2026年中考二轮复习之选择题复习12：《二次函数及应用》（学生版+教师版合并）

2026年中考第二轮复习选择题专题12.二次函数及应用本课时是中考数学选择题的核心压轴板块，分值占比高、综合难度大，覆盖二次函数的概念、解析式、图象性质、与方程/不等式的关联、几何综合及实际应用等核心考点，集中考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，是衔接基础题型与难题的关键载体，也是二轮复习中“提分稳分”的重点内容。其考查形式既注重基础概念的精准辨析，又强调知识的灵活迁移，熟练掌握本课时内容能有效提升学生的函数综合应用能力与逻辑推理能力，为中考数学高分筑牢根基。一、题型特点一、题型特点考点密集，综合度高：核心考查解析式判定、图象与系数关系、对称轴与顶点、增减性、最值、与方程/不等式的综合、几何图形结合，单个题目常融合2-3个知识点。数形结合突出：超80%题目需结合函数图象分析，通过开口方向、对称轴、交点位置推导系数符号或函数值变化，图象解读能力是解题关键。陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在“增减性需限定对称轴同侧”“a的符号影响开口与最值”“对称轴计算错误”“顶点式平移规律混淆”，易因概念模糊失分。难度分层清晰：基础题聚焦概念辨析与简单计算，中档题侧重图象分析与综合推理，少量压轴题结合几何图形或实际情境求最值。二、二、答题要点熟用解析式形式：根据题意选择一般式:y=ax²+bx+c、顶点式:y=a(x-h)²+k、交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)，顶点式可快速求对称轴与最值。精准掌握图象性质：a>0开口向上（有最小值），a<0开口向下（有最大值）；对称轴x=−b2a，顶点坐标为(−b巧用对称与增减性：两点关于对称轴对称则函数值相等，比较函数值需先判断两点是否在对称轴同侧；同侧时根据a的符号判断增减性，异侧时转化到同侧再比较。综合问题突破技巧：与方程结合时，Δ决定根的个数；与几何结合时，利用坐标转化线段长度；实际应用中，根据自变量取值范围求最值。三三、避坑指南忽略a的符号影响：误将a<0的函数当作递增函数，或混淆最值类型（最大值/最小值）。增减性应用无前提：未限定“在对称轴同侧”，直接跨侧比较函数值。对称轴计算错误：记错公式x=−b顶点式平移混淆：遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”，易将左右平移与自变量符号弄反。实际应用遗漏范围：未根据题意限定自变量（如长度、数量为正整数），导致最值求解错误。本课时复习的核心是“抓图象、熟性质、善转化、避细节”，需通过典型例题强化图象解读能力，熟练掌握解析式三种形式的灵活运用，针对高频易错点专项突破，同时注重数学思想的渗透，让学生在解题中形成“先看图象定方向，再用性质推结论，最后结合条件验细节”的固定思路，确保基础题不失分、中档题稳得分、压轴题争得分，全面提升二次函数板块的解题能力。四四、真题练习1.（24-25·云南模拟）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=axA. B.

C. D.

2.（24-25·广东模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−1, 0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（）

A.a>0B.当x>−1时，y的值随x值的增大而增大C.点B的坐标为(4, 0)D.4a+2b+c>03.（23-24·新疆模拟）已知二次函数y=ax2−2x+12(a为常数，且a>0)，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x<0时，y随x的增大而减小；④当x>0时，A.①② B.②③ C.② D.③④4.（24-25·山东模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为3,0，对称轴是直线x=1，则下列结论正确的是（

）

A.abc<0 B.2a+b=0

C.4ac>b2 D.点5.（24-25·广东模拟）已知二次函数y=ax2+2a−3x+a−1（xA.1≤a<98 B.0<a<32 C.0<a<6.（24-25·广西中考）如图，抛物线y=ax2+bx+ca<0的图象交x轴于点A−3,0、B1,0,交y轴于点C．以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,c=7；④当c=3时，在△AOC内有一动点P，若OP=2,则A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.（25-26·安徽模拟）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数yx…−4−2035…y…−24−80−3−15…

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

）A.图象的开口向上B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x=18.（24-25·宁夏中考）在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则下列结论正确的个数为（）

①x1⋅x2=−4．

A.1 B.2 C.3 D.49.（23-24·四川中考）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A−32,0,对称轴是直线x=−12,有以下结论：①abc<0；②若点−1,y1和点2,A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.（22-23·黑龙江中考）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分与x轴的一个交点坐标为3,0，对称轴为直线x=1，结合图像给出下列结论：①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根；

⑤若点m,A.4 B.3 C.2 D.111.（24-25·新疆中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x=1对称．下列五个结论：

①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0A.4个 B.3个 C.2个 D.1个12.（24-25·江苏模拟）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如4⊗3=(4+2×3)(4−3)，则函数y=(x+1)⊗2的最小值为（

）A.−21 B.−9 C.−7 D.−513.（23-24·湖北模拟）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=y1+yA. B.C. D.

