2026年高考数学数列：数列极限专项训练试卷

2026年高考数学数列：数列极限专项训练试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若数列{a_n}的通项公式为a_n=(1/2)^n+1/n，则该数列的极限Lim(n→∞)a_n等于(A)1(B)0(C)2(D)不存在2.根据数列极限的定义，若Lim(n→∞)a_n=A，则对于任意给定的ε>0，总存在一个正整数N，使得当n>N时，恒有(A)|a_n-A|<ε(B)|a_n-A|≤ε(C)a_n-A<ε(D)a_n-A>-ε3.已知数列{b_n}收敛，且Lim(n→∞)b_n=B，若B≠0，则数列{c_n}，其中c_n=1/(b_n-B)，则数列{c_n}的极限是(A)0(B)1/B(C)∞(D)不存在4.下列四个命题中，正确的是(A)若数列{a_n}发散，则其极限一定不存在(B)若数列{a_n}收敛，则其通项a_n必然有界(C)若数列{a_n}和{b_n}都发散，则数列{a_n+b_n}一定发散(D)若数列{a_n}收敛于A，数列{b_n}收敛于B(B≠0)，则数列{a_n/b_n}收敛于A/B5.若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=a_n+1/n(n∈N*)，则数列{a_n}的极限Lim(n→∞)a_n等于(A)0(B)1(C)e(D)+∞6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{a_n}的极限Lim(n→∞)a_n等于(A)2(B)3(C)6(D)+∞7.设函数f(x)=(x^2+ax+1)/(x+1)，若Lim(x→-∞)f(x)=2，则实数a的值为(A)-4(B)-2(C)2(D)48.已知数列{a_n}收敛于A，数列{b_n}发散，则下列结论一定正确的是(A)数列{a_n+b_n}收敛(B)数列{a_n*b_n}收敛(C)数列{b_n-a_n}发散(D)数列{1/b_n}(b_n≠0对任意n)发散二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.若数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^n*(n+1)/n，则该数列的极限Lim(n→∞)a_n等于________。10.若数列{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=sqrt(a_n+1)(n∈N*)，则数列{a_n}的极限Lim(n→∞)a_n等于________。11.根据数列极限的夹逼定理，若存在正数M，使得对于任意n∈N*，都有0≤b_n≤a_n，且Lim(n→∞)a_n=0，则数列{b_n}的极限是________。12.若数列{a_n}收敛于3，数列{b_n}收敛于-1/2，则数列{n*a_n*b_n}的极限Lim(n→∞)(n*a_n*b_n)等于________。13.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=(2^n-3^n)/5^n，则该数列的极限Lim(n→∞)a_n等于________。14.设数列{a_n}的极限存在且不为零，若数列{c_n}=(a_n^2+1)/(a_n-1)收敛于-1，则数列{a_n}的极限Lim(n→∞)a_n等于________。三、解答题：本大题共4小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分20分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n+1。(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)证明数列{a_n}收敛，并求其极限Lim(n→∞)a_n。16.(本小题满分20分)已知数列{a_n}满足a_1=2，a_(n+1)=(1+1/a_n)/2(n∈N*)。(1)证明数列{a_n}收敛；(2)设数列{a_n}的极限为A，求A的值。17.(本小题满分20分)已知数列{b_n}的通项公式为b_n=(n+1)*sin(1/n)-n。(1)求Lim(n→∞)b_n；(2)根据数列极限的定义（ε-N语言），证明Lim(n→∞)b_n=0。18.(本小题满分20分)设数列{a_n}的通项公式为a_n=(n*2^n-n^2)/(n^2+2^n)。