上海大同中学2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（2026.6）（含答案）

大同中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题（共12题，每题3分）

1．若集合，自然数集为，则．2．已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则．3．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为．4．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为．

5．函数的驻点为．6．设，不等式对一切恒成立，则的取值范围为．7．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是．8．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如上到所示：346722.54.57点到与的覆盖水生植物为，则．

9．设抛物线上的一点到知抛物线的物线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为．10．函数是定义在上的偶函数，其图像如图所示，满足，设是的导函数，则关于的不等式的解集是．

11．对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数恒成立，就称是一个＂全面压缩＂函数.对于所有满足的＂全面压缩＂函数，若恒成立，则正整数的最大值为．12．已知曲线，点在圆内（含边界）运动，若恰存在两条过点的直线交曲线于两点且满足，则点所形成区域的面积为．二、选择题（共4题，每题4分）

13．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（）.

A．B．C．D．

14．设为实数，则＂＂的一个充分不必要条件是（）.

A．B．C．D．

15．某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取200件产品进行检验，得到如下列联表，则下列说法正确的是（）.优质品非优质品合计新产线7525100旧产线6040100合计13565200附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异B．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异C．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量没有差异D．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断犯错误的概率不超过0.001

16．定义在的函数满足，其中常数均为正数，是的导函数，则的图象可能是（）.

A．B．C．D．

三、解答题（共5题，分）

17．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）

已知，记．

（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求的最小值．

18．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）

已知抛物线为第一象限内上的一点，直线经过点．

（1）设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标；

（2）设，已知与轴负半轴相交于点与有两个交点，若，求直线的方程；

19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分分）

已知由椭圆和双曲线复合而成曲线

（1）若和的离心率乘积大小为，求的渐近线方程；

（2）过的右顶点作直线，交于点，交于点，点异于点，且在轴右侧．

①判断和的大小关系，并说明理由；

②若，且，求直线斜率平方的取值范围．

20．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）

若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的＂－切线＂．

（1）若曲线在点处的切线为－切线，另一个公共点的坐标为，求的值；

（2）求曲线所有—切线的方程；

（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为－切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．

大同中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题（共12题，每题3分）

1．若集合，自然数集为，则．【答案】2．已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则．【答案】43．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为．【答案】4．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为．【答案】3

5．函数的驻点为．【答案】6．设，不等式对一切恒成立，则的取值范围为．【答案】7．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是．【答案】8．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如上到所示：346722.54.57点到与的覆盖水生植物为，则．【答案】

9．设抛物线上的一点到知抛物线的物线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为．【答案】10．函数是定义在上的偶函数，其图像如图所示，满足，设是的导函数，则关于的不等式的解集是．【答案】

11．对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数恒成立，就称是一个＂全面压缩＂函数.对于所有满足的＂全面压缩＂函数，若恒成立，则正整数的最大值为．【答案】

【详解】对于，而，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，而当且时，

因为函数是＂全面压缩＂函数，所以即，则，

而当时，，

设，，故最大值为16．12．已知曲线，点在圆内（含边界）运动，若恰存在两条过点的直线交曲线于两点且满足，则点所形成区域的面积为．【答案】

【详解】如图：对曲线，当时，，为抛物线的一部分．点在圆内及其边界上运动时，过点总可以作抛物线的切线，

再将该直线绕点逆时针旋转，此时直线与抛物线交于两点，

旋转过程中，的长度递减，的长度递增，

所以必定存在一个位置，使得成立，且唯一存在．

当时，，其渐近线为．

当点在直线上或直线下方时，过点的直线与只有1个交点，不满足题意；

当点在直线上方时，过点总可以作双曲线的切线，

再将该直线绕点顺时针旋转，此时直线与双曲线交于两点，

旋转过程中，的长度递减，的长度递增，

所以必定存在一个位置，使得成立，且唯一存在.

所以若恰存在两条过点的直线交曲线于两点且满足，则点所形成区域应该是圆中，位于直线上方的区域．

该区域的面积为．二、选择题（共4题，每题4分）

13．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（）.

A．B．C．D．【答案】C

14．设为实数，则＂＂的一个充分不必要条件是（）.

A．B．C．D．【答案】D

15．某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取200件产品进行检验，得到如下列联表，则下列说法正确的是（）.优质品非优质品合计新产线7525100旧产线6040100合计13565200附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异B．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异C．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量没有差异D．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断犯错误的概率不超过0.001【答案】A

16．定义在的函数满足，其中常数均为正数，是的导函数，则的图象可能是（）.

A．B．C．D．【答案】D

三、解答题（共5题，分）

17．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）

已知，记．

（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求的最小值．

【答案】（1）（2）9【解析】（1）因为，即，

当时，不等式的解集为．

（2）由题意知分别是方程的两根，

由韦达定理可知，所以且，

所以，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．

18．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）

已知抛物线为第一象限内上的一点，直线经过点．

（1）设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标；

（2）设，已知与轴负半轴相交于点与有两个交点，若，求直线的方程；

【答案】（1）（2）【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，准线为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，将代入得，故直线与准线的交点坐标为．

（2）设，由，得到是的中点，因为，所以，所以，解得，则此时直线的方程为，即．

19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分分）

已知由椭圆和双曲线复合而成曲线

（1）若和的离心率乘积大小为，求的渐近线方程；

（2）过的右顶点作直线，交于点，交于点，点异于点，且在轴右侧．

①判断和的大小关系，并说明理由；

②若，且，求直线斜率平方的取值范围．

【答案】（1）（2）①②【解析】（1）由题意可知

则，所以，即渐进方程是

（2）①由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，

由于点异于点，且在轴右侧可知，

与椭圆联立可得，设两个根分别为和，

则，

同理将直线和双曲线联立可得，设两根分别为和，则，

由，可知．

②设直线方程为，同①联立椭圆方程可得，

由韦达定理，注意到，则可得，

同理与双曲线联立可得，则，所以，

因为，

所以，化简可得，

解方程可得，由于，

可知，令，

易得在区间上为严格增函数，所以．

20．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）

若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的＂－切线＂．

（1）若曲线在点处的切线为－切线，另一个公共点的坐标为，求的值；

（2）求曲线所有—切线的方程；

（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为－切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．

【答案】（1）（2）（3）存在，理由见解析【解析】（1）曲线在点处的切线为－切线，另一个公共点的坐标为，所以切线斜率为，所以．

（2），所以．设切点为，则切线斜率为，

所以切线方程为，即．

设，因为切线为－切线，所以有且仅有1个根，所以解得，

所以曲线所有一切线仅有一条，切线方程为．

（3）存