2026年重庆市部编版高中数学选修2-2第4章概率统计习题

2026年重庆市部编版高中数学选修2-2第4章概率统计习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某校随机抽取10名学生，调查他们是否喜欢数学，得到的数据如下：喜欢数学的有6人，不喜欢数学的有4人。现用分层抽样的方法从这10名学生中抽取2人参加数学竞赛，则抽到2名喜欢数学的学生的概率是（）A.1/15B.3/10C.1/3D.1/5解析：分层抽样要求保持各层比例不变。喜欢数学的学生占60%（6/10），因此抽到2名喜欢数学的学生的概率为C(6,2)/C(10,2)=15/45=1/3。选项C正确。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击3次，则恰好命中2次的概率是（）A.0.343B.0.21C.0.147D.0.081解析：根据二项分布公式P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n=3，k=2，p=0.7，计算得P(X=2)=C(3,2)×0.7^2×0.3=3×0.49×0.3=0.441。选项B正确。3.一个袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取3个球，则抽到的3个球中至少有1个红球的概率是（）A.1/12B.5/12C.7/12D.11/12解析：用对立事件求解，即3个球全为白球的概率为C(3,3)/C(8,3)=1/56，因此至少有1个红球的概率为1-1/56=55/56。选项D正确。4.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机选出3名学生组成一个小组，则选出的3名学生中恰有2名男生和1名女生的概率是（）A.3/50B.9/50C.3/25D.1/10解析：根据组合公式，选2名男生和1名女生的组合数为C(30,2)×C(20,1)，总组合数为C(50,3)，概率为[C(30,2)×C(20,1)]/C(50,3)=(435×20)/(19600)=8700/19600=0.441。选项C正确。5.某公交线路每10分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过3分钟的概率是（）A.3/10B.7/10C.1/5D.1/3解析：根据均匀分布，概率为3/10。选项A正确。6.一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5个小球，从中随机抽取2个小球，则抽到的2个小球标号之和为偶数的概率是（）A.1/10B.3/10C.1/2D.2/5解析：标号和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(3,5)，共3种，总情况数为C(5,2)=10，概率为3/10。选项B正确。7.某气象站预测下雨的概率为60%，则连续3天都下雨的概率是（）A.0.216B.0.48C.0.28D.0.6解析：连续独立事件概率相乘，P=0.6^3=0.216。选项A正确。8.一个盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10，从中随机抽取一张，则抽到的卡片数字是偶数的概率是（）A.1/2B.1/10C.1/5D.3/5解析：偶数有5个（2,4,6,8,10），概率为5/10=1/2。选项A正确。9.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.8，他连续投篮4次，则至少命中3次的概率是（）A.0.8B.0.512C.0.8192D.0.128解析：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)×0.8^3×0.2+0.8^4=0.8192。选项C正确。10.一个袋中有3个红球和2个白球，从中不放回地抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率是（）A.3/10B.2/5C.1/2D.3/5解析：不同颜色情况有(红,白)和(白,红)，共6种，总情况数为6，概率为1/2。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.一个袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取3个球，则抽到的3个球中至少有1个红球的概率是________。参考答案：55/56解析：对立事件法，3个球全白概率为1/56，至少1红为1-1/56=55/56。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.6，他连续射击4次，则恰好命中2次的概率是________。参考答案：0.3456解析：二项分布P(X=2)=C(4,2)×0.6^2×0.4^2=6×0.36×0.16=0.3456。3.一个盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10，从中随机抽取一张，则抽到的卡片数字是质数的概率是________。参考答案：0.3解析：质数有4个（2,3,5,7），概率为4/10=0.3。4.某公交线路每15分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过5分钟的概率是________。参考答案：1/3解析：均匀分布，概率为5/15=1/3。5.一个袋中有4个红球和3个白球，从中随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色相同的概率是________。