江苏省南京市六合区励志高级中学2025-2026学年高一（下）第四次调研数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京市六合区励志高级中学高一（下）第四次调研数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z满足iz+2=2i,则|z|=（）A. B. C.4 D.82.已知λ∈N*，向量，，，若，则λ的值为（）A.-1 B.1 C.0 D.0或-13.已知点是函数f（x）=sinωx+cosωx的对称中心，则ω的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知一组数据：4，6，a,10，12，14的平均数为9，则这组数据的第70百分位数为（）A.9 B.10 C.11 D.125.已知，则sin2α的值为（）A. B. C. D.6.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（）A. B. C. D.7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,acosB+bcosA=3，且，b=3，则△ABC的形状为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形8.在正方形纸片ABCD上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为A，圆与BC，CD和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则正方形的周长为（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在[195，205]（g）内的水果为优质水果，则（）A.这10个数据的极差小于10

B.这10个数据的中位数与众数相等

C.从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小

D.估计这块水果园中优质水果占60%10.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C.下列说法正确的是（）A. B.

C.A与C互斥 D.P（A∪B）=P（A）+P（B）11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，P，M，N分别为AA1，AD，DD1的中点，则（）A.直线B1P∥平面BMN

B.平面B1PD1∥平面BMN

C.三棱锥P-BMN的体积为18

D.平面BMN截正方体所得的截面是等腰梯形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正四棱锥的底面边长为8，高为3，则这个正四棱锥的侧面积为

.13.已知，则cos2α-cos2β=

.14.在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数不全是奇数的概率为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，，且与的夹角为.

（1）求；

（2）若与平行，求实数λ的值；

（3）求在上的投影向量.16.(本小题15分)

某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取200名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在[60，70）内的学生有30人.

（1）求m,n的值；

（2）学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少？

（3）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在[70，80）和[80，90）内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在[70，80）内的概率.17.(本小题15分)

一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.

（Ⅰ）求编号和为5的事件发生的概率；

（Ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由；

（Ⅲ）如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？18.(本小题17分)

已知，，.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若x是一个直角三角形的一个锐角的度数，求f（x）的值域.

（3）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若f（B）=且b=，求△ABC周长的最大值.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，E为PD的中点，点F在棱PC上，直线AE和直线BF相交.

（1）求证：CD∥EF；

（2）若AD=DC=2，AB=4，.

（i）求证：BC⊥平面PAC；

（ⅱ）求直线AB与平面PBC所成的角.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】BCD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】80

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由，得，，，

由夹角为得，故m＞0，

于是与x轴正方向的夹角为，，解得m=1，即，

则，．

（2），，

由与平行得（1+λ）×（-1）-λ×1=0，解得．

（3），

在上的投影向量为．

16.【答案】解：（1）由题意得，

由图可得：（0.005+0.015+2n+0.040）×10=1，解得n=0.020；

（2）设受表彰的学生的最低分是x,

[90，100）频率为0.020×10=0.2＜34%，

[80，100）频率为0.020×10+0.040×10=0.6＞34%，

故x∈（80，90），且0.20+（90-x）×0.040=0.34，解得x=86.5，

故受表彰的学生的最低分是86.5；

（3）由分数在[70，80）和[80，90））内的频率之比为1：2，

故从成绩在[70，80）和[80，90）内的学生中共抽取6人，

则在[70，80）内抽取2人，记为a,b

在[80，90）内抽取4人，记为c,d,e,f,

再从这6人中选取2人进行个案分析，抽取的样本空间为：

{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共15个样本点，

这2人中恰有1人成绩在[70，80）内的有：

{ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf}，共8个样本点，

故这2人中恰有1人成绩在[70，80）内的概率．

17.【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）不公平，理由见解析；

（Ⅲ）对乙有利．

18.【答案】解：（1）由，，

则根据平面向量数量积的坐标运算、二倍角的正余弦公式和三角函数的恒等变换可得：；

（2）若x是一个直角三角形的一个锐角的度数，

当时，，

则当（即）时，取得的最大值为1，

当（即x=0）时，，

故的值域为；

（3）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若f（B）=，

则，即，

因为B为△ABC的内角，所以0＜B＜π．故，

所以．则；

又，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得3=a2+c2-ac,即（a+c）2-3ac=3，

由均值不等式得：，

即，从而，

当且仅当时取等号，此时△ABC为等边三角形，

所以△ABC周长的最大值为．

19.【答案】解：（1）证明：直线AE和直线BF相交，故A，B，F，E四点共面，

四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面ABFE，

CD⊄平面ABFE，故CD∥平面ABFE，

因为平面PCD∩平面ABFE=EF，CD⊂平面PCD，

故CD∥EF；

（2）（i）证明：AB⊥AD，AB∥CD，故CD⊥AD，

故，

所以AB2=AC2+BC2，故BC⊥AC，

因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

故BC⊥PA，且PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

故BC⊥平面PAC