2026年重庆市部编版高中数学选修2-5第8章线性规划习题

2026年重庆市部编版高中数学选修2-5第8章线性规划习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的哪个点上取得？A.可行域的顶点B.可行域的内部C.可行域的边界上任意一点D.可行域的对角线上某点解析：线性规划问题的最优解（目标函数的最大值或最小值）一定在可行域的顶点处取得，这是线性规划的基本性质。可行域的内部或边界上其他点可能不是最优解，而对角线并非线性规划的基本概念。因此正确答案是A。2.已知线性约束条件为x₁+x₂≤4，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的形状是什么？A.线段B.三角形C.四边形D.无界区域解析：约束条件x₁+x₂≤4表示一条直线x₁+x₂=4及其下方区域，结合x₁≥0，x₂≥0（第一象限），可行域是由三条坐标轴和直线x₁+x₂=4围成的三角形区域。因此正确答案是B。3.若目标函数z=3x₁+5x₂在可行域中取得最大值，且最优解的坐标为（2，3），则最大值为多少？A.21B.29C.31D.35解析：将最优解（2，3）代入目标函数z=3x₁+5x₂，得z=3×2+5×3=6+15=21。因此正确答案是A。4.在绘制线性规划可行域时，若约束条件为x₁-x₂≥1，应如何表示？A.直线x₁-x₂=1及其上方区域B.直线x₁-x₂=1及其下方区域C.直线x₁-x₂=-1及其上方区域D.直线x₁-x₂=-1及其下方区域解析：不等式x₁-x₂≥1表示直线x₁-x₂=1及其右上方区域（x₁≥x₂+1）。因此正确答案是A。5.若线性规划问题的可行域为空集，则该问题是否有解？A.一定有解B.一定无解C.可能有解D.取决于目标函数解析：可行域为空集意味着所有约束条件矛盾，无法找到满足所有条件的解，因此问题无解。因此正确答案是B。6.已知目标函数z=2x₁+x₂，若x₁+x₂=6，则z的最大值为多少？A.6B.12C.18D.无法确定解析：将x₁+x₂=6代入目标函数，得z=2x₁+x₂=2x₁+(6-x₁)=x₁+6。由于x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂=6，可得0≤x₁≤6，因此z的最大值为6+6=12。因此正确答案是B。7.在线性规划问题中，若目标函数为z=4x₁-2x₂，则其最优解一定在可行域的哪个象限取得？A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：目标函数z=4x₁-2x₂的斜率为-2，即随着x₁增加，z增加；随着x₂增加，z减少。因此最优解可能在第一象限（x₁≥0，x₂≥0）或第四象限（x₁≥0，x₂≤0），但不可能在第二或第三象限。因此正确答案是A或D，但题目要求唯一答案，需补充约束条件确定。若默认x₂≥0，则最优解在第一象限。8.若线性规划问题的最优解不止一个，则称为什么？A.唯一最优解B.多重最优解C.无界解D.无解解析：最优解不止一个时，称为多重最优解或无穷最优解。因此正确答案是B。9.在绘制线性规划可行域时，若约束条件为2x₁+x₂≤6，x₁+x₂≥4，则可行域的边界由哪几条直线围成？A.x₁=0，x₂=0，2x₁+x₂=6，x₁+x₂=4B.x₁=0，x₂=0，2x₁+x₂=6，x₁+x₂=-4C.x₁=0，x₂=0，2x₁+x₂=6，x₁+x₂=4D.x₁=0，x₂=0，2x₁+x₂=-6，x₁+x₂=4解析：约束条件2x₁+x₂≤6表示直线2x₁+x₂=6及其下方区域，x₁+x₂≥4表示直线x₁+x₂=4及其上方区域。结合x₁≥0，x₂≥0（第一象限），可行域由x₁=0，x₂=0，2x₁+x₂=6，x₁+x₂=4围成。因此正确答案是C。10.若线性规划问题的目标函数为z=5x₁+3x₂，约束条件为x₁+x₂≤8，x₁≥0，x₂≥0，则z的最大值不可能超过多少？A.40B.50C.60D.80解析：目标函数z=5x₁+3x₂的斜率为-5/3，即随着x₁增加，z增加；随着x₂增加，z减少。当x₁+x₂=8时，z=5x₁+3(8-x₁)=2x₁+24。由于x₁≤8，x₂≤8，且x₁+x₂≤8，可得0≤x₁≤8，因此z的最大值为2×8+24=40。因此正确答案是A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若线性规划问题的可行域是一个四边形，则该问题的约束条件至少有______个。