参考答案：7/21解析：同色情况有C(4,2)+C(3,2)=6+3=9，总情况数C(7,2)=21，概率为9/21=3/7。6.某气象站预测下雨的概率为50%，则连续2天都下雨的概率是________。参考答案：0.25解析：连续独立事件P=0.5^2=0.25。7.一个盒子里有8张卡片，分别标有数字1到8，从中随机抽取一张，则抽到的卡片数字是奇数的概率是________。参考答案：0.5解析：奇数有4个（1,3,5,7），概率为4/8=0.5。8.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.7，他连续投篮3次，则至少命中1次的概率是________。参考答案：0.973解析：对立事件法，全不中概率为0.3^3=0.027，至少1中为1-0.027=0.973。9.一个袋中有6个红球和4个白球，从中不放回地抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率是________。参考答案：24/50解析：不同颜色情况有C(6,1)×C(4,1)=24，总情况数C(10,2)=45，概率为24/45=8/15。10.某公交线路每20分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过10分钟的概率是________。参考答案：1/2解析：均匀分布，概率为10/20=1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.如果事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（√）解析：互斥事件指A和B不能同时发生，概率加法公式成立。2.一个袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取3个球，则抽到的3个球中至少有1个红球的概率是3/5。（×）解析：正确概率为55/56，选项错误。3.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，他连续射击4次，则恰好命中3次的概率是0.8192。（√）解析：二项分布P(X=3)=C(4,3)×0.8^3×0.2=0.8192。4.一个盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10，从中随机抽取一张，则抽到的卡片数字是偶数的概率是1/2。（√）解析：偶数有5个，概率为5/10=1/2。5.某公交线路每10分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过2分钟的概率是1/5。（√）解析：均匀分布，概率为2/10=1/5。6.某气象站预测下雨的概率为70%，则连续3天都下雨的概率是0.343。（√）解析：连续独立事件P=0.7^3=0.343。7.一个袋中有4个红球和3个白球，从中随机抽取2个球，则抽到的2个球颜色相同的概率是3/7。（×）解析：正确概率为9/21=3/7，选项正确。8.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.6，他连续投篮3次，则至少命中2次的概率是0.648。（√）解析：P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C(3,2)×0.6^2×0.4+0.6^3=0.648。9.一个盒子里有8张卡片，分别标有数字1到8，从中随机抽取一张，则抽到的卡片数字是合数的概率是0.5。（√）解析：合数有4个（4,6,8），概率为4/8=0.5。10.某公交线路每15分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过7分钟的概率是7/15。（√）解析：均匀分布，概率为7/15。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述互斥事件与独立事件的区别。参考答案：互斥事件指两个事件不能同时发生，如掷骰子得到1点与得到2点；独立事件指一个事件的发生不影响另一个事件的发生，如掷两次骰子第一次得到1点不影响第二次得到2点。2.解释什么是二项分布，并写出其概率公式。参考答案：二项分布描述n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率，公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中p为事件A发生的概率。3.什么是分层抽样？请举例说明。参考答案：分层抽样是将总体分成若干层，按比例从各层随机抽取样本。例如，调查某校学生视力情况，按年级分层抽样。4.解释什么是均匀分布，并举例说明。参考答案：均匀分布指在区间[a,b]上每个点被取到的概率相等，如公交车每15分钟发一班车，乘客到达时刻的等待时间服从均匀分布。5.什么是概率的加法公式？适用于哪些情况？参考答案：概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，适用于任意事件，当A和B互斥时简化为P(A∪B)=P(A)+P(B)。6.解释什么是条件概率，并写出其计算公式。参考答案：条件概率指在事件B发生的条件下事件A发生的概率，公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(B)>0。7.什么是抽样调查？请举例说明。参考答案：抽样调查是从总体中抽取部分样本进行调查，以推断总体特征。例如，调查某城市居民收入水平，抽取部分居民进行调查。8.解释什么是随机事件，并举例说明。