湖南省湘西州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

湖南省湘西州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（i为虚数单位）的虚部为(

)A.-1 B.5 C. D.-52．若集合，，则(

)A. B. C. D.3．如图，向量等于(

)A. B. C. D.4．函数的奇偶性(

)A.仅取决于φ的值 B.与φ的值无关而与ω的值有关C.与ω和φ的值有关而与A的值无关 D.与A、ω、φ的值都有关5．抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则(

)A.A，B为互斥事件 B.B，C为对立事件C.C，D为互斥事件 D.D，E为对立事件6．一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图(1)，底面处于水平状态）.将容器放倒（如图(2)，一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为(

)A.4 B.5 C.6 D.4.57．如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为θ，且，则四棱锥的外接球表面积为(

)A. B. C. D.8．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则的最小值为(

)A. B.2 C.1 D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列选项中，正确的是(

)A.若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同B.若向量，则C.若向量，满足，则或D.若非零向量与共线，则A，B，C三点共线10．有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n且），其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则(

)A. B. C. D.11．如图1，已知矩形中，，，E为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点F是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是(

)A.当F为线段中点时，平面B.C.不存在点F，使平面D.当F为线段中点时，过点A，E，F的截面交于点M，则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．________；13．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若复数，且复数z满足，则的最大值为________；14．已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则________，的最小值为________.五、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知，，(1)若，求与夹角的余弦值；(2)若，求的值.16．（15分）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：.中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；(2)估计该公司员工的值的众数，中位数；(3)已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数.17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值.18．（17分）A、B两队进行围棋比赛，A队有甲、乙、丙三位棋手，B队只有丁一位棋手.比赛规则如下：A队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平.已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，各盘比赛相互独立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为.(1)若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求；(2)若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求A、B两队打平的概率；(3)通过计算判断A队怎样安排出场顺序对丁最有利.19．（17分）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角θ为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：(1)若，，，求；(2)已知，①若，求的值；②若，求S.参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：B4．答案：A5．答案：D6．答案：A7．答案：C8．答案：A9．答案：BD10．答案：ABD11．答案：ACD12．答案：13．答案：14．答案：1；15．(1)由题：，所以，解得，所以，，所以.(2)，，解得，，故.16．(1)由题，，解得：，由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；(2)由频率分布直方图可得，众数为，因为，，故中位数在，设为m，则；(3)设样本平均数为，则由频率分布直方图可得；，又，即，解得：.17．(1)证明：连接，交于点O，连接，因底面是边长为2的菱形，则点O是的中点，又因F为线段的中点，则有，平面，平面，可得平面.(2)证明：因是正三角形，E为线段的中点，则有，又，，即为正三角形，且，因，平面，则平面，又因，故得平面.(3)如图，取的中点M，连接，，，则，且，故即与所成角或其补角.因，，，由余弦定理，，又因平面平面，平面平面，，平面，故平面，又平面，则，又，故，由(2)已得平面，因平面，故，则，又，则在中，由余弦定理，，即异面直线与所成角的余弦值为.18．答案：(1)(2)设A、B两队打平的概率为.记事件C：第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜.记事件D：第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则C与D为互斥事件，则.(3)设丁获胜的概率为p.若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，则.同理，若A队按丙、乙、甲的出场顺序与B队进行比赛，则.若A队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与B队进行比赛，则.若A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场