14.（25-26·贵州模拟）在平面直角坐标系xOy中，Px1,y1,Qx2,y2A.−1<t<0 B.−1≤t≤0 C.t<−1或t>0 D.t≤−1或t≥015.（24-25·四川模拟）如图，抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为−43，C为抛物线对称轴上一动点，连接AC，PC，当PC+AC取得最小值时，A.13 B.33 C.1216.（25-26·辽宁模拟）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（

）

A.当x≥1000时，y随x的增大而减小B.当x=2000时，y有最大值C.当y≥0.6时，x≥1000D.当y=0.4时，x=60017.（25-26·河北模拟）如图，直线l1从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线l2上，已知MN=3，NP=1，PQ=5，则AB=（

）

A.3 B.4 C.5 D.618.（25-26·四川模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于(1,1)和(3,3)两点，现有以下结论：①abc>0；②b2−4c<0；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+(b−1)x+c<0；⑤当x2A.①②⑤ B.①③④ C.②③④ D.②③⑤19.（25-26·新疆模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx−3相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当−2<x<3时，y1>y2；②x=3是方程ax2+bx−3=0的一个解；③连接BO，△ABO的面积是12.5；④对于抛物线yA.4个 B.3个 C.2个 D.1个20.（25-26·福建模拟）在平面直角坐标系中，把抛物线y=x2−2x+5向右平移4个单位，再向下平移3A.y=x−52+4 B.y=x+32+821.（24-25·福建模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为1,−3A.y=x2−2x−1 B.y=x2−2x+122.（24-25·山东模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列论中：①a−b+c=0；②若点−3,y1,2,y2,4,y3均在该二次函数图象上，则y1<A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④23.（24-25·四川中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=1，且过点−1,0，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若Ax1,y1，Bx2A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④24.（23-24·江苏中考）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在AC上，CD=2，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3t1<t2<t3对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t=1时，S=3；②点PA.1个 B.2个 C.3个 D.4个25.（25-26·甘肃模拟）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+2x+74(x>0)A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m26.（25-26·湖南模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(−1,0)，与y轴交于点C(0,m)，其中−4<m<−3．则下列结论：

