2026年重庆市部编版高中数学选修2-6第9章数列习题

2026年重庆市部编版高中数学选修2-6第9章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-15D.4n-22解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，解得a_5=6。设公差为d，则a_5=a_1+4d=6，a_3=a_1+2d=4，联立方程解得a_1=2，d=1。故通项公式a_n=2+(n-1)×1=2n-6。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-nB.2^n+n-1C.2^(n+1)-n-2D.2^(n-1)+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^n-1-n，化简得S_n=2^n-n-1。3.若数列{c_n}的前n项和T_n满足T_n=3n^2+n+1，则c_5等于（）A.30B.31C.32D.33解析：当n=1时，c_1=T_1=5。当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=3n^2+n+1-[3(n-1)^2+(n-1)+1]=6n-2。验证n=1时成立，故通项公式c_n=6n-2。代入n=5得c_5=28。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，d_4=4，则该数列的公比q等于（）A.2或-2B.4或-4C.2或-4D.4或-2解析：由等比数列性质d_2d_8=d_4d_6=64，又d_4=4，得d_6=16。设公比为q，则d_6=d_4q^2=16，解得q^2=4，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n=2^n-n，则e_4等于（）A.8B.10C.12D.14解析：当n=1时，e_1=U_1=1。当n≥2时，e_n=U_n-U_(n-1)=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^n-n-2^(n-1)+n-1=2^(n-1)-1。验证n=1时成立，故通项公式e_n=2^(n-1)-1。代入n=4得e_4=7。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=3f_n+1（n∈N），则该数列的前n项和V_n等于（）A.3^n-nB.3^n+n-1C.3^(n+1)-n-2D.3^(n-1)+n解析：由递推关系f_n+1=3f_n+1，变形为f_n+1+1=3(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。故f_n+1=3^n，f_n=3^n-1。前n项和V_n=1+3+5+…+(3^n-1)=3^n-n。7.已知数列{g_n}的前n项和W_n=2n^2-3n，则g_3等于（）A.4B.5C.6D.7解析：当n=1时，g_1=W_1=-1。当n≥2时，g_n=W_n-W_(n-1)=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。验证n=1时成立，故通项公式g_n=4n-5。代入n=3得g_3=7。8.在等比数列{h_n}中，若h_3h_9=27，h_5=9，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.9或-9C.3或-9D.9或-3解析：由等比数列性质h_3h_9=h_5h_7=27，又h_5=9，得h_7=3。设公比为q，则h_7=h_5q^2=3，解得q^2=1/3，故q=±√3。9.已知数列{i_n}的前n项和X_n=n^2+n，则i_4等于（）A.10B.11C.12D.13解析：当n=1时，i_1=X_1=2。当n≥2时，i_n=X_n-X_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时成立，故通项公式i_n=2n。代入n=4得i_4=8。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n+2（n∈N），则该数列的前n项和Y_n等于（）A.2^n-nB.2^n+n-1C.2^(n+1)-n-2D.2^(n-1)+n解析：由递推关系j_n+1=2j_n+2，变形为j_n+1+2=2(j_n+2)，即{j_n+2}是首项为3，公比为2的等比数列。故j_n+2=3×2^(n-1)，j_n=3×2^(n-1)-2。前n项和Y_n=1+4+7+…+(3×2^(n-1)-2)=3(2^n-1)-2n，化简得Y_n=3×2^n-2n-3。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_9=26，则a_7+a_11等于________。解：由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，代入得2a_7=26，故a_7+a_11=2a_7=26。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则b_3等于________。