参考答案：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如掷骰子得到6点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机选出3名学生组成一个小组，则选出的3名学生中恰有2名男生和1名女生的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：根据组合公式，选2名男生和1名女生的组合数为C(30,2)×C(20,1)，总组合数为C(50,3)，概率为[C(30,2)×C(20,1)]/C(50,3)=(435×20)/(19600)=8700/19600=0.441。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，他连续射击4次，则至少命中3次的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：至少3中包括3中和4中，P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)×0.7^3×0.3+0.7^4=0.8192。3.一个盒子里有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取3个球，则抽到的3个球中至少有1个红球的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：对立事件法，3个球全白概率为C(3,3)/C(8,3)=1/56，至少1红为1-1/56=55/56。4.某公交线路每10分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过3分钟的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：根据均匀分布，概率为3/10。5.一个盒子里有7张卡片，分别标有数字1到7，从中随机抽取一张，则抽到的卡片数字是偶数的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：偶数有4个（2,4,6），概率为4/7。6.某气象站预测下雨的概率为60%，则连续2天都下雨的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：连续独立事件P=0.6^2=0.36。7.一个袋子里有4个红球和3个白球，从中不放回地抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：不同颜色情况有C(4,1)×C(3,1)=12，总情况数C(7,2)=21，概率为12/21=4/7。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某公司招聘员工，共有100名应聘者，其中男性60名，女性40名。公司决定采用分层抽样的方法招聘3名员工，已知男性应聘者中通过初试的有30名，女性应聘者中通过初试的有20名。现从通过初试的应聘者中随机抽取2名，则抽到的2名应聘者中恰有1名男性和1名女性的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：通过初试的男性有30名，女性有20名，总通过初试60人。选1男1女的组合数为C(30,1)×C(20,1)=600，总情况数C(60,2)=1770，概率为600/1770=20/59。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，他连续射击5次，则恰好命中3次的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：二项分布P(X=3)=C(5,3)×0.8^3×0.2^2=10×0.512×0.04=0.2048。3.某公交线路每15分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过5分钟的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：根据均匀分布，概率为5/15=1/3。4.一个盒子里有6个红球和4个白球，从中不放回地抽取3个球，则抽到的3个球中至少有1个红球的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：对立事件法，3个球全白概率为C(4,3)/C(10,3)=4/120=1/30，至少1红为1-1/30=29/30。5.某气象站预测下雨的概率为50%，则连续3天都下雨的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：连续独立事件P=0.5^3=0.125。6.一个盒子里有9张卡片，分别标有数字1到9，从中随机抽取一张，则抽到的卡片数字是质数的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：质数有5个（2,3,5,7），概率为5/9。7.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.6，他连续投篮4次，则至少命中2次的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：至少2中包括2中、3中和4中，P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=C(4,2)×0.6^2×0.4^2+C(4,3)×0.6^3×0.4+0.6^4=0.8192。8.某公交线路每20分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，则乘客等待时间不超过10分钟的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：根据均匀分布，概率为10/20=1/2。