新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.2 第2课时 函数最值的求法教学设计 新人教B版选择性必修第三册

-1-新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第2课时函数最值的求法教学设计新人教B版选择性必修第三册教学设计课题课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课程基本信息1.课程名称：新教材高中数学第6章导数及其应用6.2.2第2课时函数最值的求法教学设计

2.教学年级和班级：高一年级全体学生

3.授课时间：2022年10月15日（星期五）第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析教学难点与重点1.教学重点，

①掌握利用导数研究函数性质的方法，特别是如何通过导数的符号判断函数的单调性。

②学会运用导数求解函数的极值，包括求导、判断极值点、计算极值等步骤。

③能够应用导数解决实际问题，如最优化问题、经济问题等。

2.教学难点，

①理解导数与函数性质之间的关系，特别是导数为零的点如何与函数的极值点对应。

②准确判断函数的极值类型（极大值或极小值），以及如何确定极值点是否为函数的最大值或最小值。

③将抽象的数学概念与实际问题相结合，能够灵活运用导数解决实际问题中的最值问题。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解导数与函数性质的关系，引导学生理解导数求解极值的基本步骤。

2.讨论法：组织学生讨论如何将导数知识应用于实际问题，培养解决问题的能力。

3.案例分析法：通过具体案例展示导数在求解函数最值中的应用，增强学生的实际操作能力。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示函数图像和导数图形，直观展示函数性质的变化。

2.教学软件辅助：使用数学软件如GeoGebra等，帮助学生直观观察导数与函数性质的关系。

3.实物模型演示：利用教具或模型展示函数的增减性和极值点，加深学生的理解。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提问学生日常生活中遇到的最值问题，如“如何找到最短路径”、“如何计算最佳投资回报”等，激发学生对函数最值求解的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾函数的单调性、极值点的概念，以及导数的基本性质。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解利用导数求解函数最值的方法，包括求导、判断极值点、计算极值等步骤。

1.介绍导数的定义和几何意义，引导学生理解导数与函数性质的关系。

2.讲解如何求函数的导数，包括求导公式和求导法则。

3.分析导数与函数单调性的关系，讲解如何通过导数的符号判断函数的单调性。

4.讲解如何求函数的极值，包括如何确定极值点、计算极值等步骤。

-举例说明：通过具体例子展示如何利用导数求解函数最值，如求二次函数、幂函数、指数函数等的极值。

-互动探究：组织学生分组讨论，要求学生根据所学知识，尝试求解一些简单的函数最值问题。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：让学生独立完成一些练习题，加深对函数最值求解方法的掌握。

1.学生根据所学知识，求解给定函数的极值点。

2.学生运用导数判断函数的单调性，并解释判断过程。

-教师指导：教师巡视课堂，针对学生在练习中遇到的问题给予个别指导，确保学生能够正确理解和应用所学知识。

4.拓展延伸（约10分钟）

-提出一些实际问题，如优化生产过程、优化投资策略等，引导学生运用所学知识解决实际问题。

-鼓励学生思考如何将导数知识应用于其他学科领域，如物理学、经济学等。

5.总结反思（约5分钟）

-教师总结本节课的主要内容，强调重点和难点。

-学生回顾本节课所学知识，分享自己的学习心得。

6.布置作业（约5分钟）

-布置一些与函数最值求解相关的练习题，要求学生在课后完成。

-提醒学生复习本节课所学知识，为下一节课做好准备。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《导数在经济问题中的应用》：介绍导数在经济学中的实际应用，如成本分析、利润最大化等问题。

-《物理学中的导数应用》：探讨导数在物理学领域的应用，如速度、加速度、力等物理量的变化率。

-《工程问题中的最值求解》：分析导数在工程问题中的应用，如桥梁设计、结构优化等。

-《计算机图形学中的导数应用》：介绍导数在计算机图形学中的重要性，如曲线拟合、曲面建模等。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-学生可以尝试自己求解一些复杂函数的最值问题，如含有多个变量的函数，或者涉及不等式约束的函数。

-鼓励学生研究导数在优化问题中的应用，如线性规划、非线性规划等。

-学生可以探索导数在自然科学和社会科学中的应用，例如在生物学中的种群增长模型，在心理学中的决策理论等。

-学生可以尝试将导数与实际问题相结合，设计一些简单的实验或模拟，以验证导数在实际问题中的应用效果。

-鼓励学生参与数学建模竞赛或科学展览，将所学的导数知识应用于解决实际问题，提高自己的创新能力和实践能力。

-学生可以阅读相关的数学历史文献，了解导数的起源和发展，以及它在数学史上的重要地位。课后作业1.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求其导数\(f'(x)\)。

-答案：\(f'(x)=3x^2-6x\)

2.函数\(g(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)的定义域内，求\(g(x)\)的极值。

-答案：求导得\(g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)，令\(g'(x)=0\)解得\(x=1\)。在\(x=1\)处，\(g(x)\)取得极小值\(g(1)=0\)。

3.求函数\(h(x)=x^4-8x^3+18x^2\)的单调区间。

-答案：求导得\(h'(x)=4x^3-24x^2+36x\)，令\(h'(x)=0\)解得\(x=0,3,6\)。通过测试点法，确定\(h(x)\)在\((-\infty,0)\)和\((3,6)\)上单调递增，在\((0,3)\)和\((6,+\infty)\)上单调递减。

4.已知函数\(k(x)=\ln(x)-x\)，求\(k(x)\)的最大值。

-答案：求导得\(k'(x)=\frac{1}{x}-1\)，令\(k'(x)=0\)解得\(x=1\)。在\(x=1\)处，\(k(x)\)取得最大值\(k(1)=\ln(1)-1=-1\)。

5.求函数\(m(x)=e^x-x^2\)的拐点。

-答案：求导得\(m'(x)=e^x-2x\)，求二阶导数得\(m''(x)=e^x-2\)，令\(m''(x)=0\)解得\(x=\ln(2)\)。在\(x=\ln(2)\)处，\(m(x)\)取得拐点\(m(\ln(2))=e^{\ln(2)}-(\ln(2))^2=2-(\ln(2))^2\)。板书设计1.函数最值的求法

①导数与函数性质的关系

②求导数的基本步骤

③判断单调性的方法

④求极值点的步骤

⑤计算极值的方法

2.导数的定义与几何意义

①导数的定义

②几何意义：切线的斜率

③导数的几何意义在函数性质中的