①a−c>0；②方程ax2+bx+c−5=0没有实数根；③−83A.1个 B.2个 C.3个 D.4个27.（23-24达州模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是(−1,0)，点B的坐标是(n,0)，有下列结论：①abc<0；②4a+c>2b；③关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=−1，xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个28.（24-25·四川中考）如图，O是坐标原点，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x=−2，其中A(2,0),B(0,c)，且−3<c<−2．以下结论：①abc>0；②23<b<1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+(b−2)x+c=0的两根为x1、x2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个29.（24-25·四川中考）已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a>0)过点(1,0),(m,0)，且2<m<3，该抛物线与直线y=kx+c(k，c是常数，k≠0)相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点（点A在点B左侧）．下列说法：①bc<0；②3a+b>0；③点A′A.1 B.2 C.3 D.430.（25-26·湖南模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0,m)且2<m<3．有下列结论：①abc<0；②9a−3b+c>0；③94<y最大值<278；④关于x的一元二次方程ax2+(b−1)x+c−2=0必有两个不相等实根；⑤若点Ax1,A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2026年中考第二轮复习选择题专题12.二次函数及应用本课时是中考数学选择题的核心压轴板块，分值占比高、综合难度大，覆盖二次函数的概念、解析式、图象性质、与方程/不等式的关联、几何综合及实际应用等核心考点，集中考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，是衔接基础题型与难题的关键载体，也是二轮复习中“提分稳分”的重点内容。其考查形式既注重基础概念的精准辨析，又强调知识的灵活迁移，熟练掌握本课时内容能有效提升学生的函数综合应用能力与逻辑推理能力，为中考数学高分筑牢根基。一、题型特点一、题型特点考点密集，综合度高：核心考查解析式判定、图象与系数关系、对称轴与顶点、增减性、最值、与方程/不等式的综合、几何图形结合，单个题目常融合2-3个知识点。数形结合突出：超80%题目需结合函数图象分析，通过开口方向、对称轴、交点位置推导系数符号或函数值变化，图象解读能力是解题关键。陷阱隐蔽，细节主导：高频陷阱集中在“增减性需限定对称轴同侧”“a的符号影响开口与最值”“对称轴计算错误”“顶点式平移规律混淆”，易因概念模糊失分。难度分层清晰：基础题聚焦概念辨析与简单计算，中档题侧重图象分析与综合推理，少量压轴题结合几何图形或实际情境求最值。二、二、答题要点熟用解析式形式：根据题意选择一般式:y=ax²+bx+c、顶点式:y=a(x-h)²+k、交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)，顶点式可快速求对称轴与最值。精准掌握图象性质：a>0开口向上（有最小值），a<0开口向下（有最大值）；对称轴x=−b2a，顶点坐标为(−b巧用对称与增减性：两点关于对称轴对称则函数值相等，比较函数值需先判断两点是否在对称轴同侧；同侧时根据a的符号判断增减性，异侧时转化到同侧再比较。综合问题突破技巧：与方程结合时，Δ决定根的个数；与几何结合时，利用坐标转化线段长度；实际应用中，根据自变量取值范围求最值。三三、避坑指南忽略a的符号影响：误将a<0的函数当作递增函数，或混淆最值类型（最大值/最小值）。增减性应用无前提：未限定“在对称轴同侧”，直接跨侧比较函数值。对称轴计算错误：记错公式x=−b2a，或代入系数时符号失误。顶点式平移混淆：遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”，易将左右平移与自变量符号弄反。实际应用遗漏范围：未根据题意限定自变量（如长度、数量为正整数），导致最值求解错误。本课时复习的核心是“抓图象、熟性质、善转化、避细节”，需通过典型例题强化图象解读能力，熟练掌握解析式三种形式的灵活运用，针对高频易错点专项突破，同时注重数学思想的渗透，让学生在解题中形成“先看图象定方向，再用性质推结论，最后结合条件验细节”的固定思路，确保基础题不失分、中档题稳得分、压轴题争得分，全面提升二次函数板块的解题能力。四四、真题练习1.（24-25·云南模拟）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=axA. B.

C. D.

【答案】C【解析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a>0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【解答】C．

2.（24-25·广东模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−1, 0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（）A.a>0B.当x>−1时，y的值随x值的增大而增大C.点B的坐标为(4, 0)D.4a+2b+c>0【答案】D【解析】由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由(2, 4a+2b+c)所在象限可判断D．【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a<0，故选项A错误，不符合题意；

B、∵抛物线对称轴是直线x=1，开口向下，

∴当x>1时y随x的增大而减小，x<1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；

C、由A(−1, 0)，抛物线对称轴是直线x=1可知，B坐标为(3, 0)，故选项C错误，不符合题意；

D、抛物线y=ax2+bx+c过点(2, 4a+2b+c)，由B(3, 0)可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，

∴4a+2b+c>0，故选项D正确，符合题意；

故选：D．3.（23-24·新疆模拟）已知二次函数y=ax2−2x+12(a为常数，且a>0)，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x<0时，y随x的增大而减小；④当x>0A.①② B.②③ C.② D.③④【答案】B【解析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．【解答】解：∵a>0时，抛物线开口向上，

∴对称轴为x=22a=1a>0，

当x<0时，y随x的增大而减小，

当x>1a时，y随x的增大而增大，

∴4.（24-25·山东模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为3,0，对称轴是直线x=1，则下列结论正确的是（

）A.abc<0 B.2a+b=0

C.4ac>b2 D.点【答案】B【解析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a，b，c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标．【解答】A、由二次函数的图形可知：a>0,b<0,c<0，所以abc>0，故本选项不符合题意；B、因为二次函数的对称轴是直线x=1，则−b2a=1，即2a+b=0，故本选项符合题意；

