湖南省娄底市部分学校2027届高三上学期9月联考数学试卷（含答案）

娄底市部分学校2027届高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．已知是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（）①；②；③A．①② B．①③C．②③ D．①②③2．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（

）A．1 B． C． D．与a的取值有关3．已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（

）A． B．直线与相切C．的准线方程为 D．4．正项数列满足：，，若前三项构成等比数列且满足，为数列的前项和，则的值为（

）（表示不超过的最大整数）.A．4040 B．4041 C．5384 D．53855．已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则与分别等于（

）A．1， B．1， C．2， D．2，6．已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．27．如图，两个正交的全等正四面体（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点），若正四面体棱长为2，则这两个正交四面体公共部分的体积为（

）A． B． C． D．8．已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（

）A．36 B．42 C．54 D．61二、多选题9．已知复数，下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若复数满足，则在复平面对应的点是D．若是关于的方程的一个根，则10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（

）A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数是120B．由“第行所有数之和为”猜想：C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为22011．已知数列满足，，则（

）A．B．是等差数列C．一定是等比数列D．数列的前99项和为三、填空题12．给出定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经研究发现，所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图像的对称中心．若，则__________．13．已知，为虚数单位，若为纯虚数，则________.14．已知曲线与曲线，且曲线和恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围为____________.四、解答题15．已知函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)当时，①判断的单调性（不要求证明）；②对任意实数x，不等式恒成立，求正整数m的最小值．16．如图所示，已知斜三棱柱中，在上和上分别有一点和，且.

(1)求证：，，共面；(2)，且，点为侧棱上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的余弦值.17．已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆交于两点，其中．(1)求椭圆的方程；(2)若（其中为坐标原点），求.18．某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案：方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测；方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（，），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测.已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X是方案二这n瓶待测试剂的检测次数，为方案二的检测次数的数学期望.(1)记的最大值为E，求证：；(2)能否认为恒成立?说明理由，并以此说明方案二的合理性；(3)给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由.19．已知函数．(1)若函数无极值点，求的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明当时，的图像恒在轴上方．

《娄底市部分学校2027届高三上学期9月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案AADCDCBDCDABC题号11答案BC12．13．()14．15．（1）解：因为函数是一个奇函数，所以，即，可得，即，

则，得或．此时定义域为R，满足题意.（2）①因为，所以．函数，定义域为，因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增．

②对任意实数x，恒成立，，由①知函数在上单调递增，可得在上恒成立．因为，所以，即．于是正整数m的最小值为3．16．(1)证明：因为，所以，.，即，由共面向量定理可知，，，共面.故，，共面.（2）设的中点为.因为，，所以为正三角形，得，.又因，，所以为正三角形，.在中.，由余弦定理可得，，所以.又因，均为正三角形，所以，且，平面，平面，所以平面.因为平面ABC.所以平面平面ABC.所以在平面内作，则平面ABC，以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，.设是平面的一个法向量.，则，即取，则，，得.由上知，.设直线与平面所成角为，，.则故直线与平面所成角的余弦值为.17．（1）由题意可知，所以椭圆方程为：；（2）联立直线与椭圆方程有，所以，且或,显然位于纵轴同侧，设直线与纵轴交于点C，易知，因为，所以，即，则，解之得.

18．(1)设“每个小组的检测次数”，则或，令，则，恒成立恒成立，令，，因为，所以在上单调递增，，所以存在使得，得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，证毕．(2)由（1）知，所以，由题意知，所以，在不是很大的条件下，，所以可以近似认为，因此若以检测次数期望最小为决策依据，那么根据方案二检测次数的期望小于方案一的检测次数，可以认为方案二更优．(3)二分法混合检测

方案说明：当为奇数时，分为和两份检测，各自混合检测，再将含有的那部分再分2份混合检测，如果遇到奇数瓶时，按照第一次分法即可；如果遇到偶数瓶时，则分为相同两份检测，依次类推；当为偶数时，分为和两份检测，各自混合检测，当为偶数时，按照第一次分法继续分为两份，各自混合检测；当为奇数时，按照瓶数差为1的分法继续分，即和两份检测，依次类推；理由：若混合液中未检测出成分，那剩下的试效含有成分的概率会提高，同时也排除了该混合液对应试剂含有的可能性，更有针对的进行试验，从而减少检测次数.19．（1）定义域为R，，函数无极值点，即无解，或有解，但在零点两侧，导函数值同号，当时，恒成立，满足无极值点，当时，变形为，令，，当，，单调递增，当，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，,且当时，，当时，，函数图象如图所示：故当即时,无极值点，当时，，令，，当时，，当时，，当时，，故在处取得极小值