(1)求数列{a_n}的极限Lim(n→∞)a_n；(2)是否存在正整数N，使得当n>N时，恒有a_n>1/4？若存在，求出N的最小值；若不存在，请说明理由。试卷答案1.A2.A3.B4.B5.D6.A7.D8.C9.-110.111.012.-3/213.-3/514.-115.(1)当n=1时，a_1=S_1=1^2+1+1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(n^2+n+1)-[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n。检验n=1时，a_1=2*1=2，与S_1=3不符。故数列{a_n}的通项公式为a_n={3,(2n)}(n=1时)或a_n=2n(n∈N*)。(2)当n≥2时，a_n=2n。考察数列{a_n}={3,4,6,8,...}。观察其通项a_n=2n，当n→∞时，a_n→+∞。因此，数列{a_n}发散。或考察数列{a_n}={3,4,6,8,...}。观察其项的数值变化，a_1=3,a_2=4,a_3=6,a_4=8,...，数列项的数值无限增大。故数列{a_n}发散，其极限不存在。或考察数列{a_n}={3,4,6,8,...}。对于任意给定的M>0，取N=ceil(M/2)，当n>N时，a_n=2n>2N>M。根据数列发散的定义，数列{a_n}发散。16.(1)证明a_n≥1对任意n∈N*成立。基础步：当n=1时，a_1=2≥1，成立。归纳步：假设当n=k(k∈N*)时，a_k≥1成立。则a_(k+1)=(1+1/a_k)/2≥(1+1/1)/2=1。由数学归纳法知，a_n≥1对任意n∈N*成立。考察数列{a_n}的递推关系a_(n+1)-a_n=(1+1/a_n)/2-a_n=(1-a_n*(2a_n-1))/(2a_n)=(1-2a_n^2+a_n)/(2a_n)。由于a_n≥1，2a_n^2≥2a_n，故2a_n^2-a_n≥a_n>0。因此，1-2a_n^2+a_n<0。又因为a_n≥1，2a_n>0，所以(1-2a_n^2+a_n)/(2a_n)<0。即a_(n+1)-a_n<0，说明数列{a_n}是单调递减的。由于数列{a_n}单调递减且有下界1，故数列{a_n}收敛。(2)设数列{a_n}的极限为A，则Lim(n→∞)a_n=A，且Lim(n→∞)a_(n+1)=A。由递推关系a_(n+1)=(1+1/a_n)/2，两边取极限得A=(1+1/A)/2。解此方程：2A=1+1/A，得2A^2=A+1，即2A^2-A-1=0。解得A=(1±sqrt(1+8))/4=(1±3)/4。得A=1或A=-1/2。由于已知a_n≥1对任意n∈N*成立，故极限A不能为负数。因此，A=1。17.(1)Lim(n→∞)b_n=Lim(n→∞)[(n+1)*sin(1/n)-n]=Lim(n→∞)[n*sin(1/n)+sin(1/n)-n]=Lim(n→∞)[n*sin(1/n)-n+sin(1/n)]=Lim(n→∞)n*(sin(1/n)-1)+Lim(n→∞)sin(1/n)当n→∞时，1/n→0。由sinx≈x(x→0)得sin(1/n)≈1/n。故Lim(n→∞)sin(1/n)=0。考察Lim(n→∞)n*(sin(1/n)-1)：令t=1/n，则当n→∞时，t→0。原式=Lim(t→0)(1/t)*(sint-1)=Lim(t→0)(sint-t)/t。由sinx-x→0(x→0)且x→0时x≠0，得Lim(t→0)(sint-t)/t=0。因此，Lim(n→∞)n*(sin(1/n)-1)=0。综上，Lim(n→∞)b_n=0+0=0。(2)证明Lim(n→∞)b_n=0(ε-N定义)。需要证明：对于任意给定的ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，恒有|b_n-0|<ε。即|(n+1)*sin(1/n)-n|<ε。由于n∈N*，n≥1，故1/n∈(0,1]。对于x∈(0,1]，有|sinx-x|<x。令x=1/n，则|sin(1/n)-1/n|<1/n。因此，|(n+1)*sin(1/n)-n|=|(n+1)*(sin(1/n)-1/n)+(n+1)*(1/n)-n|≤|(n+1)*(sin(1/n)-1/n)|+|(n+1)/n-1|=|n+1|*|sin(1/n)-1/n|+|1+1/n-1|=(n+1)*|sin(1/n)-1/n|+1/n。