-学年上海市黄浦区高二上学期期末数学试题解析版

PAGE试卷第=2页，总=sectionpages22页2021学年上海市黄浦区高二上学期期末数学试题一、单选题1.设向量
,
,则
是
的条件.A.充要 B.必要不充分 C.充分不必要 D.既不充分也不必要【答案】C【分析】根据向量共线得坐标表示,从充分性和必要性两方面进行判断即可.【详解】若
则
,若
,有可能
或
为0,故是的充分不必要条件.故选:
.【点睛】本题考查充分比不要条件的判断,涉及向量共线的坐标表示,属基础题.2．用数学归纳法证明:
,从
到
,若设
,则
等于()A.
B.
C.
D.
【答案】B【分析】计算出
,结合
的表达式可得出结果.【详解】因为
,则
,故选:B.3.方程
的图形是下图中的()A.
B.
C.
D.
【答案】D【分析】依题意得
,进而可得结果.【详解】依题意得.故选:D.4.已知
与
是直线
(
为常数)上异于坐标原点的两个不同的点,则关于
和
的方程组
的解的情况是()A.无论
､
､
如何,总是无解 B.无论
､
､
如何,总有唯一解C．存在
､
､
,使之恰有两解 D．存在
､
､
,使之有无穷多解【答案】A【分析】判断直线的斜率存在,当斜率为0时,方程组无解;当斜率不为0时,通过点在线上可得
的关系,分析方程组即可.【详解】
与
由题意可知,直线
的斜率存在,当时
,又
,所以方程组无解;当
时,
,且
,所以
,由得因为所以方程组无解.综上所述,方程组无解.故选【点睛】求斜率可用k＝tanα
(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:"斜率变化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论".二、填空题5.直线
的倾斜角为______.【答案】【分析】由于
可知直线平行于
轴,得到倾斜角.【详解】直线平行于轴直线的倾斜角为本题正确结果:
【点睛】本题考查直线倾斜角的求解,属于基础题.6.椭圆
的焦距为______.【答案】【分析】根据椭圆的标准方程及间的关系求解.【详解】由椭圆
可知,
,所以
,解得
,所以焦距为.故答案为:
7.计算：
______.【答案】【分析】分子分母同时除以
,根据指数函数的极限可求得结果.【详解】.故答案为:
.8．已知向量
,
,若
,则实数
的值为______.【答案】.【分析】由
得
,进而可解得
.【详解】
向量
,
,若
,则
,求得实数
,故答案为:
.9．若2与
的等差中项与等比中项相等,则实数
的值为______.【答案】【分析】先求得2与
的等差中项,再根据等比中项公式列方程求解即可.【详解】2与
的等差中项为
,因为2与
的等差中项与等比中项相等,所以
,化简得
解得故答案为:210.平行直线
与
之间的距离为______.【答案】【分析】由题意利用两条平行直线间的距离公式,计算求得结果.【详解】解:平行直线
与
之间的距离为
,故答案为:
.11．已知
的三个顶点的坐标分别为
、
、
,
的重心坐标是____.【答案】【详解】试题分析:由题意,其重心坐标为
,即
.【解析】三角形的重心坐标公式.12.两条直线的夹角的取值范围为______.【答案】【分析】利用两条直线的夹角的定义,求出两条直线的夹角的最小值和最大值即可.【详解】当两条直线平行时,它们的夹角最小值为0,当两条直线垂直时,它们的夹角最大值为
,故两条直线的夹角的取值范围.故答案为:
13．若圆
与
轴和
轴均相切,且过点
,则圆
的半径长为______.【答案】1或5【分析】根据题意,分析圆心
在直线
或
上,分2种情况讨论圆心的位置以及圆的半径,即可得答案.【详解】解:根据题意,若圆
与
轴和
轴均相切,则圆心
在直线
或
上,当圆心
在
上时,设圆心
的坐标为
,此时圆的方程为
,将
代入可得:
,即
,解可得
或5,此时圆的半径为1或5,当圆心
在
上时,设圆心
的坐标为
,此时圆的方程为
,将
代入可得:
,即
,解可得
或5,此时圆的半径为1或5,故圆的半径为1或5,故答案为:1或5.14．若向量
､
的夹用为
,
,
,
为非零实数,
的最小值为______.【答案】【分析】根据题意,求出
的平方,利用均值不等式求最值即可.【详解】因为
,当且仅当
即
时等号成立.所以
的最小值为
,故答案为:
【点睛】关键点点睛:根据数量积的定义及运算性质求出
是解题的关键,利用均值不等式求最值即可求解,属于中档题.15．将直线
,
,
（
,
）围成的三角形面积记为
,则
___________．【答案】【分析】求出三条直线的交点坐标,从而可求得三角形的面积
,再求极限即可。【详解】由
得
,即
,同理可得
,
,
到直线
的距离为
,∴
,∴。故答案为:
。【点睛】本题考查数列的极限,解题关键是求出三角形的面积
。16．过直线
：
上点
作圆
的切线,
､
为两切点,若直线
上不存在满足
的点
,则
的取值范围为______.【答案】【分析】根据题意,作出图形,由数量积的性质可得
,结合图形可得
,进而可得圆心到直线的距离
,可得
的取值范围,即可得答案.【详解】根据题意,圆
的圆心为
,半径
,若直线
上不存在满足
的点
,则
,当
,四边形
为正方形,
,此时
,因为
,当