C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2−4ac>0，即4ac<b2，故本选项不符合题意；

D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为3,0，且对称轴为直线x=1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为5.（24-25·广东模拟）已知二次函数y=ax2+2a−3x+a−1（A.1≤a<98 B.0<a<32 C.0<a<【答案】A【解析】利用二次函数的性质得，抛物线与x轴有2个交点，开口向上，而且与y轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2a−3x+a−1图象经过第一、二、四象限，∴Δ=2a−32−4aa−1>0且a−1≥0,a>0,6.（24-25·广西中考）如图，抛物线y=ax2+bx+ca<0的图象交x轴于点A−3,0、B1,0,交y轴于点C．以下结论：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,c=7；④当c=3时，在△AOC内有一动点P，若OP=2,A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】根据抛物线图象经过点B1,0,可得当x=1时,y=a+b+c=0,据此可判断①；根据对称轴计算公式求出b=2a,进而推出c=−3a,则a+3b+2c=a+6a−6a=a,再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线x=−1,则AC≠BC,求出AB=4,OC=c,再分当AC=AB=4时，当BC=AB=4时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当c=3时,C0,3,则OC=3,取点H−43，0,连接PH,则OH=43,可证明△HOP∽△POA,由相似三角形的性质可得PH=23PA,【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca<0的图象经过点B1,0,∴当x=1时,y=a+b+c=0,故①正确；

∵抛物线y=ax2+bx+ca<0的图象交x轴于点A−3,0、B1,0,

∴抛物线对称轴为直线x=−3+12=−1,

∴−b2a=−1,

∴b=2a,

∴a+2a+c=0,即c=−3a,

∴a+3b+2c=a+6a−6a=a,

∵a<0,

∴a+3b+2c<0,故②正确；

∵对称轴为直线x=−1,

∴AC≠BC；

∵A−3,0、B1,0,

∴OA=3,OB=1,

∴AB=4；

在y=ax2+bx+ca<0中，当x=0时,y=c,

∴C0,c,

∴OC=c,

当AC=AB=4时，则由勾股定理得AC2=OA2+OC2,

∴42=32+c2,

∴c=7或c=−7（舍去）；

同理当BC=AB=4时，可得c=15；

综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,c=7或c=15,故③错误；

当c=3时,C0,3,则OC=3,

如图所示，取点H−43，0,连接PH,7.（25-26·安徽模拟）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数x…−4−2035…y…−24−80−3−15…

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

）A.图象的开口向上B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x=1【答案】D【解析】先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【解答】解：由题意得4a−2b+c=−8c=09a+3b+c=−3，解得a=−1c=0b=2，∴二次函数的解析式为y=−x2+2x=−x−12+1，

∵a=−1<0，

∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；

图象的对称轴是直线x=1，故选项D符合题意；

当0<x<1时，y的值随x的值增大而增大，当x>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；

∵顶点坐标为1,1且经过原点，图象的开口向下，

∴图象经过第一、三、四象限，故选项8.（24-25·宁夏中考）在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则下列结论正确的个数为（）

①x1⋅x2=−4．

A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．【解答】解：由题意，联列方程组y=kx+1y=14x2

∴可得得x1，x2满足方程14x2−kx−1=0；y1，y2满足方程y2−(2+4k2)y+1=0．

依据根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1⋅x2=−4，y1+y2=4k2+2，y1⋅y2=1，

∴①、②正确．

由两点间距离公式得，AB=x1−x22+y9.（23-24·四川中考）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A−32,0,对称轴是直线x=−12,有以下结论：①abc<0；②若点−1,y1和点A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与y轴正半轴交于一点，∴a<0,c>0.

∵−b2a<0,

∴b<0.

∴abc>0.故①错误；

∵对称轴是直线x=−12,点−1,y1和点2,y2都在抛物线上，

而−12−−1=−12+1=12<2−−12=212,

∴y1>y2.故②错误；

当x=m时,y=am2+bm+c,

当x=−110.（22-23·黑龙江中考）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分与x轴的一个交点坐标为3,0，对称轴为直线x=1，结合图像给出下列结论：①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根；

⑤若点A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点3,0代入抛物线解析式并结合b=−2a即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点m,y1，−m+2,y【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a>0,c<0，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴−b2a=1，即b=−2a<0，即②错误；

∴abc>0，即①正确，

∵二次函数y=ax2+bx+ca≠0图像的一部分与x轴的一个交点坐标为3,0

∴9a+3b+c=0

∴9a+3−2a+c=0，即3a+c=0，故③正确；

∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)，Δ=b2−4ac+k2=b2−4ac−4ak2，a>0,c<0，