解：b_3=S_3-S_2=(3×3^2-2×3)-(3×2^2-2×2)=15-10=5。3.在等比数列{c_n}中，若c_2c_8=32，c_4=4，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质c_2c_8=c_4c_6=32，又c_4=4，得c_6=8。设公比为q，则c_6=c_4q^2=8，解得q^2=2，故q=√2。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=2^n-n+1，则d_4等于________。解：d_4=T_4-T_3=(2^4-4+1)-(2^3-3+1)=11-5=6。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n+2（n∈N），则该数列的通项公式e_n等于________。解：由递推关系e_n+1=3e_n+2，变形为e_n+1+1=3(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列。故e_n+1=4×3^(n-1)，e_n=4×3^(n-1)-1。6.已知数列{f_n}的前n项和V_n=n^2+n+1，则f_5等于________。解：f_5=V_5-V_4=(5^2+5+1)-(4^2+4+1)=31-21=10。7.在等差数列{g_n}中，若g_4=10，g_7=19，则该数列的通项公式g_n等于________。解：设首项为a，公差为d，则a+3d=10，a+6d=19，联立方程解得a=1，d=3。故g_n=1+(n-1)×3=3n-2。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=2h_n-1（n∈N），则该数列的前n项和W_n等于________。解：由递推关系h_n+1=2h_n-1，变形为h_n+1-1=2(h_n-1)，即{h_n-1}是首项为1，公比为2的等比数列。故h_n-1=2^(n-1)，h_n=2^(n-1)+1。前n项和W_n=1+3+5+…+(2^(n-1)+1)=2^n-1+n。9.已知数列{i_n}的前n项和U_n=2n^2+n，则i_6等于________。解：i_6=U_6-U_5=(2×6^2+6)-(2×5^2+5)=78-55=23。10.在等比数列{j_n}中，若j_3j_7=64，j_5=8，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质j_3j_7=j_5j_6=64，又j_5=8，得j_6=8。设公比为q，则j_6=j_5q=8，解得q=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。解：当n=1时，a_1=S_1=-1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=4n-5。验证n=1时成立，故通项公式a_n=4n-5。由于a_n-a_(n-1)=4，故该数列是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_2b_8=b_4b_6，则该数列的公比q一定等于1。解：由等比数列性质b_2b_8=b_4b_6，但q=1时数列所有项相等，不满足b_2b_8=b_4b_6。例如b_n=n，则b_2b_8=16=b_4b_6，但q≠1。故该命题错误。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n^2+n，则c_n=2n。解：当n=1时，c_1=T_1=2。当n≥2时，c_n=T_n-T_(n-1)=2n。验证n=1时成立，故通项公式c_n=2n。4.在等差数列{d_n}中，若d_3+d_7=16，则d_4+d_6=16。解：由等差数列性质d_3+d_7=2d_5，d_4+d_6=2d_5，故d_4+d_6=16。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。但原数列不是等比数列，例如e_n=2^n-1。6.已知数列{f_n}的前n项和V_n=2n^2-3n，则f_n=4n-5。解：当n=1时，f_1=S_1=-1。当n≥2时，f_n=S_n-S_(n-1)=4n-5。验证n=1时成立，故通项公式f_n=4n-5。7.在等比数列{g_n}中，若g_2g_8=g_4g_6，则该数列的公比q一定等于2。解：由等比数列性质g_2g_8=g_4g_6，但q=2时数列所有项相等，不满足g_2g_8=g_4g_6。例如g_n=1，则g_2g_8=1=g_4g_6，但q≠2。故该命题错误。8.若数列{h_n}的前n项和W_n=n^2+n，则h_n=2n。解：当n=1时，h_1=S_1=2。当n≥2时，h_n=S_n-S_(n-1)=2n。验证n=1时成立，故通项公式h_n=2n。9.在等差数列{i_n}中，若i_5=10，则i_3+i_7=20。解：由等差数列性质i_3+i_7=2i_5，代入得i_3+i_7=2×10=20。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=3j_n+2（n∈N），则该数列的通项公式j_n=3^(n-1)-1。解：由递推关系j_n+1=3j_n+2，变形为j_n+1+1=3(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列。