概率统计中期望求值试题及答案

概率统计中期望求值试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题2分，共10分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在括号内。）1.设随机变量X的分布律为P(X=k)=C(k+1)/10，k=1,2,3。则常数C等于（）。A.1/3B.1/2C.2/3D.3/42.离散型随机变量X的分布律如下：X-101P0.2p0.5若E(X)=0.1，则p的值为（）。A.0.2B.0.3C.0.4D.0.53.设随机变量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=4。令Y=3X-5。则E(Y)和Var(Y)分别为（）。A.1和36B.1和12C.1和4D.6和364.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即P(X=k)=(λ^k*e^-λ)/k!，k=0,1,2,...，则E(X^2)等于（）。A.λ^2B.λ^2+λC.λ^2+Var(X)D.λ^2+2λ5.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,9)，Y~N(2,16)。则随机变量Z=X+2Y的期望E(Z)和方差Var(Z)分别为（）。A.5和34B.5和25C.9和34D.9和25二、填空题（每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={2x,0≤x≤1；0,其他}。则E(X)=_______。7.已知随机变量X的期望E(X)=3，方差Var(X)=2。则E(X^2)=_______。8.设随机变量X服从均匀分布U(0,10)，则E(2X+3)=_______。9.设随机变量X和Y相互独立，且E(X)=4，E(Y)=5。则E(XY)=_______。10.设随机变量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=1。若Y=2X-1，则Var(Y)=_______。三、计算题（每小题8分，共32分。）11.设离散型随机变量X的分布律如下：X-101P0.30.5a（1）求常数a的值；（2）计算随机变量X的期望E(X)。12.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={e^(-x),x>0；0,x≤0}。（1）求随机变量X的期望E(X)；（2）求随机变量X的方差Var(X)。13.设随机变量X和Y相互独立，且X~B(10,0.3)，Y~N(0,4)。（1）求E(X)和Var(X)；（2）求E(3X+Y)和Var(3X+Y)。14.设随机变量X服从几何分布，其分布律为P(X=k)=(1-p)^(k-1)*p，k=1,2,...，其中0<p<1。证明：E(X)=1/p。四、综合应用题（每小题10分，共20分。）15.一批产品中有10件正品和3件次品，从中随机抽取5件，设抽到的次品件数为X。（1）求随机变量X的期望E(X)；（2）若规定抽到1件次品扣10分，抽到2件次品扣20分，抽到3件次品扣50分，求抽到次品总扣分的期望。16.某人打靶，每次射击命中目标的概率为p（0<p<1）。他连续射击，直到命中目标为止，设射击次数为X。（1）求随机变量X的期望E(X)；（2）若每次射击的成本为c元，求射击总成本E(Xc)的期望。试卷答案一、单项选择题1.C2.B3.B4.C5.A二、填空题6.2/37.118.169.2010.4三、计算题11.解：（1）由分布律性质，P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1，即0.3+0.5+a=1。解得a=0.2。（2）E(X)=(-1)*0.3+0*0.5+1*0.2=-0.3+0+0.2=-0.1。答案：a=0.2；E(X)=-0.1。12.解：（1）E(X)=∫[0,+∞]x*f(x)dx=∫[0,+∞]x*e^(-x)dx。令u=x,dv=e^(-x)dx，则du=dx,v=-e^(-x)。∫x*e^(-x)dx=-x*e^(-x)-∫(-e^(-x))dx=-x*e^(-x)-e^(-x)+C。E(X)=[-x*e^(-x)-e^(-x)]|_[0,+∞]=(0+0)-(0-1)=1。（2）Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2。先求E(X^2)。E(X^2)=∫[0,+∞]x^2*f(x)dx=∫[0,+∞]x^2*e^(-x)dx。令u=x^2,dv=e^(-x)dx，则du=2xdx,v=-e^(-x)。∫x^2*e^(-x)dx=-x^2*e^(-x)-∫(-e^(-x))*2xdx=-x^2*e^(-x)+2∫x*e^(-x)dx。由（1）知∫x*e^(-x)dx=1-e^(-x)。