∴−4ac>0，−4ak2≤0，

∴无法判断b2−4ac−4ak2的正负，即无法确定关于x的一元二次方程a11.（24-25·新疆中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x=1对称．下列五个结论：

①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a>0，c<0，根据对称轴为直线x=1得出b=−2a<0，即可判断①；由对称轴为直线x=1得出2a+b=0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x=−1时，y>0，得出a−b+c>0，由b=−2a得出3a+c>0即可判断⑤．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x=1对称，

∴−b2a=1，

∵a>0，

∴b=−2a<0，

∵c<0，

∴abc>0，

故①正确；

∴b=−2a，

∴2a+b=0，

故②正确；

∵x=0时，y<0，对称轴为直线x=1，

∴x=2时，y<0，

∴4a+2b+c<0，

故③错误；

∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，

∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，

故④错误；

∵x=−1时，y>0，

∴a−b+c>0，

∴b=−2a，12.（24-25·江苏模拟）定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如4⊗3=(4+2×3)(4−3)，则函数y=(x+1)⊗2的最小值为（

）A.−21 B.−9 C.−7 D.−5【答案】B【解析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．【解答】解：由题意得，y=(x+1)⊗2=(x+1+2×2)(x+1−2)=(x+5)(x−1)，

即y=x2+4x−5=(x+2)2−9，

∴当x=−2时，函数y=(x+1)⊗2的最小值为−9．

13.（23-24·湖北模拟）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=y1+A. B.C. D.

【答案】B【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．【解答】解：由图象知，函数y1和函数y2的开口都向上，所以函数y=y1+y2的开口一定向上，故C选项不符合题意；

由图象知，函数y1的对称轴在y轴的右侧，函数y2的对称轴也在y轴的右侧，

所以，函数y=y1+y2的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意；

函数y1的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数y2的图象与y轴的交点在y14.（25-26·贵州模拟）在平面直角坐标系xOy中，Px1,y1,Qx2,yA.−1<t<0 B.−1≤t≤0 C.t<−1或t>0 D.t≤−1或t≥0【答案】D【解析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得抛物线与x轴的交点的横坐标分别为−a,a+2，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点Px1,y1【解答】解：∵y=(x+a)(x−a−2)，

∴抛物线与x轴的交点的横坐标分别为−a,a+2，

∴抛物线的对称轴为直线为x=−a+a+22=1，

∵对于t<x1<t+1,t+2<x2<t+3，都有y1≠y2，

∴点Px1,y1关于对称轴的对称点为2−x1,y1与点Qx2,y215.（24-25·四川模拟）如图，抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为−43，C为抛物线对称轴上一动点，连接AC，PC，当PC+ACA.13 B.33 C.12【答案】A【解析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得P−43,169，A(−2,0),B(4,0)，连接PB，BC，当P、B、C三点共线时，【解答】解：当x=−43时，则有y=−12×−432−43+4=169，

∴P−43,169，

由y=−12x2+x+4可知：对称轴为直线x=1，当y=0时，则有−12x2+x+4=0，

解得：x1=−2,x2=4，

∴A(−2,0),B(4,0)，

连接PB，BC，如图所示：

由轴对称可知：AC=BC，所以PC+AC=PC+BC≥PB，

∴当P、B、C三点共线时，PC+AC取得最小值，

设直线PB的解析式为y=kx+b，则有，

−4316.（25-26·辽宁模拟）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（

）

A.当x≥1000时，y随x的增大而减小B.当x=2000时，y有最大值C.当y≥0.6时，x≥1000D.当y=0.4时，x=600【答案】B【解析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．

根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x=2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．【解答】解：A．当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；

B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为x=1000+30002=2000，即当x=2000时，y有最大值，则B选项正确，符合题意；

C．由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000，即C选项错误，不符合题意；

D．当y=0.4时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．

故选B．17.（25-26·河北模拟）如图，直线l1从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线l2上，已知MN=3，NP=1，PQ=5，则AB=（

）

A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】本题考查了二次函数的对称性，根据点A到点M和到P的水平距离相等，点B到点N和到Q的水平距离相等，由AB=1【解答】解：根据题意：点A到点M和到P的水平距离相等，点B到点N和到Q的水平距离相等，