参考答案：3解析：四边形由三条直线围成，因此至少有三个不等式约束条件。2.若目标函数z=3x₁+2x₂在可行域中取得最小值，且最优解的坐标为（1，2），则最小值为______。参考答案：9解析：将最优解（1，2）代入目标函数，得z=3×1+2×2=3+4=9。3.在绘制线性规划可行域时，若约束条件为x₁-x₂≤2，则直线x₁-x₂=2应画成______线，且可行域在直线的______侧。参考答案：虚；下方解析：虚线表示不等式不包括等号，即x₁-x₂<2；可行域在直线的下方侧（x₁<x₂+2）。4.若线性规划问题的可行域为空集，则该问题称为______问题。参考答案：无解解析：可行域为空集意味着所有约束条件矛盾，无法找到满足所有条件的解，因此问题无解。5.在线性规划问题中，若目标函数为z=2x₁-x₂，则其最优解一定在可行域的______象限取得。参考答案：第一或第三解析：目标函数z=2x₁-x₂的斜率为2，即随着x₁增加，z增加；随着x₂增加，z减少。因此最优解可能在第一象限（x₁≥0，x₂≥0）或第三象限（x₁≤0，x₂≤0）。6.若线性规划问题的最优解不止一个，则称为什么？参考答案：多重最优解解析：最优解不止一个时，称为多重最优解或无穷最优解。7.在绘制线性规划可行域时，若约束条件为x₁+x₂≥6，则直线x₁+x₂=6应画成______线，且可行域在直线的______侧。参考答案：实；上方解析：实线表示不等式包括等号，即x₁+x₂≥6；可行域在直线的上方侧（x₁+x₂>6）。8.若线性规划问题的约束条件为x₁+x₂≤8，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的顶点有几个？参考答案：4解析：可行域由三条坐标轴和直线x₁+x₂=8围成，形成四个顶点（0，0），（8，0），（0，8），（8，8）。9.在线性规划问题中，若目标函数为z=5x₁+3x₂，约束条件为x₁+x₂≤8，x₁≥0，x₂≥0，则z的最大值不可能超过______。参考答案：40解析：目标函数z=5x₁+3x₂的斜率为5/3，即随着x₁增加，z增加；随着x₂增加，z减少。当x₁+x₂=8时，z=5x₁+3(8-x₁)=2x₁+24。由于x₁≤8，x₂≤8，且x₁+x₂≤8，可得0≤x₁≤8，因此z的最大值为2×8+24=40。10.若线性规划问题的可行域是一个三角形，则该问题的约束条件至少有______个。参考答案：3解析：三角形由三条直线围成，因此至少有三个不等式约束条件。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得。参考答案：正确解析：线性规划问题的最优解（目标函数的最大值或最小值）一定在可行域的顶点处取得，这是线性规划的基本性质。2.若线性规划问题的可行域为空集，则该问题一定无解。参考答案：正确解析：可行域为空集意味着所有约束条件矛盾，无法找到满足所有条件的解，因此问题无解。3.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x₁+x₂，则其最优解一定在可行域的边界上取得。参考答案：正确解析：线性规划问题的最优解一定在可行域的边界上取得（顶点或边界上的某点）。4.若线性规划问题的约束条件为x₁+x₂≤6，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的形状是四边形。参考答案：错误解析：可行域由三条坐标轴和直线x₁+x₂=6围成，形成四个顶点，形状是四边形。5.在线性规划问题中，若目标函数为z=2x₁-x₂，则其最优解一定在可行域的第四象限取得。参考答案：错误解析：目标函数z=2x₁-x₂的斜率为2，即随着x₁增加，z增加；随着x₂增加，z减少。因此最优解可能在第一象限（x₁≥0，x₂≥0）或第三象限（x₁≤0，x₂≤0）。6.若线性规划问题的最优解不止一个，则称为什么？参考答案：正确解析：最优解不止一个时，称为多重最优解或无穷最优解。7.在绘制线性规划可行域时，若约束条件为x₁-x₂≤2，则直线x₁-x₂=2应画成虚线。参考答案：正确解析：虚线表示不等式不包括等号，即x₁-x₂<2。8.若线性规划问题的约束条件为x₁+x₂≤8，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的顶点有四个。参考答案：正确解析：可行域由三条坐标轴和直线x₁+x₂=8围成，形成四个顶点（0，0），（8，0），（0，8），（8，8）。