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述二项分布的应用场景及其特点。参考答案：二项分布在重复独立试验中应用广泛，如质量控制、医学试验等。特点包括：①试验次数固定；②每次试验结果互斥；③每次试验概率相同。2.论述分层抽样的优缺点及其适用条件。参考答案：优点：①保证样本代表性；②便于统计分析。缺点：①分层成本高；②需先了解总体结构。适用条件：①总体可分层；②各层内同质性强。3.论述条件概率的计算方法及其实际应用。参考答案：条件概率P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。实际应用如：①疾病诊断中已知患病概率计算症状出现概率；②购物决策中已知品牌偏好计算购买概率。4.论述均匀分布的特点及其应用场景。参考答案：特点：①每个点概率相等；②简单易计算。应用场景：①随机数生成；②等待时间分析。5.论述概率加法公式的适用条件及其扩展形式。参考答案：适用条件：①任意事件。扩展形式：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)。6.论述随机事件与必然事件、不可能事件的区别。参考答案：随机事件：可能发生也可能不发生；必然事件：一定发生；不可能事件：一定不发生。区别在于发生确定性不同。7.论述抽样调查的抽样方法及其选择依据。参考答案：抽样方法：①简单随机抽样；②分层抽样；③整群抽样。选择依据：①总体结构；②调查目的；③成本限制。8.论述概率乘法公式的适用条件及其扩展形式。参考答案：适用条件：①独立事件；②条件概率。扩展形式：P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)=P(A₁)×P(A₂|A₁)×...×P(Aₙ|A₁∩A₂∩...∩Aₙ₋₁)。9.论述互斥事件与独立事件的区别及其计算方法。参考答案：区别：互斥事件不能同时发生；独立事件一个发生不影响另一个。计算：互斥事件用加法公式；独立事件用乘法公式。10.论述概率论在日常生活中的应用。参考答案：①购物决策（如抽奖概率）；②保险定价（如事故概率）；③游戏设计（如获胜概率）。11.论述概率统计的基本思想及其在科学研究中的作用。参考答案：基本思想：通过样本推断总体。作用：①数据分析；②科学决策；③预测未来。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.A8.A9.C10.D解析：第1题用对立事件法，第2题用二项分布，第3题用组合计算，第4题用组合计算，第5题用均匀分布，第6题用组合计算，第7题用二项分布，第8题用组合计算，第9题用二项分布，第10题用组合计算。二、填空题1.55/5612.0.345613.0.314.1/315.7/2116.0.252.0.518.0.97319.24/5020.1/2解析：第11题用对立事件法，第12题用二项分布，第13题用组合计算，第14题用均匀分布，第15题用组合计算，第16题用二项分布，第17题用组合计算，第18题用对立事件法，第19题用组合计算，第20题用均匀分布。三、判断题1.√22.×23.√24.√25.√26.√27.×28.√29.√30.√解析：第21题互斥事件加法公式，第22题计算错误，第23题二项分布正确，第24题组合计算正确，第25题均匀分布正确，第26题二项分布正确，第27题计算错误，第28题二项分布正确，第29题组合计算正确，第30题均匀分布正确。四、简答题1.互斥事件指不能同时发生，如掷骰子得到1点与得到2点；独立事件指一个发生不影响另一个，如掷两次骰子第一次得到1点不影响第二次得到2点。2.二项分布描述n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率，公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中p为事件A发生的概率。3.分层抽样是将总体分成若干层，按比例从各层随机抽取样本。例如，调查某校学生视力情况，按年级分层抽样。4.均匀分布指在区间[a,b]上每个点被取到的概率相等，如公交车每15分钟发一班车，乘客到达时刻的等待时间服从均匀分布。5.概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，适用于任意事件，当A和B互斥时简化为P(A∪B)=P(A)+P(B)。6.条件概率指在事件B发生的条件下事件A发生的概率，公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(B)>0。7.抽样调查是从总体中抽取部分样本进行调查，以推断总体特征。例如，调查某城市居民收入水平，抽取部分居民进行调查。8.随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如掷骰子得到6点。五、应用题1.选2男1女的组合数为C(30,2)×C(20,1)=435×20=8700，总组合数为C(50,3)=19600，概率为8700/19600=0.441。2.P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)×0.7^3×0.3+0.7^4=0.8192。3.对立事件法，3个球全白概率为C(3,3)/C(8,3)=1/56，至少1红为1-1/56=55/56。4.根据均匀分布，概率为3/10。5.偶数有4个（2,4,6），概率为4/7。6.连续独立事件P=0.6^2=0.36。7.不同颜色情况有C(4,1)×C(3,1)=12，总情况数C(7,2)=21，概率为12/21=4/7。六、案例分析题1.通过初试的男性有30名，女性有20名，总通过初试60人。选1男1女的组合数为C(30,1)×C(20,1)=600，总情况数C(60,2)=1770，概率为600/1770=20/59。2.P(X=3)=