故j_n+1=4×3^(n-1)，j_n=4×3^(n-1)-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求该数列的前n项和S_n。解：S_n=n×2+(n(n-1)/2)×3=3n^2+n。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=2^n-n，求b_1+b_2+b_3+b_4+b_5。解：b_1=T_1=1。当n≥2时，b_n=T_n-T_(n-1)=2^n-n。故b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=1+3+5+7+9=25。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入得16=4q^2，解得q=±2。4.已知数列{d_n}的前n项和V_n=n^2+n，求d_3+d_4+d_5+d_6+d_7。解：d_3+d_4+d_5+d_6+d_7=V_7-V_2=63-6=57。5.在等差数列{e_n}中，若e_5=10，e_10=25，求该数列的通项公式e_n。解：设首项为a，公差为d，则a+4d=10，a+9d=25，联立方程解得a=2，d=2。故e_n=2+(n-1)×2=2n。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），求该数列的前n项和W_n。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故f_n+1=2^n，f_n=2^n-1。前n项和W_n=1+3+5+…+(2^n-1)=2^n-n。7.在等比数列{g_n}中，若g_3g_7=64，g_5=8，求该数列的公比q。解：由等比数列性质g_3g_7=g_5g_6=64，又g_5=8，得g_6=8。设公比为q，则g_6=g_5q=8，解得q=1。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2n^2+n，求h_4+h_5+h_6+h_7+h_8。解：h_4+h_5+h_6+h_7+h_8=U_8-U_3=73-15=58。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为10万吨，以后每年比上一年增产2万吨，求该工厂第10年的产量。解：设产量为{a_n}，则a_n=10+(n-1)×2=2n+8。第10年产量a_10=2×10+8=28万吨。2.某城市人口第一年为100万，以后每年比上一年增长5%，求该城市第5年的人口。解：设人口为{b_n}，则b_n=100×(1+5%)^(n-1)=100×1.05^(n-1)。第5年人口b_5=100×1.05^4≈127.63万。3.某投资账户初始金额为1万元，每年复利利率为10%，求该账户第3年的金额。解：设金额为{c_n}，则c_n=1×(1+10%)^(n-1)=1×1.1^(n-1)。第3年金额c_3=1×1.1^2=1.21万元。4.某林场第一年木材蓄积量为100立方米，以后每年比上一年增长8%，求该林场第6年的木材蓄积量。解：设蓄积量为{d_n}，则d_n=100×(1+8%)^(n-1)=100×1.08^(n-1)。第6年蓄积量d_6=100×1.08^5≈149.97立方米。5.某企业第一年利润为10万元，以后每年比上一年增长15%，求该企业第4年的利润。解：设利润为{e_n}，则e_n=10×(1+15%)^(n-1)=10×1.15^(n-1)。第4年利润e_4=10×1.15^3≈15.51万元。6.某产品第一年销量为1万件，以后每年比上一年增长20%，求该产品第5年的销量。解：设销量为{f_n}，则f_n=1×(1+20%)^(n-1)=1×1.2^(n-1)。第5年销量f_5=1×1.2^4≈2.07万件。7.某城市道路建设第一年投资1亿元，以后每年比上一年增加1亿元，求该城市第8年的投资。解：设投资为{g_n}，则g_n=1+(n-1)×1=n。第8年投资g_8=8亿元。8.某科技公司研发投入第一年为5000万元，以后每年比上一年增加10%，求该科技公司第7年的研发投入。解：设投入为{h_n}，则h_n=5000×(1+10%)^(n-1)=5000×1.1^(n-1)。第7年投入h_7=5000×1.1^6≈10276.7万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.A5.A6.A7.D8.D9.D10.C解析：2.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，解得a_5=6。设公差为d，则a_5=a_1+4d=6，a_3=a_1+2d=4，联立方程解得a_1=2，d=1。故通项公式a_n=2+(n-1)×1=2n-6。3.由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列。故b_n+1=3×2^(n-1)，b_n=3×2^(n-1)-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(3×2^(n-1)-1)=3(2^n-1)-n。4.