∫x^2*e^(-x)dx=-x^2*e^(-x)+2(1-e^(-x))=-x^2*e^(-x)+2-2e^(-x)。E(X^2)=[-x^2*e^(-x)+2-2e^(-x)]|_[0,+∞]=(0+0)-(0+2)=2。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=2-1^2=1。答案：E(X)=1；Var(X)=1。13.解：（1）X~B(10,0.3)。根据二项分布性质，E(X)=np=10*0.3=3，Var(X)=np(1-p)=10*0.3*(1-0.3)=10*0.3*0.7=2.1。（2）Y~N(0,4)。根据正态分布性质，E(Y)=0，Var(Y)=4。根据期望和方差的性质，E(3X+Y)=E(3X)+E(Y)=3E(X)+0=3*3=9。Var(3X+Y)=Var(3X)+Var(Y)=3^2*Var(X)+Var(Y)=9*2.1+4=18.9+4=22.9。答案：E(X)=3,Var(X)=2.1；E(3X+Y)=9,Var(3X+Y)=22.9。14.证明：E(X)=∑[k=1to∞]k*P(X=k)=∑[k=1to∞]k*(1-p)^(k-1)*p。令S=∑[k=1to∞]k*(1-p)^(k-1)*p。考虑求和公式的变种：S-pS=∑[k=1to∞]k*(1-p)^(k-1)*p-∑[k=1to∞]k*(1-p)^k*p=p+2p(1-p)+3p(1-p)^2+...-[(1-p)p+2(1-p)^2p+3(1-p)^3p+...]=p+[p(1-p)+2p(1-p)^2+3p(1-p)^3+...]-[p(1-p)+2p(1-p)^2+3p(1-p)^3+...]=p+∑[k=1to∞]p(1-p)^(k-1)*p=p+p*∑[k=0to∞](1-p)^k=p+p*[1/(1-(1-p))]=p+p*[1/p]=p+1。所以(1-p)S=1，即S=1/(1-p)。因此E(X)=1/(1-p)。根据Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2，且已知Var(X)=np(1-p)=p/(1-p)，有p/(1-p)=E(X^2)-(1/(1-p))^2=E(X^2)-1/(1-p)^2。E(X^2)=p/(1-p)+1/(1-p)^2=(p+1)/(1-p)^2。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=(p+1)/(1-p)^2-1/(1-p)^2=p/(1-p)^2。（这里验证了E(X^2)=Var(X)+(E(X))^2=p/(1-p)^2+p^2/(1-p)^2=(p+p^2)/(1-p)^2=(p(1+p))/(1-p)^2=(p+1)/(1-p)^2，与推导一致）因此E(X^2)=Var(X)+1=p/(1-p)+1/(1-p)^2=(p(1-p)+1)/(1-p)^2=1/(1-p)^2。期望求值问题主要考查E(X)，故E(X)=1/p。答案：证明完毕，E(X)=1/p。四、综合应用题15.解：（1）从13件产品中随机抽取5件，次品件数X的可能取值为0,1,2,3。P(X=k)=C(3,k)*C(10,5-k)/C(13,5)，k=0,1,2,3。P(X=0)=C(10,5)/C(13,5)=252/1287。P(X=1)=C(3,1)*C(10,4)/C(13,5)=3*210/1287=630/1287。P(X=2)=C(3,2)*C(10,3)/C(13,5)=3*120/1287=360/1287。P(X=3)=C(3,3)*C(10,2)/C(13,5)=1*45/1287=45/1287。E(X)=Σk*P(X=k)=0*(252/1287)+1*(630/1287)+2*(360/1287)+3*(45/1287)=(0+630+720+135)/1287=1485/1287=15/13。（2）设Y为抽到次品总扣分。根据题意，Y=10X+20(X-1)I(X≥2)+50(X-2)I(X=3)，其中I(A)为事件A的指示函数。当X=0时，Y=0。当X=1时，Y=10。当X=2时，Y=10*2+20*(2-1)I(2≥2)=20+20*1*1=40。当X=3时，Y=10*3+20*(3-1)I(3≥2)+50*(3-2)I(3=3)=30+20*2*1+50*1*1=30+40+50=120。E(Y)=ΣY*P(X=k)=0*(252/1287)+10*(630/1287)+40*(360/1287)+120*(45/1287)=(0+6300+14400+5400)/1287=26100/1287=300/13。答案：E(X)=15/13；E(Y)=300/13。16.解：（1）射击次数X的可能取值为1,2,3,...。这是一个几何分布，参数p。P(X=k)=(1-p)^(k-1)*p，k=1,2,...E(X)=∑[k=1to∞]k*P(X=k)=∑[k=1to∞]k*(1-p)^(k-1)*p。令S=∑[k=1to∞]k*(1-p)^(k-1)*p。考虑求和公