《自动控制原理》第8章 非线性控制系统

自动控制原理PrincipleofAutomaticControl1第八章非线性控制系统线性系统（LinearSystem）：

由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。非线性系统（NonlinearSystem）：

系统中至少有一个非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均匀性性质。非本质非线性（Non-essentialnonlinearity）：能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。相关概念：本质非线性（Essentialnonlinearity）：用小偏差线性化方法不能解决的非线性。2自激振荡（Self-excitedOscillation）：

指系统在未有外加激励作用下,系统输出响应仍然会存在某一固定振幅和频率的振荡过程。极限环（LimitingLoop）：在相平面上的一个闭合形状的自激振荡。相关概念：描述函数法（DescribingFunction）：正弦输人信号作用下,非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输人信号的复数比为非线性环节的描述函数。第八章非线性控制系统3本章内容8-1非线性控制系统概述8-2典型非线性系统8-3相平面法8-4描述函数法8-5非线性控制系统设计8-6

MATLAB在非线性控制系统中的应用第八章非线性控制系统48.1非线性控制系统概述线性控制系统由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。非线性控制系统系统中至少有一个非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均匀性性质。固有（自热）非线性：元器件固有特性，通常对性能不利外加（人为）非线性：设计者主动引入，用于提升控制效果控制系统两大分类非线性的两类来源图8.1.1质量-阻尼器-弹簧系统8.1非线性控制系统概述8.1.1非线性系统的一般概念非线性与线性系统区别：本质看叠加原理是否适用线性系统：可用线性微分方程进行描述，可应用叠加原理非线性系统：可用非线性方程进行描述，但不能应用叠加原理典型实例：质量-阻尼器-弹簧系统运动非线性系统：构成系统的环节中，有一个及以上具有非线性特性时，即为非线性控制系统

运动方程：58.1非线性控制系统概述8.1.1非线性系统的一般概念系统的n阶非线性系统通用形式

系统结构：通常，可把构成非线性控制系统的环节分解为线性部分L+非线性部分N，对于单回路，可以用结构框图表示非线性系统。8.1.2单回路非线性控制系统框图的基本形式68.1非线性控制系统概述8.1.2非线性系统的稳定性线性系统稳定性仅由系统结构和参数决定，取决于系统特征根的分布，与初始条件、外作用无关系统稳定则系统所有运动状态均稳定非线性系统稳定性无笼统的“系统稳定”，必须针对具体运动状态讨论可存在多个平衡状态，稳定性与初始条件、输入直接相关78.1非线性控制系统概述8.1.2非线性系统的稳定性a）线性控制系统b）非线性控制系统图8.1.3系统响应

非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数大小有关，还与初始条件，输入信号有直接关系。88.1非线性控制系统概述8.1.3非线性控制系统的自持振荡范德堡方程(VanderPol)示例自激振荡：系统在未有外加激励作用下，系统输出响应仍然会存在某一固定振幅和频率的振荡过程。极限环(LimitCycle)：

在相平面上的一个闭合形状的自激振荡。

定义与线性系统不同，非线性系统能够在没有外部激励时产生固定幅值和固定周期的振荡。这种振荡叫做极限环（LimitCycles）或自持振荡

98.1非线性控制系统概述8.1.3非线性控制系统的自持振荡

特性图8.1.4范德振荡器的响应极限环代表了非线性系统的一种重要现象。在许多工程领域和自然界都可以发现这种现象。例如，一种由航空动态作用力与机翼结构振动交互作用引起的叫做机翼颤振的极限环时有发生，而且往往是危险的。有些情况下极限环可能是不希望有的，而在另一些情况下则是需要的。我们应该知道，在不需要极限环时如何消除它，而在需要时产生极限环。108.1非线性控制系统概述8.1.4非线性控制系统的分析方法相平面法：

相平面法是一种用于研究二阶非线性控制系统的图解方法，实质上是用作图的方法来求解常微分方程，而不是寻求它的解析解。描述函数法：描述函数法是一种研究任何阶次系统的谐波分析方法。非线性环节等效为描述函数，借用频域理论分析。常用的两种非线性控制系统分析方法：计算机求解法李雅普诺夫稳定性理论波波夫绝对稳定性分析其他方法：对于非线性控制系统，受数学工具的限制，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。系统分析就是给定一个非线性系统或假定已设计好某个非线性闭环系统，其目的是确定系统的特性，分析系统的性能。118.2典型非线性特性非线性系统处理思路分段线性化，采用简单的折线代替实际的非线性曲线，使得非线性特性典型化，便可将实际的非线性转化为分段线性的非线性特性，便于数学处理图8.2.1控制系统中常见的典型非线性环节典型非线性特性工程上常见的典型非线性环节主要有以下8种128.2典型非线性特性

138.2典型非线性特性

4.继电型非线性特性四种类型数学表达式死区加滞环继电器理想继电器(h=0)带死区的继电器(m=1)带滞环的继电器(m=-1)表8.2.1继电型非线性特性各类型数学表达式在控制系统中使用的继电器、接触器或具有类似特性的电子开关装置，是一种价廉可靠的功率放大器，可将微弱的信号“放大”成足以推动执行元件的大功率信号，通常称这类非线性特性为继电型非线性特性。148.2典型非线性特性5.变增益非线性特性特性规律：误差(e(t))较大时：增益大，提高响应快速性误差(e(t))较小时：增益小，减小超调，提升平稳性优势：采用变增益的非线性系统比起固定增益的线性系统可以获得更好的控制性能。非线性系统两大类别单值非线性：一个输入对应一个输出多值非线性：一个输入对应多个输出类别代表特性单值非线性饱和、死区、变增益、理想继电器、带死区继电器多值非线性滞环非线性特性、带滞环继电器、死区加滞环继电器表8.2.2典型非线性特性类别共同特点：均属于分段线性的非线性特性、定常、静态非线性、关于原点奇对称158.3相平面法相平面法