当n=1时，c_1=S_1=5。当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=3n^2+n+1-[3(n-1)^2+(n-1)+1]=6n-2。验证n=1时成立，故通项公式c_n=6n-2。代入n=5得c_5=28。5.由等比数列性质h_3h_9=h_5h_7=27，又h_5=9，得h_7=3。设公比为q，则h_7=h_5q^2=3，解得q^2=1/3，故q=√3。6.当n=1时，e_1=U_1=1。当n≥2时，e_n=U_n-U_(n-1)=2^n-n-[2^(n-1)-(n-1)]=2^(n-1)-1。验证n=1时成立，故通项公式e_n=2^(n-1)-1。代入n=4得e_4=7。7.由递推关系f_n+1=2f_n+2，变形为f_n+1+2=2(f_n+2)，即{f_n+2}是首项为3，公比为2的等比数列。故f_n+2=3×2^(n-1)，f_n=3×2^(n-1)-2。前n项和V_n=1+4+7+…+(3×2^(n-1)-2)=3(2^n-1)-2n，化简得V_n=3×2^n-2n-3。8.当n=1时，g_1=W_1=-1。当n≥2时，g_n=W_n-W_(n-1)=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。验证n=1时成立，故通项公式g_n=4n-5。代入n=3得g_3=7。9.由等比数列性质h_3h_9=h_5h_7=27，又h_5=9，得h_7=3。设公比为q，则h_7=h_5q^2=3，解得q^2=1/3，故q=√3。10.当n=1时，i_1=X_1=2。当n≥2时，i_n=X_n-X_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-5。验证n=1时成立，故通项公式i_n=4n-5。代入n=4得i_4=11。11.由递推关系j_n+1=2j_n+2，变形为j_n+1+2=2(j_n+2)，即{j_n+2}是首项为3，公比为2的等比数列。故j_n+2=3×2^(n-1)，j_n=3×2^(n-1)-2。前n项和Y_n=1+4+7+…+(3×2^(n-1)-2)=3(2^n-1)-2n，化简得Y_n=3×2^n-2n-3。二、填空题1.262.53.√24.65.4×3^(n-1)-16.107.3n-28.2^n-1+n9.2310.1解析：2.由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，代入得2a_7=26，故a_7+a_11=2a_7=26。3.当n=1时，b_1=S_1=1。当n≥2时，b_n=S_n-S_(n-1)=2^n-n。故b_3=S_3-S_2=7-5=2。4.由等比数列性质c_3c_7=c_5c_6=64，又c_5=8，得c_6=8。设公比为q，则c_6=c_5q=8，解得q=1。5.当n=1时，d_1=T_1=1。当n≥2时，d_n=T_n-T_(n-1)=2^n-n。故d_4=S_4-S_3=11-9=2。6.由递推关系e_n+1=3e_n+2，变形为e_n+1+2=3(e_n+2)，即{e_n+2}是首项为5，公比为3的等比数列。故e_n+2=5×3^(n-1)，e_n=5×3^(n-1)-2。7.当n=1时，f_1=V_1=2。当n≥2时，f_n=V_n-V_(n-1)=2n。故f_5=10。8.设首项为a，公差为d，则a+4d=10，a+9d=25，联立方程解得a=2，d=2。故g_n=2+(n-1)×2=2n。9.由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故f_n+1=2^n，f_n=2^n-1。前n项和W_n=1+3+5+…+(2^n-1)=2^n-n。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.×解析：2.由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，代入得2a_7=26，故a_7+a_11=2a_7=26。3.由等比数列性质b_2b_8=b_4b_6，但q=1时数列所有项相等，不满足b_2b_8=b_4b_6。例如b_n=n，则b_2b_8=16=b_4b_6，但q≠1。4.当n=1时，c_1=S_1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=2n。验证n=1时成立，故通项公式c_n=2n。5.由等差数列性质d_3+d_7=2d_5，d_4+d_6=2d_5，故d_4+d_6=16。6.由递推关系e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。但原数列不是等比数列，例如e_n=2^n-1。7.当n=1时，f_1=V_1=2。当n≥2时，f_n=V_n-V_(n-1)=2n。验证n=1时成立，故通项公式f_n=2n。8.由等比数列性质g_3g_7=g_5g_6=64，又g_5=8，得g_6=8。设公比为q，则g_6=g_5q=8，解得q=1。9.当n=1时，h_1=U_1=2。当n≥2时，h_n=U_n-U_(n-1)=2n。验证n=1时成立，故通项公式h_n=2n。四、简答题1.S_n=n×2+(n(n-1)/2)×3=3n^2+n。2.b_1=S_1=1。当n≥2时，b_n=S_n-