9.在线性规划问题中，若目标函数为z=5x₁+3x₂，约束条件为x₁+x₂≤8，x₁≥0，x₂≥0，则z的最大值不可能超过40。参考答案：正确解析：目标函数z=5x₁+3x₂的斜率为5/3，即随着x₁增加，z增加；随着x₂增加，z减少。当x₁+x₂=8时，z=5x₁+3(8-x₁)=2x₁+24。由于x₁≤8，x₂≤8，且x₁+x₂≤8，可得0≤x₁≤8，因此z的最大值为2×8+24=40。10.若线性规划问题的可行域是一个三角形，则该问题的约束条件至少有三个。参考答案：正确解析：三角形由三条直线围成，因此至少有三个不等式约束条件。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的基本概念。参考答案：线性规划问题是指在一系列线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。基本概念包括：目标函数、约束条件、可行域、最优解。2.如何判断线性规划问题是否有解？参考答案：线性规划问题有解的条件是可行域非空。若可行域为空集，则问题无解。3.线性规划问题的最优解可能在哪些位置取得？参考答案：线性规划问题的最优解可能在可行域的顶点处取得，也可能在可行域的边界上某点取得。4.若线性规划问题的约束条件为x₁+x₂≤6，x₁≥0，x₂≥0，则可行域的形状是什么？参考答案：可行域由三条坐标轴和直线x₁+x₂=6围成，形成四个顶点，形状是四边形。5.在线性规划问题中，若目标函数为z=3x₁+x₂，约束条件为x₁+x₂≤8，x₁≥0，x₂≥0，则z的最大值是多少？参考答案：当x₁+x₂=8时，z=3x₁+x₂=3x₁+8。由于x₁≤8，x₂≤8，且x₁+x₂≤8，可得0≤x₁≤8，因此z的最大值为3×8+8=32。6.若线性规划问题的最优解不止一个，则称为什么？参考答案：多重最优解或无穷最优解。7.在绘制线性规划可行域时，如何表示不等式约束条件？参考答案：对于不等式约束条件，若为“≤”型，则表示直线及其下方区域；若为“≥”型，则表示直线及其上方区域。8.线性规划问题在实际应用中有哪些领域？参考答案：线性规划问题在实际应用中有许多领域，如经济管理、交通运输、生产计划、资源分配等。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A需要1小时机器时间，每件产品B需要2小时机器时间，工厂每天有8小时机器时间。若每件产品A的利润为3元，每件产品B的利润为5元，问如何安排生产才能使利润最大？参考答案：设生产产品A的数量为x₁，生产产品B的数量为x₂，则目标函数为z=3x₁+5x₂，约束条件为x₁+2x₂≤8，x₁≥0，x₂≥0。可行域由三条坐标轴和直线x₁+2x₂=8围成，形成四个顶点（0，0），（8，0），（0，4），（4，2）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（8，0）：z=24（0，4）：z=20（4，2）：z=22因此，最大利润为24元，生产方案为生产产品A8件，产品B0件。2.某公司生产两种产品X和Y，每件产品X需要2千克原料A和1千克原料B，每件产品Y需要1千克原料A和2千克原料B，公司每天有100千克原料A和120千克原料B。若每件产品X的利润为4元，每件产品Y的利润为5元，问如何安排生产才能使利润最大？参考答案：设生产产品X的数量为x₁，生产产品Y的数量为x₂，则目标函数为z=4x₁+5x₂，约束条件为2x₁+x₂≤100，x₁+2x₂≤120，x₁≥0，x₂≥0。可行域由四条直线围成，形成四个顶点（0，0），（50，0），（0，60），（40，40）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（50，0）：z=200（0，60）：z=300（40，40）：z=360因此，最大利润为360元，生产方案为生产产品X40件，产品Y40件。3.某农场种植两种作物甲和乙，每亩甲作物需要3个劳动力，每亩乙作物需要2个劳动力，农场每天有60个劳动力。若每亩甲作物的利润为100元，每亩乙作物的利润为80元，问如何安排种植才能使利润最大？参考答案：设种植甲作物的面积为x₁亩，种植乙作物的面积为x₂亩，则目标函数为z=100x₁+80x₂，约束条件为3x₁+2x₂≤60，x₁≥0，x₂≥0。