相平面法是求解一阶和二阶系统的图解法，可以用来分析系统的稳定性、平衡状态、时域响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。8.3.1相平面法的绘制

168.3相平面法8.3.1相平面法的绘制

178.3相平面法8.3.1相平面法的绘制

a)M=1b)M=-1188.3相平面法

198.3相平面法图8.3.3等倾线法勾画相轨迹的过程

208.3相平面法

218.3相平面法

228.3相平面法8.3.2相平面图的性质

238.3相平面法8.3.3二阶系统的相平面分析法

奇点类型时域响应稳定节点两个负实根非周期收敛不稳定节点两个正实根非周期发散鞍点一正一负实根大部分发散至无穷远稳定焦点负实部共轭复根周期性衰减振荡收敛不稳定焦点正实部共轭复根振荡发散中心点一对纯虚根不衰减的正弦振荡表8.3.1二阶线性系统常见的六种情况图8.3.5六种类型奇点对应的特征根分布和其附近的相平面图1.二阶线性系统的相平面图分析248.3相平面法8.3.3二阶系统的相平面分析法特点：常存在多个奇点，可能出现极限环分析步骤：（1）求奇点（2）判断奇点类型（3）绘制相轨迹2.二阶非线性系统的相平面图分析

258.3相平面法8.3.3二阶系统的相平面分析法

图8.3.6系统的相平面图268.3相平面法8.3.3二阶系统的相平面分析法2.二阶非线性系统的相平面图分析极限环极限环是相平面中一条孤立的封闭相轨迹，它附近的其他相轨迹均渐进地趋近它或者渐进地离开它。极限环将相平面分隔成极限环内部和外部两个部分，极限环内部或外部的相轨迹不可能穿越极限环而进入外部或内部。三类极限环

稳定极限环：内外轨迹均向其趋近

不稳定极限环：内外轨迹均向外远离

半稳定极限环：一侧趋近、一侧远离图8.3.7三种类型的极限环相平面图278.3相平面法8.3.3二阶系统的相平面分析法方法步骤：（1）将非线性特性进行分段线性化近似处理，将相平面划分为多个区域；（2）每个区段内做等效的标准线性系统相平面图，绘制相轨迹；

（3）按时间顺序衔接各段轨迹。分区线性化方法并非所有非线性系统的微分方程都是解析的，这时我们可以采用分区线性化方法。在分区绘制相轨迹时，每个区域都具有一个奇点，奇点可以位于该区域之内，也可能位于该区域之外。前者称为实奇点，后者由于相轨迹永远不能达到这个奇点，故称为虚奇点。在二阶非线性系统中，只能有一个实奇点，而在该实奇点所在区域之外的其它区域都只能有虚奇点。（位于区域内）（位于区域外）288.3相平面法8.3.3二阶系统的相平面分析法用分段线性化的方法分析含饱和特性的非线性控制系统。图8.3.8含饱和特性的非线性控制系统系统框图

298.3相平面法

308.3相平面法

图8.3.9非线性系统相轨迹图a)b)c)318.3相平面法

328.3相平面法

338.3相平面法

348.3相平面法

358.4描述函数法基本思想：在正弦信号作用下，忽略非线性环节输出信号中的高次谐波分量，用输出信号中的基波分量来近似代替实际输出，主要用于分析系统的稳定性和自持震荡问题。描述函数法描述函数法是分析非线性系统频域特性的工程近似方法，其实质是一种谐波线性化方法（又称谐波平衡法）8.4.1描述函数法的基本概念

368.4描述函数法

378.4描述函数法

388.4描述函数法

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8.4描述函数法

408.4描述函数法2.非线性系统描述函数法的应用条件3.描述函数的物理意义等效：关于正弦信号的幅值A相关的复数增益放大器线性系统：增益与输入幅值A无关非线性系统：等效增益随输入幅值变化（线性系统和非线性环节频率特性本质区别）图8.4.1非线性系统典型结构形式

418.4描述函数法8.4.2典型非线性特性的描述函数

图8.4.2死区饱和特性和正弦响应曲线

428.4描述函数法

438.4描述函数法

448.4描述函数法2.死区与滞环继电非线性图8.4.3死区滞环继电特性和正弦响应曲线

458.4描述函数法2.死区与滞环继电非线性

468.4描述函数法8.4.3描述函数法分析非线性系统

负倒描述函数：随幅值A变化的曲线图8.4.4非线性系统框图4748表8.4.1几种典型非线性环节的描述函数及其负倒描述函数曲线8.4描述函数法48498.4描述函数法

8.4.3描述函数法分析非线性系统图8.4.6存在周期运动的非线性系统应用描述函数法分析非线性控制系统运动的稳定性时都是建立在只考虑基波分量的基础之上的。508.4描述函数法【例8.4.2】具有饱和非线性特性的控制系统如图8.4.7所示，试分析：①(K=15)时的非线性控制系统的运动；②确定使系统不出现自持振荡时的K的临界值。图8.4.7具有饱和非线性特性的控制系统

8.4描述函数法

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8.4描述函数法

52538.4描述函数法

8.4.4典型非线性特性的简化图8.4.9非线性特性并联时的等效非线性特性图8.4.10非线性特性串联548.4描述函数法线性部分等效：通过结构图变换化为典型单环结构8.4.4典型非线性特性的简化图8.4.11非线性系统等效变换558.5非线性控制系统设计精确反馈线性化8.5非线性控制系统设计基本思想：利