三角函数基本关系求sin4，再结合正弦定理变形代入已知条件求解c；（2）先利用三角形面积公式求边b，再由余弦定理求边a，最后结合面积公式求BC边上的高．【小问1详解】因为A为SABC的内角，所以Ae(0,x)，sinA>(，根据正弦定理，变形得qsinc=csinA，【小问2详解】设BC边上的高为h，由三角形面积公式，将代入得化简得，解得b=3，由余弦定理q2=b2+c2-2hccos4，得，再由面积公式，代入s-6.5得解得．16.如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，E是AC的中点，平面PAC上平面ABC，P4上BC．（1）证明：平面PBC上平面PAC；（2）若BC=EC=PE=2，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明：因为PA=PC，E是AC的中点，所以PE上AC,又平面PAC上平面ABC，AC是交线，PEC平面PAC，所以PE上平面ABC，又BCC平面ABC，所以PE上BC，又PA上BC，PAPE=P,PA,PEC平面PAC，所以BC上平面PAC，因为BCC平面PBC，所以平面PBC上平面P4C.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算即可.【小问1详解】略【小问2详解】如图，分别以E4,EP所在直线为X,Z轴，以过E平行于BC的直线为Y轴，建立空间直角坐标系，所以死=(-2,0,-2),风=(2,0,-2),所=(-2,2,-2),设平面PAB的法向量7=(x,y,z)，设直线PC与平面PAB所成角为，即直线pc与平面ra"所成角的正弦值为.17.已知有三个红球和足够多的白球，它们除了颜色之外其余完全相同，现将这三个红球和其中的一个白球放入一个不透明的盒子里，并设置取球游戏的规则如下：每次从盒子里取一个球，若取到红球，则该红球不放回盒子里，但将盒子外的一个白球放入盒子里；若取到白球，则该白球不放回盒子里，且不放入盒子外的任何球．如此重复取球，直到盒子里仅有一种颜色的球时，游戏结束．（1）求恰好经过三次取球后，游戏结束的概率；（2）当游戏结束时，记盒子里的红球个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．（2）分布列为：期望为.【解析】【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的和的概率公式求解；（2）根据题意求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可.【小问1详解】恰好经过三次取球后，游戏结束，可分为两个互斥事件，第一次取出红球，盒子里面变为2红球2白球，第二次取出红球，盒子里面变为1红球3白球，第三次取出红球后，盒子里面变为4白球，游戏结束，其概率为；第一次取出红球，盒子里面变为2红球2白球，第二次取出白球，盒子里面变为2红球1白球，第三次取出白球后，盒子里面变为2红球，游戏结束，其概率为，所以恰好经过三次取球后，游戏结束的概率.【小问2详解】由题意，X的取值为0,1,2,3，,,,所以分布列为：.18.记椭圆的左顶点和左焦点分别为，F，直线l:y=m(m丰0)与c交于p，Q两点，o为坐标原点（1）若存在l，使四边形FOPQ是边长为2的菱形，求b2．（2）记直线4P，AQ的斜率分别为K，k,，C的离心率为e．（i）若，且，证明：LPAQ=45'；（ii）若直线or的斜率ke(3,+o)，且Irrl，arl，Irgl成等差数列，求e的取值范围．（2i）已知椭圆离心率，则，结合得r-a，椭圆方程简化为.左顶点A(-a,0)，设p(xo,m),Q(-x,,m)，则，设LPA0=a,LQ40=F，则，且tanLQAO=K,,tanLPAO=K，所以LPAQ=45"，得证.【解析】【分析】（1）利用菱形四边相等的几何性质得到c=2并确定p点坐标，代入椭圆方程结合a2=b2+c'建立关于b2的方程求解参数；（2i）先由离心率化简椭圆方程，利用p、Q关于y轴对称写出两点斜率，结合斜率差条件与椭圆方程得到坐标关系，再借助两角差的正切公式计算求得LPAQ的正切值完成角度证明ii）利用等差数列中项与椭圆的定义得到ar'-a，设参数建立e2关于i的表达式，结合。r斜率大于3求出的取值范围，再借助导数求得函数单调性，进而计算可得离心率的取值范围.【小问1详解】已知椭圆，左焦点F(-c,0)（其中直线l:y=m与椭圆交于p,Q两点，由椭圆对称性可知p,Q关于y轴对称，因为四边形FOPQ是边长为2的菱形，所以FO-2，即C=2.且，可设P(1,m),Q(-I,m)，由lorl=2，得，所以m2=4-1=3，所以m=由椭圆的对称性，不妨取m-5，则，此时rgl-2，满足条件；将代入椭圆方程，结合eea、q2=b2c2，得整理得，解得（舍去负根）.【小问2详解】（i）略；（ii）已知成等差数列，故2lApl=lFPHrgl，设椭圆右焦点为F'，则，又由对称性得，所以IFPHFQ=2a，因此，即，所以，又在椭圆上满足，则，整理得(a'-b2)⃞+2a'x,+a'b2=0，令，则，由点p满足椭圆方程且ms0可得t2<1，则，整理得,所以e'i'+2t+(1-e')=0，解得.直线的斜率，故，代入得，令，则