最小时,所以
最大,所以
,所以圆心到直线的距离
,即
,解可得：
或
,故的取值范围为.故答案为:
.【点睛】关键点点睛：本题的的关键是将直线
上不存在满足
的点
,则
,再根据
,由此可知当
最小时,所以
最大,可得
,这是解决本题的关键和突破点.三、解答题17.已知平行四边形
的对角线相交于点
,设向量
,
.(1)用向量
､
分别表示向量
､
.(2)若
为直线
处上一点,
是实数,且
,用向量
､
表示向量
.【答案】(1)
；
；(2)
.【分析】(1)由向量的三角形法则计算即可得解;(2)由向量的三角形法则计算即可得解.【详解】解:（1）因为平行四边形
的对角线相交于点
,所以
,
.（2）
.【点睛】方法点睛:向量的运算有两种方法,一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(１)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(２)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和);二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何问题解答.18．一个热气球在第一分钟上升了
的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%,求该热气球在前
分钟里上升的总高度,并判断这个热气球上升的高度是否能超过
,请说明理由.【答案】
.这个热气球上升的高度不可能超过
,理由见解析.【分析】用
表示热气球在第
分钟上升的高度,由题意可知
,再利用等比数列的前
项和公式即可求出该热气球在前
分钟里上升的总高度,进而判断高度不可能超过
,【详解】解:用
表示热气球在第
分钟上升的高度,
,由题意可知:
,所以数列
是首项为
,公比
的等比数列,所以该热气球在前
分钟里上升的总高度为
,故这个热气球上升的高度不可能超过
,19.设
,圆
:
.（1)若
,点
的坐标为
,
为圆
上的动点,求线段
的中点
的轨迹方程;(2）若圆
上有且仅有一个点到直线
的距离等于1,求
的值.【答案】(1)
;(2)
或
【分析】(1)由题意,设
的坐标为
,由中点坐标公式可得
的坐标,将
的坐标代入圆的方程即可.(2)由题意可得圆的圆心和半径,结合点到线的距离公式即可得出结果.【详解】(1)由题意,设

,又
,得
,若
,圆
:
,
为圆
上的动点,则
,即
.(2)圆
:
,得圆心
,半径
,若圆
上有且仅有一个点到直线
的距离等于1,则圆心到直线的距离
,有
,解得
或
,故或.【点睛】直接法求曲线方程的关注点:①若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点→列式→化简→检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.②若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹的形状、位置、大小等.20.在数列
中,
,
,其中
为给定的正整数.(1)若
为等比数列,
,求
;(2）若
为等差数列,其
前项和为
,是否存在正整数
,使得
?若存在,求出
的值；若不存在,请说明理由.【答案】(1)
;(2)不存在,证明见解析【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比,结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差,进而求出首项,结合等差数列的求和公式即可.【详解】(1)因为
为等比数列,
,则等比数列的公比为
,则
所以
,(2)若
为等差数列,设公差为
,则
,解得
又
,所以
,所以
,令
解得
或
,又
为正整数,故不存在正整数
,使得
.【点睛】(1)等比数列基本量运算的解题策略①等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个(简称"知三求二").②运用等比数列的前n项和公式时,注意分q＝1和q≠1两类分别讨论(2)等差数列中常用的解题性质①项的性质:在等差数列{an}中,m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N),则am＋an＝ap＋aq.②和的性质：在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1);S2n－1＝(2n－1)an.③在Sn＝中常用性质或等差中的项解题21.已知椭圆
:
,
为左焦点,
为直线
上一动点,
为线段
与
的交点,定义:
.(1)若点
的纵坐标为
,求
;(2)证明：存在常数
,
,使得
.【答案】(1)
;(2)证明见解析.【分析】(1)利用椭圆的方程求出点
,结合点
,求出直线
的方程,联立方程组,求出点
的横坐标,利用相似关系进行求解即可得到
的值;(2）设
,可求出
的长,得到直线
的方程,联立方程组,求出
的值,计算
的值,利用已知条件得到
,代入化简即可证明.【详解】(1)因为椭圆
:
,
为左焦点,所以
,