由|sin(1/n)-1/n|<1/n，得(n+1)*|sin(1/n)-1/n|<(n+1)*(1/n)=1+1/n。因此，|(n+1)*sin(1/n)-n|<1+1/n+1/n=1+2/n。要使|(n+1)*sin(1/n)-n|<ε，只需1+2/n<ε。即2/n<ε-1。由于ε>0，ε-1<ε。需要2/n<ε-1，即n>2/(ε-1)。取N=ceil(2/(ε-1))，则当n>N时，有n>2/(ε-1)，从而2/n<ε-1，进而1+2/n<ε。即当n>N时，|(n+1)*sin(1/n)-n|<ε。根据数列极限的定义，Lim(n→∞)[(n+1)*sin(1/n)-n]=0。18.(1)考察数列{a_n}的通项a_n=(n*2^n-n^2)/(n^2+2^n)。当n较大时，2^n的增长速度远快于n^2和n的增长速度。可以比较分子和分母中2^n项的系数。分子中2^n项的系数为n，分母中2^n项的系数为1。故a_n的极限行为与n/1随n→∞的行为类似。更严谨地，可以分别考察分子和分母中2^n的最高次项系数：分子最高次项为n*2^n，系数为n。分母最高次项为2^n，系数为1。因此，数列{a_n}的极限Lim(n→∞)a_n=Lim(n→∞)(n*2^n/2^n)=Lim(n→∞)n=+∞。修正：上述比较系数的方法不适用于直接得出极限为无穷大。应采用更精确的方法。方法一：分子分母同除以2^n。a_n=(n/2^n-n^2/2^n)/(n^2/2^n+1)。考察分子n/2^n和分母n^2/2^n：由比值判别法或直接计算可知，Lim(n→∞)(n/2^n)=0，Lim(n→∞)(n^2/2^n)=0。因此，Lim(n→∞)a_n=(0-0)/(0+1)=0。方法二：使用洛必达法则求Lim(x→+∞)(x*2^x/2^x)。令t=lnx，则x=e^t，x→+∞对应t→+∞。原式=Lim(t→+∞)(e^t*2^(e^t)/2^(e^t))=Lim(t→+∞)e^t=+∞。这表明a_n→+∞。之前的系数比较有误。重新考察：a_n=(n*2^n/2^n-n^2/2^n)/(n^2/2^n+1)=(n-n^2/2^n)/(n^2/2^n+1)。当n→∞时，n^2/2^n→0。故Lim(n→∞)a_n=(n-0)/(0+1)=Lim(n→∞)n=+∞。修正：再次分析错误。分子分母同除以n^2。a_n=[(n/n^2)*(2^n/n^2)-1]/[(n^2/n^2)*(2^n/n^2)+(1/n^2)]=[(1/n)*(2^n/n^2)-1]/[(2^n/n^2)+(1/n^2)]。考察(2^n/n^2)：由比值判别法或直接计算可知，Lim(n→∞)(2^n/n^2)=0。因此，Lim(n→∞)a_n=(-1)/(0+0)=-1/0=-∞。修正：再次分析错误。分子分母同除以2^n。a_n=(n/2^n*1-n^2/2^n*1)/(n^2/2^n*1+1*1)=(n/2^n-n^2/2^n)/(n^2/2^n+1)。考察n/2^n和n^2/2^n：令f(x)=x/2^x，f'(x)=(1-x*ln2)/2^x。令f'(x)=0得x=1/ln2。f(x)在x=1/ln2处取得极大值(1/ln2)/2^(1/ln2)=e^(1-2*ln2)/ln2=1/(ln4*ln2)。当x→+∞时，f(x)→0。由于n→+∞，n/2^n→0。同样，g(x)=x^2/2^x，g'(x)=(2x-x^2*ln2)/2^x。令g'(x)=0得x=2/ln2。g(x)在x=2/ln2处取得极大值(2/ln2)/2^(2/ln2)=2/(ln4*ln2)。当x→+∞时，g(x)→0。由于n→+∞，n^2/2^n→0。因此，Lim(n→∞)a_n=(0-0)/(0+1)=0。最终确认：方法一正确。故Lim(n→∞)a_n=0。(2)要判断是否存在正整数N，使得当n>N时，恒有a_n>1/4。即判断是否存在N，使得当n>N时，(n*2^n-n^2)/(n^2+2^n)>1/4。整理得：4*(n*2^n-n^2)>n^2+2^n。即4n*2^n-4n^2>n^2+2^n。即(4n-1)*2^n>5n^2。考察(4n-1)*2^n和5n^2的增长速度：当n较小时，(4n-1)*2^n和5n^2的值可能比较接近，甚至(4n-1)*2^n<5n^2。例如，当n=1时，(4*1-1)*2^1=3*2=6，5*1^2=5，6>5。当n=2时，(4*2-1)*2^2=7*4=28，5*2^2=20，28>20。当n=3时，(4*