2026年江苏省常州市中考数学试题（含解析）

常州市2026年中考数学试卷（满分：120分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：．2.的立方根是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据立方根的定义求解即可，任意一个数都有立方根，正数立方根是正值、负数的立方根是负值、的立方根是本身．【详解】解：∵，∴的立方根是．3.如图，数轴上表示3的倒数的点在（）A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段上【答案】B【解析】【详解】解：∵3的倒数为，且，∴数轴上表示3的倒数的点在线段上．4.如图，直线，被直线所截．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数．【详解】解：如图所示，，，又，．5.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：．6.平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都全等的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】【分析】分别根据柱体和球的截面特征解答即可．【详解】解：由题意②长方体、③三棱柱、④圆柱这三个都是柱体，沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的分别是全等的正方形、三角形和圆，而①球沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的是三个半径不同的圆，故①符合要求．7.如图，全球单机容量最大的16兆瓦漂浮式海上风电平台“三峡领航号”投产发电后，预计每年发出的电能可满足万户三口之家全年用电．若按平均每户三口之家全年用电约计算，则“三峡领航号”每年发出的电能约为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】解：，即“三峡领航号”每年发出的电能约为．8.如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（）A.释放小球的位置距离操作台台面的高度是B.小球距离操作台台面的最低高度是C.当时，小球在的右侧D.当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大【答案】C【解析】【分析】分析图2，原点纵坐标上对应点释放位置，而后小球开始摆动，在、处位于最低点，判断相应选项是否符合即可．【详解】选项，由图2对照分析可知，释放小球的位置位于点处，此时距离操作台台面的高度是，选项正确；选项，小球分别在、处位于最低点，此时高度为，选项正确；选项，小球自释放开始，先向左摆动，经过后到达左侧的最高点，而后向右摆动，在处到达最低点，故当时，小球位于左侧，选项错误；选项，小球在位于最低点，而后向右摆动至，即时间从至时，小球离操作台面的高度越来越大，选项正确；故选择选项．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.的相反数是__________．【答案】2026【解析】【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数是2026．【详解】解：的相反数是．故答案为：2026．10.分解因式：__________．【答案】【解析】【分析】观察多项式符合完全平方和公式的结构，直接套用公式分解因式即可．【详解】解：．11.若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可）【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次根式有意义的要求，被开方数需为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，任选范围内一个值即可．【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数，∴，解得，在取值范围内任取一个值即可，例如．12.正方形的周长关于它的边长的函数表达式为__________．【答案】【解析】【分析】根据正方形周长等于边长的4倍，结合边长为正，即可得到函数表达式．【详解】解：∵正方形的周长等于边长的4倍，边长为正数，即，∴周长关于边长的函数表达式为．13.“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是__________事件．（填“不可能”“随机”或“必然”）【答案】随机【解析】【分析】抛掷质地均匀的硬币，共有两种可能的结果，事先无法确定哪一种结果会发生，据此判断事件类型．【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上，结果事先无法确定∴“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是随机事件．14.如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________．【答案】##40度【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的角度，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴．15.如图，小慧将2块相同的含角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系中，其中三角尺的斜边落在轴上，三角尺的顶点的纵坐标为，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】由于两块是相同的含角的直角三角尺，可知和均为等腰直角三角形，过点作轴于点，易证也为等腰直角三角形．根据点的纵坐标为，结合勾股定理可以求得的长为，再在中运用勾股定理，求出斜边的长度为．由于两个三角尺相同，所以推出的长度也为，即可得到点的坐标．【详解】解：如图，过点作轴于点，和是含角的等腰直角三角形，,,为等腰直角三角形，点纵坐标为，即．由勾股定理，，，由勾股定理，．，，点坐标为．16.如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________．【答案】120【解析】【分析】证明，根据相似三角形的高之比等于相似比即可求出答案．【详解】解：∵，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴17.八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：）【答案】【解析】【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可．【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长，∴，设，∴，即，解得，，∴正方形边长为，∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒，∴硬纸盒底面的边长至少为．18.如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】设则，求出，证明，，，利用相似的性质得到，对于定点，矩形唯一确定，则关于的方程有唯一的实数根，进一步求出答案即可．【详解】解：在矩形中，，．设则，由题意可得，，即，解得，∵四边形是矩形，四边形是矩形，∴，，∴，，∴，∴，∴，设，则∴，∴，同理可得，，，则，，∴，，∵，∴，∵对于定点，矩形唯一确定，∴关于的方程有唯一的实数根，∴，解得，∵，∴，即三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.解不等式组并把解集在数轴上表示出来．【答案】．