上海甘泉外国语2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（2026.5）(含简略答案)

甘泉2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.5一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1．已知集合，则______．2．抛物线的准线方程为______．3．已知实数a，b满足，则的最小值为______．4．已知函数在时取得极值，则______．5．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为______．6．已知等差数列的前n项和为，若，，则______．7．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为A，若椭圆C的离心率为，则的值为______．8．已知：，：，若是的充分条件，则实数m的取值范围是______．9．已知直线l经过双曲线的左焦点F，且与双曲线的左支交于点A、B，点A、C关于y轴对称，若，则双曲线的渐近线方程为______．10．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为______．11．设集合，选择I的两个非空子集A和B，要使集合B中的最小数大于集合A中的最大数，则不同的选择方法有______种．12．已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则a的取值范围为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）．13．已知实数a，b满足，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．14．已知复数z和，则下列说法正确的是（）A．若，则z是纯虚数 B．一定是虚数C．一定是实数 D．若，则z是纯虚数15．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列两个命题：命题：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；命题：曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；则下列说法正确的是（）A．命题是真命题，命题是假命题B．命题是假命题，命题是真命题C．命题，都是真命题D．命题，都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）．17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设．（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；（2）若，且在△ABC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值．19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形，，FA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，，点G为线段AF的中点．（1）求证：平面BDG∥平面CEF；（2）求直线BC与平面BDG所成角的正弦值．20．（本题满分18分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）某校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆．（1）求椭圆C的蒙日圆的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求△OMN的面积（O为坐标原点）；（3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的最小值．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．设集合，选择I的两个非空子集A和B，要使集合B中的最小数大于集合A中的最大数，则不同的选择方法有______种．【答案】【解析】集合中没有相同的元素，且都不是空集，从6个元素中选出2个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；

从6个元素中选出3个元素，有种选法，再分成1一个元素一组、2个元素一组，有两种分法，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；

从6个元素中选出4个元素，有种选法，再分成1个元素一组、3三个元素一组；2个元素一组、2个元素一组；3个元素一组、1一个元素一组，共三种分法，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；

从6个元素中选出5个元素，有种选法，再分成1个元素—组、4个元素—组；2个元素—组、3个元素一组；3个元素一组、2个元素一组；4个元素—组、1两个元素一组，有四种分法，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有种方法；

从6个元素中选出6个元素，有种选法，再分成1个元素—组、5个元素—组；2个元素—组、4个元素—组；3个元素—组、3个元素—组；4个元素—组、2个元素一组；5个元素一组、1两个元素一组，有五种分法，较小元素的一组给集合，较大元素的一组的给集合，共有5种方法；总计为种方法．故答案为：129．二、选择题13.B14.C15.D16.A15．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在区间，上单调递增，即，故，由于，且，即整理得：，解得．故选D.16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列两个命题：命题：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；命题：曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；则下列说法正确的是（）A．命题是真命题，命题是假命题B．命题是假命题，命题是真命题C．命题，都是真命题D．命题，都是假命题【答案】A【解析】因为曲线，用替换曲线中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，当时，，所以，可得，所以曲线经过点再根据对称性可知，曲线还经过点；对于，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据对称性可知，曲线上的所有点到原点的距离都不超过，故正确；

对于，因为在轴上方，图形面积大于四点围成的矩形面积，在轴下方，图形面积大于三点围成的等腰直角三角形的面积，所以曲线所围成的＂心形＂区域的面积的面积大于3，故错误．故选：．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）证明略（2）20．（本题满分18分，第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）某校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）【答案】（1）男、女生各有170,160名（2）（3）【解析】（1）根据题意可知，抽样比为，

所以该校高一学生中男生有名，女生有名；

（2）从这66名学生中随机抽取两名共有种，两名都是男生的抽法共有种，

所以这两名都是男生的概率为

（3）根据题意可设正确的31个数据为，易知，可得4996；

所以原始数据平均值为；由方差定义可得

因此，可得原始数据的方差为，即原始数据的方差为．21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆．（1）求椭圆C的蒙日圆的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求△OMN的面积（O为坐标原点）；（3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）易知，所以椭圆的蒙日圆的方程为；

（2）由（1）知，椭圆的方程