则AB=12MP+12NQ−NP，

∵MN=3，NP=1，PQ=5，

∴MP=MN+NP=4，NQ=NP+PQ=6，

∴AB=2+3−1=4，

18.（25-26·四川模拟）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于(1,1)和(3,3)两点，现有以下结论：①abc>0；②b2−4c<0；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+(b−1)x+c<0；⑤当xA.①②⑤ B.①③④ C.②③④ D.②③⑤【答案】C【解析】根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴大于0，得出a>0,c>0,b<0，即可判断①；由抛物线y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2−4c<0，判断②；当x=3时，y=9+3b+c=3，即可判断③；当1<x<3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c<x【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴大于0，得出a>0,c>0,b<0，

∴abc<0，

故①不正确；

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴无交点，

∴b2−4c<0，故②正确；

当x=3时，y=9+3b+c=3，

即3b+c+6=0，故③正确；

∵当1<x<3时，二次函数值小于一次函数值，

∴x2+bx+c<x，

∴x2+(b−1)x+c<0，故④正确；

把(1,1)和(3,3)两点代入y=x2+bx+c得：

1+b+c=19+3b+c=3 ，

解得：b=−3c=3 ，

∴抛物线的解析式为y=x2−3x+3，

当x=2时，y=x2−3x+3=1，19.（25-26·新疆模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx−3相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当−2<x<3时，y1>y2；②x=3是方程ax2+bx−3=0的一个解；③连接BO，△ABO的面积是12.5；④对于抛物线A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质根据二次函数的图象判断式子符号利用不等式求自变量或函数值的范围【解析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键．

①根据函数的图象特征即可判断；②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断；③运用三角形面积公式计算即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定y2【解答】解：①∵直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx−3相交于点A，B，

∴由图象可知：当−2<x<3时，直线y1=mx+n在抛物线y2=ax2+bx−3的上方，

∴y1>y2，即①正确；

②由图象可知：抛物线y2=ax2+bx−3与x轴有两个交点，

∴方程ax2+bx−3=0有两个不相等的实数根．

∴x=3是方程ax2+bx−3=0的一个解，即②正确；

③

S△ABO=12×5×3=7.5≠12.5，即③错误；

④由③可得抛物线的解析式为：y1=x20.（25-26·福建模拟）在平面直角坐标系中，把抛物线y=x2−2x+5向右平移4个单位，再向下平移3A.y=x−52+4 B.y=x+32+8【答案】D【解析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：∵y=x2−2x+5=x−12+4，

∴把抛物线y=x2−2x+5，向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是y=x−1−421.（24-25·福建模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为A.y=x2−2x−1 B.y=x2−2x+1【答案】D【解析】此题暂无解析【解答】D22.（24-25·山东模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列论中：①a−b+c=0；②若点−3,y1,2,y2,4,y3均在该二次函数图象上，则y1A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④【答案】B【解析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．【解答】解：将代入，可得，故①正确；

二次函数图象的对称轴为直线，

点到对称轴的距离分别为4，1，3，

a<0，

∴图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，

∴y1<y3<y2，

故②错误；

∵二次函数图象的对称轴为直线x=−b2a=1，

∴b=−2a，

又∵a−b+c=0，

∴a+2a+c=0，

∴c=−3a，

∵a<0，

∴图象开口向下，

∴当x=1时，y取最大值，最大值为y=a+b+c=a−2a−3a=−4a，

即二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象的顶点坐标为1,−4a，

∴若m为任意实数，则am2+bm+c≤−4a,

故③正确；

∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，

∴与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，

∵y=ax2+bx+c(a<0)的图象向上平移一个单位长度，即为y=ax2+bx+c+1的图象，

∴y=ax2+bx+c+1的图象与x轴的两个交点一个在(−1,0)的左侧，另一个在(3,0)的右侧，

∴若方程ax23.（24-25·四川中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是直线x=1，且过点−1,0，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若Ax1,y1，BxA.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④【答案】D【解析】根据二次函数的性质可得a<0，b=−2a，b>0，可判断结论①；由x=2处的函数值可判断结论②；由x=−1处函数值可判断结论③；根据x1+x2>2【解答】解：二次函数开口向下，则a<0，二次函数对称轴为x=1，则−b2a=1，b=−2a，b>0，