【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可．【详解】解：解不等式①，得．解不等式②，得．原不等式组的解集为．将不等式组的解集表示在数轴上如图所示：．20.计算：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先分别计算零指数幂、平方及负整数指数幂，再计算加法即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并同类项即可．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．21.中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀．（1）任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________．（2）先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可．【小问1详解】解：由题意可知，任意抽取1张卡片，共有3种等可能性结果，抽到每张卡片的可能性是相同的，抽到“马”的概率为．【小问2详解】解：画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果有2种，抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率为．22.为了解～某路口行人信号灯设置是否合理，数学兴趣小组在这个时段随机调查了该路口5个信号灯周期内行人等红灯的时间，记录数据并整理成下图（每个点都对应一个行人等红灯的时间）．回答下列问题．（1）本次调查采用的是__________．（填“全面调查”或“抽样调查”）（2）下列说法中正确的是__________．（填所有正确说法的序号）①东西向行人等红灯的时间的众数是；②南北向行人等红灯的时间的中位数超过；③南北向行人等红灯的时间的极差比东西向大．（3）根据本次调查，对～该路口的行人信号灯设置提出一条合理建议．【答案】（1）抽样调查（2）①②（3）答案不唯一，如：适当缩短东西向行人信号灯红灯的时间．【解析】【分析】（1）根据全面调查和抽样调查的定义判断即可；（2）根据统计图对各选项的说法分别进行判断即可；（3）结合（2）中的分析提出建议，答案不唯一，合理即可．【小问1详解】解：抽样调查【小问2详解】解：由统计图可知，东西向行人等红灯的时间中，出现了4次，出现的次数最多，因此众数是，故①正确；南北向行人等红灯的时间中，排在中间的时间在之间，即中位数超过，故②正确；由统计图可知，南北向行人等红灯的时间的极差明显比东西向小，故③错误．【小问3详解】略．23.如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点．（1）求证：．（2）连接，是等腰三角形吗？证明你的结论．【答案】（1）证明：在和中，，∴．（2）解：是等腰三角形．理由如下，如图，连接，∵，∴，由（1）知，，∴，∴，即，∴，∴是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据“”直接证明即可；（2）先由得到，再由得到，根据角的和差关系即可得到，从而得到，即可得出是等腰三角形．【小问1详解】证明：略【小问2详解】解：是等腰三角形．证明略24.如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）．【答案】该广场原来的半径为．【解析】【分析】先找出等量关系，再列出一元二次方程，最后求解即可．【详解】解：由题意可知，含跑道的圆形活动区域的半径为．根据题意，得，解得或（不符合题意，舍去）．答：该广场原来的半径为．25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，．（1）求一次函数、反比例函数的表达式．（2）点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为．（2）点的坐标为或．【解析】【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式．（2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标．【小问1详解】解：将点，的坐标分别代入，得解得一次函数的表达式为．将点的坐标代入，得，反比例函数的表达式为．【小问2详解】解：分情况讨论：①当射线交轴于点时，如图，，，将代入，得，点的坐标为；②当射线交轴于点时，如图，，，将代入，得，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．26.如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点．（1）__________．（2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围．（3）连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值．【答案】（1）（2）的取值范围为或．（3）的值为．【解析】【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得的值．（2）先令求得，再令和分别求得的值，最后结合函数图像即可求得的取值范围．（3）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点，，，的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时的值．【小问1详解】解：将点的坐标代入，得，解得．【小问2详解】解：由（1）知，二次函数表达式为．令，得．令，得，解得或．令，得，解得或．如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或．【小问3详解】解：如图令，得，解得或．．令，得，．设直线的函数表达式为．将点，的坐标分别代入．得解得直线的函数表达式为．，．由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方，，，，，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值．又，满足题设条件，当时，取得最大值，即当最大时，的值为．27.如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点．（1）点在线段__________上．（填“””或“”）（2）若，求的长．（3）若点在边上，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意可知，，，则点的对应点必在线段上．（2）在中利用勾股定理可求得，从而得到，再在中利用勾股定理即可求得的长．（3）过点作于点，设，则，，从而得到．在中利用锐角三角函数可求得的长，在和中利用勾股定理可依次求得，的长，再由锐角三角函数的定义即可求得的值，由旋转可知，，即可求得的值．【小问1详解】解：将绕点按顺时针方向旋转，得到，是点的对应点，则，．是点的对应点，点在线段上．【小问2详解】解：由旋转可知，，．在中，，．，，在中，，（负值已舍去）．【小问3详解】解：如图，过点作于点．设，则，，．，．在中，．在中，．在中，，．由旋转可知，，．28.综合与实践：试衣镜的摆放小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为．【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方．（1）在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长．【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方．（3）当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程