可行域由三条坐标轴和直线3x₁+2x₂=60围成，形成四个顶点（0，0），（20，0），（0，30），（10，15）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（20，0）：z=2000（0，30）：z=2400（10，15）：z=2200因此，最大利润为2400元，种植方案为种植甲作物0亩，乙作物30亩。4.某公司生产两种产品P和Q，每件产品P需要1个劳动力，每件产品Q需要2个劳动力，公司每天有100个劳动力。若每件产品P的利润为5元，每件产品Q的利润为4元，问如何安排生产才能使利润最大？参考答案：设生产产品P的数量为x₁，生产产品Q的数量为x₂，则目标函数为z=5x₁+4x₂，约束条件为x₁+2x₂≤100，x₁≥0，x₂≥0。可行域由三条坐标轴和直线x₁+2x₂=100围成，形成四个顶点（0，0），（100，0），（0，50），（50，25）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（100，0）：z=500（0，50）：z=200（50，25）：z=325因此，最大利润为500元，生产方案为生产产品P100件，产品Q0件。5.某工厂生产两种产品R和S，每件产品R需要2千克原料A和1千克原料B，每件产品S需要1千克原料A和2千克原料B，工厂每天有100千克原料A和120千克原料B。若每件产品R的利润为4元，每件产品S的利润为5元，问如何安排生产才能使利润最大？参考答案：设生产产品R的数量为x₁，生产产品S的数量为x₂，则目标函数为z=4x₁+5x₂，约束条件为2x₁+x₂≤100，x₁+2x₂≤120，x₁≥0，x₂≥0。可行域由四条直线围成，形成四个顶点（0，0），（50，0），（0，60），（40，40）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（50，0）：z=200（0，60）：z=300（40，40）：z=360因此，最大利润为360元，生产方案为生产产品R40件，产品S40件。6.某公司生产两种产品T和U，每件产品T需要1个劳动力，每件产品U需要2个劳动力，公司每天有100个劳动力。若每件产品T的利润为5元，每件产品U的利润为4元，问如何安排生产才能使利润最大？参考答案：设生产产品T的数量为x₁，生产产品U的数量为x₂，则目标函数为z=5x₁+4x₂，约束条件为x₁+2x₂≤100，x₁≥0，x₂≥0。可行域由三条坐标轴和直线x₁+2x₂=100围成，形成四个顶点（0，0），（100，0），（0，50），（50，25）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（100，0）：z=500（0，50）：z=200（50，25）：z=325因此，最大利润为500元，生产方案为生产产品T100件，产品U0件。7.某农场种植两种作物V和W，每亩作物V需要3个劳动力，每亩作物W需要2个劳动力，农场每天有60个劳动力。若每亩作物V的利润为100元，每亩作物W的利润为80元，问如何安排种植才能使利润最大？参考答案：设种植作物V的面积为x₁亩，种植作物W的面积为x₂亩，则目标函数为z=100x₁+80x₂，约束条件为3x₁+2x₂≤60，x₁≥0，x₂≥0。可行域由三条坐标轴和直线3x₁+2x₂=60围成，形成四个顶点（0，0），（20，0），（0，30），（10，15）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（20，0）：z=2000（0，30）：z=2400（10，15）：z=2200因此，最大利润为2400元，种植方案为种植作物V0亩，W30亩。8.某工厂生产两种产品X和Y，每件产品X需要2千克原料A和1千克原料B，每件产品Y需要1千克原料A和2千克原料B，工厂每天有100千克原料A和120千克原料B。若每件产品X的利润为4元，每件产品Y的利润为5元，问如何安排生产才能使利润最大？参考答案：设生产产品X的数量为x₁，生产产品Y的数量为x₂，则目标函数为z=4x₁+5x₂，约束条件为2x₁+x₂≤100，x₁+2x₂≤120，x₁≥0，x₂≥0。可行域由四条直线围成，形成四个顶点（0，0），（50，0），（0，60），（40，40）。计算各顶点的目标函数值：（0，0）：z=0（50，0）：z=200（0，60）：z=300（40，40）：z=360因此，最大利润为360元，生产方案为生产产品X40件，产品Y40件。【标准答案及解析】