上海复旦附中2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（2026.6）(含简略答案)

复旦附中2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.若等可能的样本空间，则事件发生的概率________．2.若，则的最小值为________．3.的二项展开式中的系数为________．4.设：，：，若是的必要条件，则正实数的取值范围是________．5.已知，，，若、和共面，则实数________．6.已知随机变量服从正态分布，若，则________．7.已知事件与事件互斥，，，则________．8.设的二项展开式中各项系数分别为，则从这六个数中不放回地依次任取两个数，在已知抽取的第一个数为正数的情况下，第二个数大于4的概率为________．9.设集合，若，则实数的取值范围是________．10.已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________．11.若函数的定义域为的一个非空子集，值域为，则这样不同的函数共有________个．12.已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．13.已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（）条件．A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分又非必要14.某小组在探究两个数值变量、之间的线性关系时，随机抽取了8个样本点，由于操作疏忽，在运用最小二乘法求回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为．后来检查发现后，输入全部8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，，则以下结论中一定正确的个数是（）．①新的样本中心仍为；②两个数值变量，具有正相关关系；③；A.0 B.1 C.2 D.315.已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（）．A.4 B.2 C.1 D.-216.甲和乙进行一场体育比赛，该比赛由局小比赛组成（，），先赢局的选手获得整场比赛的胜利．假设每局比赛甲获胜的概率为，每局之间的胜负相互独立，且没有平局．则对于以下结论，说法正确的是（）．①若，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，则．②若，设甲获得整场比赛胜利的概率为，则．A.①对②对 B.①错②错 C.①对②错 D.①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时、其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图17-1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图17-2所示．（1）求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数；（2）根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由；男生女生总计健康手机使用11非健康手机使用9总计202545（3）班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和．参考数据：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知平行六面体，点为的重心．（1）求证：、、三点共线；（2）若平面．，，，求直线与平面所成角的大小．19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）已知函数为定义在上的偶函数，其中．（1）求实数的值；（2）设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）在运用人工智能解决问题时，AI模型可能会生成看似合理但实际不正确的信息现象，称为AI幻觉．AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上5个使用率较高的AI模型，其回答单独一个问题的幻觉率如下表所示．AI模型12345幻觉率0.10.150.30.160.4（1）若以AI幻觉率最低的2个模型（模型1、2）独立地解答同一问题，以此高效避免AI幻觉，记随机变量为这2个模型中没有出现AI幻觉的个数，求；（2）现独立地重复使用AI模型3处理一系列不相关的问题，若第1个问题的解答不出现AI幻觉，则不再问第2个问题；否则继续提问，直至某一个问题的解答不出现AI幻觉为止．记随机变量为停止提问时该模型已经回答的问题数，求证：对于任意正整数和，恒有；（3）在调查研究中发现，使用AI模型5解决一系列相关问题时会出现较为有趣的现象，若第个问题解答出现了AI幻觉，则第个问题解答出现AI幻觉的概率为0.5，若第个问题解答不出现AI幻觉，则第个问题解答出现AI幻觉的概率为0.2，其中，．若运用AI模型5解答5个相关问题（之前没有回答过相关的问题），记随机变量为这5个相关问题中出现AI幻觉的个数，求．（结果精确到0.01）21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数的定义域为，对于给定实数和（），定义集合．（1）若，求；（2）设，若，求实数的取值范围；（3）设集合，则“对于任意给定实数和（），若，均有”的充要条件是“是奇函数”．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.12.已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________．【答案】【解析】由有，可知的终点在以的中点为球心，为半径的球上.设是球上任意一点，分别是线段的中点，的中点为，则，设与相交于，的中点为，线段与相交于，则是中点，而是中点，故，即在以为球心，为半径的球上.又所以，从而二、选择题13.B14.B15.C16.A15.已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（）．A.4 B.2 C.1 D.-2【答案】C【解析】由函数是上的奇函数，易有，故从而.若，则，，矛盾，A错若，则，，矛盾，B错同理D错，故选C16.甲和乙进行一场体育比赛，该比赛由局小比赛组成（，），先赢局的选手获得整场比赛的胜利．假设每局比赛甲获胜的概率为，每局之间的胜负相互独立，且没有平局．则对于以下结论，说法正确的是（）．①若，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，则．②若，设甲获得整场比赛胜利的概率为，则．A.①对②对 B.①错②错 C.①对②错 D.①错②对【答案】A【解析】由可知甲乙获胜的概率相等，都为，显然到第局才决出胜负的概率不为，故甲乙不进行第局比赛就能获胜的概率都小于，①对；，计算可知，②对.故选A三、解答题17.（1）极差第百分位数（2）独立性检验结果：不能男生女生总计健康手机使用111425非健康手机使用91120总计202545（3）18.（1）证明略（2）19.（1）（2）20．【答案】（1）（2）证明略（3）21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题