∴ab<0，故①正确；

∵过点−1,0，

∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为3,0，

由函数图象可得x=2时y>0，

∴4a+2b+c>0，故②正确；

∵x=−1时y=0，

∴a−b+c=0，

b=−2a代入得：3a+c=0，故③错误；

∵对称轴是直线x=1，

∴若x1+x22=1，即x1+x2=2时，y1=y2，

∴当x1+x224.（23-24·江苏中考）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在AC上，CD=2，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3t1<t2<t3对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t=1时，S=3；②点A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，S=DP2=6，由此求出BC=2，当t=1时，点P的运动路程为1，即此时点P在BC上，求出CP=1，再利用勾股定理求出DP=3，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在AB上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2)，可设S关于t的函数解析式为S=a(t−4)2+2，利用待定系数法求出S=t2−8t+18，据此可判断②；求出当S=t2−8t+18=18时，t的值，可得AB的长，再利用勾股定理求出AC的长，据此可判断③；可求出P在BC上时，S=DP2=t2+2；函数S=(t−4)2【解答】解：由图2可知当点P运动到B点时，S=DP2=6，

在Rt△PCD中，由勾股定理得DP2=DC2+BC2，

∴BC2+22=6，

∴BC=2或BC=−2（舍去）；

∵动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，

∴当t=1时，点P的运动路程为1，即此时点P在BC上，

∴此时CP=1，

在Rt△PCD中，由勾股定理得DP=CP2+CD2=12+22=3，

∴S=DP2=3，

∴当t=1时，S=3，故①正确；

当点P在AB上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2)，

∴可设S关于t的函数解析式为S=a(t−4)2+2，

把(2,6)代入S=a(t−4)2+2中得：6=a(2−4)2+2，

解得a=1，

∴S关于t的函数解析式为S=(t−4)2+2=t2−8t+18，故②错误

在S=t2−8t+18中，当S=t2−8t+18=18时，解得t=8或t=0，

∴AB=8−2=6，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2−BC2=62−22=42，

∴AD=AC−CD=42−2=32，故③错误；

∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在BC匀速运动，

25.（25-26·甘肃模拟）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+2x+74A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m【答案】B【解析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．【解答】解：y=−x2+2x+74=−(x−1)2+1+74=−(x−1)2+114，

∵−1<0，

26.（25-26·湖南模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(−1,0)，与y轴交于点C(0,m)，其中−4<m<−3．则下列结论：

①a−c>0；②方程ax2+bx+c−5=0没有实数根；③−8A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．

根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为−b2a=3−12=1，a>0，则b=−2a，当【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(−1,0)，图象开口向上，

∴对称轴直线为−b2a=3−12=1，a>0，

∴b=−2a，

当x=−1时，y=a−b+c=0，

∴a−(−2a)+c=0，即3a+c=0，

∴c=−3a，

∴a−c=a−(−3a)=4a>0，故①正确；

图象开口向上，对称轴直线为x=1，

∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，

∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=5两个不同的交点，

∴方程ax2+bx+c−5=0有两个不相等的实数根，故②错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,m)，其中−4<m<−3，

∴当x=0，y=c=m，

∴−4<c<−3，

∵c=−3a,b=−2a，

∴c=32b，

∴−4<32b<−3，

解得，−83<b<−2，故③正确；

27.（23-24达州模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是(−1,0)，点B的坐标是(n,0)，有下列结论：①abc<0；②4a+c>2b；③关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=−1，A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；

根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得a<0,c>0，进而可判断b>0，即可判断结论①；当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案.【解答】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，

∴a<0,c>0，

又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，

∴x=−b2a>0，

∴b>0，

∴abc<0，故结论①正确；

由函数的图象可得：当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，

即4a+c<2b，故结论②错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A(−1,0)，点B(n,0)，

∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=−1，x2=n28.（24-25·四川中考）如图，O是坐标原点，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x=−2，其中A(2,0),B(0,c)，且−3<c<−2．以下结论：①abc>0；②23<b<1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+(b−2)x+c=0的两根为x1、xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】首先由抛物线开口向上得到a>0，然后由对称轴得到b>0，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到c<0，即可判断①；由对称轴为直线x=−b2a=−2得到a=14b，然后将A(2,0)代入抛物线得到4a+2b+c=0，代入得到c=−3b，然后根据−3<c<−2得到−3<−3b<−2，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将x=−2代入抛物线得到y=−4b，求出ED=4b，然后求出AE=4，得到tan∠CAD=DEAE=4b4=b<1，得到∠ACD=∠C